文档内容
格致课堂
2019-2020学年下学期高一数学第二学期期中模拟测试卷
数学（提高卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：2019版人教A第二册 第一章 平面向量 第二章 复数
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
A．（–∞，1） B．（–∞，–1）
C．（1，+∞） D．（–1，+∞）
【答案】B
【解析】设 ，因为复数对应的点在第二象限，所以 ，解得：
，故选B.
2．已知 是虚数单位，给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．满足 的复数 对应的点的轨迹是圆
B．若 ， ，则
C．复数 （其中 、 ）的虚部为
D．在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数
【答案】B
【解析】对于A，设 ，由 可得 ，格致课堂
化简得 ，所以，复数 对应的点的轨迹是实轴，不是圆，A错误；
对于B，若 ， ，则 ，B正确；
对于C，复数 （其中 、 ）的虚部为 ， 是虚数单位，C错误；
对于D，在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除原点外都表示虚数，D错误.
故选：B.
3．设非零向量 ， 满足 ，则（ ）
A． B． C． // D．
【答案】A
【解析】由 的几何意义知，以向量 ， 为邻边的平行四边形为矩形，所以 .
故选：A.
4．已知 ， 的夹角为 ，则以 为邻边的平行四边形的一条对
角线长为 （ ）
A．15 B． C．14 D．16
【答案】A
【解析】因为 ， 的夹角为 ，所以 ，
因为
因此一条对角
线长为15，选A.
5．已知复数 ， ， ，它们在复平面 上所对应的点分别为A，B，C．
若 （ ），其中 为原点，则 的值是( ）格致课堂
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
,选A.
6．如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】画出图形，如下图．
选取 为基底，则 ，
∴ ．
故选C．格致课堂
7．在边长为1的正 中，点D在边BC上，点E是AC中点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ， ，则 ，
，则
故 ，即 .故选C。
8．设在 中,角 所对的边分别为 , 若 , 则 的形状为
（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【解析】因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
，
所以 ，所以是直角三角形.故选B。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（ ）
A．若复数z满足 ，则复数z对应的点在以 为圆心， 为半径的圆上格致课堂
B．若复数z满足 ，则复数
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数 对应的向量为 ，复数 对应的向量为 ，若 ，则
【答案】CD
【解析】满足 的复数z对应的点在以 为圆心， 为半径的圆上，A错误；
在B中，设 ，则 .由 ，得 ，
解得 ，B错误；
由复数的模的定义知C正确；
由 的几何意义知，以 ， 为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正
确.
故选：CD
10． 是边长为2的等边三角形,已知向量 满足 , ,则下列结论中正确的是(
)
A． 为单位向量 B． 为单位向量 C． D．
【答案】AD
【解析】∵等边三角形 的边长为2, ,∴ ,∴ ,故A正确；
∵ ,∴ ,∴ ,故B错误；
由于 ,∴ 与 的夹角为120°,故C错误；
又∵ ,∴ ,故D正确.
故选: AD.格致课堂
11．点O在 所在的平面内,则以下说法正确的有( )
A．若 ,则点O为 的重心
B．若 ,则点O为 的垂心
C．若 ,则点O为 的外心
D．若 ,则点O为 的内心
【答案】AC
【解析】解：选项A，设D为 的中点，由于 ，所以 为 边上中线的
三等分点(靠近点D)，所以O为 的重心；
选项B，向量 分别表示在边 和 上的单位向量，设为 和 ，则它们的差是向量
，则当 ，即 时，点O在 的平分线上，同理由
，知点O在 的平分线上，故O为 的内心；
选项C， 是以 为邻边的平行四边形的一条对角线，而 是该平行四边形的另一条对角
线， 表示这个平行四边形是菱形，即 ，同理有 ，于是O为
的外心；
选项D，由 得 ，格致课堂
∴ ，即 ，∴ ．同理可证 ，
∴ ， ， ，即点O是 的垂心；
故选：AC．
12．在 中， 分别是角 的对边， 为钝角，且 ，则下列结论中正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】因为 ,所以由余弦定理得 ,
因此 ,整理得 ,故A选项正确；
因为 ,所以由正弦定理得 ,
即 ,所以 ,
所以 ,所以 ,由于 是钝角,
所以 ,即 ,故B选项正确；
由于 ,且 ,所以 ,所以 , ,
因此 , ,故C选项错误,D选项正确
故选:ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知复数 （ 为虚数单位， ）是纯虚数，则 的虚部为______.
