文档内容
2024 届高三联合模拟考试
数学试题
东北师大附中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的考生号､姓名､考场号填写在答题卡上，
2.回答选择时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上
无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为 ，则这6个点数的中位数为4的概率
为（ ）
A. B. C. D.
4.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面 为矩形，顶棱 和底面平行，书中
描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即
（其中 是刍薨的高，即顶棱 到底面 的距离），已知
和 均为等边三角形，若二面角 和 的大小均为 ，则
该刍薨的体积为（ ）A. B. C. D.
5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁4
名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲､乙两人不能同时
在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）种
A.8 B.10 C.16 D.20
6.已知 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
7.已知点 为地物线 的焦点，过 的直线 与 交于 两点，则 的最小值为（
）
A. B.4 C. D.6
8.已的 ，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知数列 满足 ，则下列结论成立的有（ ）
A.
B.数列 是等比数列C.数列 为递增数列
D.数列 的前 项和 的最小值为
10.已知正方体 的棱长为 为空间中动点， 为 中点，则下列结论中正确的是（
）
A.若 为线段 上的动点，则 与 所成为的范围为
B.若 为侧面 上的动点，且满足 平面 ，则点 的轨迹的长度为
C.若 为侧面 上的动点，且 ，则点 的轨迹的长度为
D.若 为侧面 上的动点，则存在点 满足
11.已知 （其中 为自然对数的底数），则下列结论正确的
是（ ）
A. 为函数 的导函数，则方程 有3个不等的实数解
B.
C.若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为-1
D.若 ，则 的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 展开式的常数项为__________.
13.已知向量 ， 为单位向量，且 ，向量 与 共线，则 的最小值为__________.
14.已知双曲线 的左，右焦点分别为 为 右支上一点，
的内切圆圆心为 ，直线 交 轴于点 ，则双曲线的离心率为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰
壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为 ：在选
修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为 ，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为 .
（1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：
（2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X，
求X的分布列及期望，
16.（本小题15分）
在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求 .
17.（本小题15分）
如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的正方形，且 ，点 分别为棱 的中
点，且 平面 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的大小.
18.（本小题17分）
已知椭圆 的两焦点 ，且椭圆 过 .（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设椭圆 的左､右顶点分别为 ，直线 交椭圆 于 两点（ 与 均不重合），记直线
的斜率为 ，直线 的斜率为 ，且 ，设 ， 的面积分别为 ，求
的取值范围
18.（本小题17分）
已知 （其中 为自然对数的底数）.
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程，
（2）当 时，判断 是否存在极值，并说明理由；
（3） ，求实数 的取值范围.
