文档内容
新高考地区高 2024 届高二（上）第一次月考模拟三
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．以上都不对
2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的
“堑堵”中， ，则二面角 的正切值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．直线 （ ）过定点 ，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
4．若圆 上至少有3个点到直线 的距离为 ，则k的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
5．与圆 关于直线 对称的圆的方程为 ，则 等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．若直线 与曲线 有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知圆 和两点 ， ，若圆C上存在点P，使得 ，
则m的取值范围是（ ）
A．[8，64] B．[9，64]
C．[8，49] D．[9，49]
8．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成
果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比 ，那么点 的轨迹就是阿
波罗尼斯圆．已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ，定点 为 轴上一点，
且 ，若点 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，已知 ， 分别是正方体 的棱 和 的中点，则（ ）
A． 与 是异面直线
B． 与 所成角的大小为
C． 与平面 所成角的余弦值为
D．二面角 的余弦值为
10．下列结论正确的是（ ）
A．过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 ；
B．圆 上有且仅有3个点到直线 的距离都等于1
C．已知 ，O为坐标原点，点 是圆 外一点，且直线m的方程是 ，则
直线m与圆E相交；
D．已知直线 和以 ， 为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 ；
11．如图，在棱长为1的正方体 中（ ）A． 与 的夹角为 B．二面角 的平面角的正切值为
C． 与平面 所成角的正切值 D．点 到平面 的距离为
12．已知直线 ，过直线上任意一点M作圆 的两条切线，切点分别为A，B，
则有（ ）
A．四边形MACB面积的最小值为 B． 最大度数为60°
C．直线AB过定点 D． 的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．正方体 中， 分别是上底面 和侧面 的中心，若
，则 ______
14．过点 且与直线 垂直的直线方程是________.
15．若圆 关于直线 对称，由点 向圆C作切线，切点为 ，则
的最小值是__________.
16．已知实数 ， ， ， 满足 ， ， ，则 的
最大值是______．
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知 的三个顶点分别为 、 、 ．
(1)求边 和 所在直线的方程；
(2)求 边上的中线 所在直线的两点式方程．
18．已知曲线 和直线 ．
(1)当曲线C表示圆时，求m的取值范围；
(2)当曲线C表示圆时，被直线l截得的弦长为 ，求m的值．
19．已知直线 过定点 ，且与圆 交于 、 两点．
(1)求直线 的斜率的取值范围．
(2)若 为坐标原点，直线 、 的斜率分别为 、 ，试问 是否为定值？若是，求出该定值；
若不是，请说明理由．20．如图，在三棱柱 中， 平面 .
(1)求证: ;
(2)若 ，直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的正弦值.
21．如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 是正三角形，且平面 平面 ，
， 为棱 的中点，四棱锥 的体积为 ．(1)若 为棱 的中点，求证： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，指出点
的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
22．已知圆心 在第一象限，半径为 的圆与 轴相切，且与 轴正半轴交于 ， 两点（ 在 左侧），
（ 为坐标原点）．
（1）求圆 的标准方程；
（2）过点 任作一条直线与圆 相交于 ， 两点．
①证明： 为定值；②求 的最小值．