【答案】1格致课堂
【解析】因为 ，故 ，
因为 为纯虚数，故 ，所以 ，故 ，故 的虚部为1.
故答案为：1.
14．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与 － ＋ 相等的向量有____．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ＋ ；⑥ － ；⑦ ＋ ．
【答案】①
【解析】化简 ，①合题意；
由正六边形的性质，结合图可得向量 、 、 与向量 方向不同，
根据向量相等的定义可得向量 、 、 与向量 不相等，
②③④不合题意；
因为 ＋ + ，⑤不合题意；
－ ，⑥不合题意；
，⑦不合题意，故答案为①.
15．如图，已知 的面积为 ， 分别为边 ， 上的点，且
， 交于点 ，则 的面积为 _____ .格致课堂
【答案】4
【解析】设 ，以 ， 为一组基底，则 .
∵点 与点 分别共线，
∴存在实数 和 ，使 .
又∵ ，
∴ 解得
∴ ，
∴ .
16．如图，在 中， 为边 上一点， ， ， ， 的面积
为 ，则 ______； ______.（本题第一空2分，第二空3分）格致课堂
【答案】
【解析】 ， ，
又 的面积为 ， ，
，解得 ，
， ，
在 中，由余弦定理得，
，
在 中， ，由余弦定理得，
,
中，由余弦定理得，
.
故答案为： ； .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知i为虚数单位，关于x的方程 有实数根b.
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数z满足 ，求z为何值时， 有最小值，并求出 的最小值.格致课堂
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1） 是方程 的实数根，
， ，解得 .
（2）设 （x， ），由 ，得 ，
即 ，它表示复数z对应的点Z到点 的距离为 ，
构成的图形是以 为圆心， 为半径的圆，如图所示.
当点Z在 所在的直线上时， 有最大值或最小值， ，半径 ，
当 时， 有最小值，且 .
18．（12分）在平面直角坐标系中，已知 ， .
（Ⅰ）若 ，求实数 的值；
（Ⅱ）若 ，求实数 的值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ） ， ， ，
，格致课堂
， ，解得 ；
（Ⅱ） ，
， ，解得 .
19．（12分）在锐角 中， 、 、 分别为角 、 、 所对的边，且 ．
（ ）确定角 的大小．
（ ）若 ，且 的面积为 ，求 的值．
【答案】（ ） ；（ ）
【解析】（ ） ，∴ ，
∵ ，∴ ．
（ ） ， ， ，
∴ ．
20．（12分）设两个向量 ， 满足 ， .
（1）若 ，求 与 的夹角；
（2）若 与 的夹角为 ，向量 与 的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由 ，可得：格致课堂
整理得： ，又向量夹角为 ，故 与 的夹角为 .
（2）因为 与 的夹角为钝角，
故： 。即：
整理得： ，解得：
又当 与 共线时，
设 。 ，解得 .
当 时， 与 的夹角为 .
向量 与 的夹角为钝角时，
t的取值范围是 .
21．（12分）如图，有一位于 处的雷达观察站发现其北偏东 ，与 相距 海里的 处有一货船
正匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于 点北偏东 （其中 ），且与 相距
海里的 处．格致课堂
（1）求该船的行驶速度；
（2）在 处的正南方向20海里 处有一暗礁（不考虑暗礁的面积）．如果货船继续行驶，它是否有触礁
的危险？说明理由．
【答案】（1） 海里/小时；（2）有.
【解析】（1）由题意，
，由余弦定理可得
∵航行时间为20分钟。∴该船的行驶速度 （海里/小时）；
（2）
由（1）知，在△ABC中， ，格致课堂
设BC延长线交AE于F，则 ，
在△AFC中，由正弦定理可得 ，
，
（海里）
∴F与E重合，即货船不改变航向继续前行会有触礁的危险．
22．（12分）现给出两个条件：① ，② ，从中选出一
个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：（选出一种可行的条件解答，若两个都选，则按第
一个解答计分）在 中， 分别为内角 所对的边，( ).
（1）求 ；
（2）若 ，求 面积的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）选① ，
由正弦定理可得： ，即 ，∴
，∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
又 ，∴ ，格致课堂
选② ，
由正弦定理可得： ，
∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
又 ，∴ ；
（2）由余弦定理得： ，
又 ，当且仅当“ ”时取“=”，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ，
∴ 的面积的最大值为 .
