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第4单元 指数函数与对数函数（强化篇）
基础知识讲解
1．分段函数的解析式求法及其图象的作法
【基础知识】
分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上
的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段
函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的
问题．
【技巧方法】
求解函数解析式的几种常用方法
1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；
2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也
可用配凑法；
3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；
另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要
的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．
2．函数单调性的性质与判断
【基础知识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个
自变量x ，x ，
1 2
当x ＜x 时，都有f（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x ＞x
1 2 1 2 1 2
时，都有f（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
1 2若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格
的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【技巧方法】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函
数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个
小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极
值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的
取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
3．复合函数的单调性
【基础知识】
复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调
性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．
【技巧方法】
求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；
（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．
4．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝
﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
【技巧方法】
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于 0 的部分的函数表达式，求它的小于 0 的函数表达式，如奇函数 f
（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣
x2+x
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有
f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【技巧方法】
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数 f
（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
5．函数奇偶性的性质与判断
【基础知识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个 x，都有f（﹣x）＝﹣f
（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数
f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【技巧方法】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
6.函数解析式的求解及常用方法
【基础知识】
通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．
【技巧方法】
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等．
7.幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【基础知识】
1.幂函数定义：
一般地，函数y＝xa（a R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
∈
（1）指数是常数；
（2）底数是自变量；
（3）函数式前的系数都是1；
（4）形式都是y＝xa，其中a是常数．
8.幂函数的性质【基础知识】
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方
无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
9.五个常用幂函数的图象和性质
（1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝ ； （5）y＝x﹣1
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x﹣1
y＝
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x [0，+∞）时，增 增 增 x （0，+∞）时，减
∈ ∈x （﹣∞，0]时， x （﹣∞，0）时，减
减
∈ ∈
公共点 （1，1） （1，1）（0，0） （1，1） （1，1） （1，1）
（0，0） （0，0） （0，0）
10.幂函数的奇偶性
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．
（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．
（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．
（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．
11．函数最值的应用
【基础知识】
函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们
常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转
化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．
【技巧方法】
这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，
这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题
的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．
12．根据实际问题选择函数类型
【基础知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看
实际问题，是学习函数的重要内容．【技巧方法】
常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞
0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝ （k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函
数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlog x+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，
a
函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c
（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析
变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
习题演练
一．选择题（共12小题）
1．若 ，则“ 且 ”是“ 且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】因为 且 ，所以根据同向正数不等式相乘得 ，根据同向不等式相加得
，即 成立，因此充分性成立；
当 时满足 且 ，但不满足 且 ，即必要性不成立；
从而“ 且 ”是“ 且 ”的充分不必要条件，
故选：A
2．已知二次函数 ，满足：对任意实数 ，都有 ，
且当 时，有 成立，又 ，则 为（ ）
A．1 B． C．2 D．0
【答案】B
【解析】
由条件对任意实数x，都有f（x）≥x，知f（2）≥2成立
∵当x∈（1，3）时，有 成立，
∴取x=2时， 成立，
∴f（2）=2．
∴4a+2b+c=2①∵f（－2）=0
∴4a－2b+c=0②
由①②可得，∴4a+c=2b=1，
∴b= ，故选B．
3．已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
当 时,因为 ，
所以 ，即 ;
当 时0 ，即 ;
当 时， ，由图可知 ;
综上 的取值范围是 ，
故选：D.4．函数 的图象
A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
【答案】D
【解析】
，因为 ，所以 为偶函数．所以 的图象关于y轴
对称．故选D.
5．函数 的单调递增区间是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由 >0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t= ，则y=lnt，
∵x∈(−∞,−2)时,t= 为减函数；
x∈(4,+∞)时,t= 为增函数；
y=lnt为增函数，
故函数f(x)=ln( )的单调递增区间是(4,+∞)，
故选D.
6．已知奇函数 在 上是增函数，若 ， ，
，则 的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意： ，
且： ，
据此： ，
结合函数的单调性有： ，即 .
本题选择C选项.
7．若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解不等式 ，即 ，解得 ，
内层函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
而外层函数 在定义域上为减函数，
由复合函数法可知，函数 的单调递增区间为 ，
由于函数 在区间 上单调递增，所以，
，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .故选：C.
8．已知函数 则（ ）
A．对任意实数 ，方程 无解
B．存在实数 ，方程 有2个根
C．存在实数 ，方程 有3个根
D．对任意实数 ，方程 有1个根
【答案】B
【解析】
由题意，函数 ，作出函数 的图象，如图所示:
设 ，则方程 ，即为 ，
结合图象，可得①当 时，此时方程 有两个根 ，其中 ，
此时方程 有1个根或2个根；
②当 时，此时方程 有两个根 ，
此时方程 没有实数根；
③当 时，此时方程 只有一个根 ，其中 ，
此时方程 没有实数根；
④当 时，此时方程 没有实数根，此时方程 没有实数根.
综合可得，存在实数 ，方程 有2个根.
故选：B.
9．已知函数 为一次函数，若 ，有 ，当
时，函数 的最大值与最小值之和是
（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【解析】
由题意，设一次函数 ，因为 ，可得 ，解得 ，
所以 ，故 的图象关于 对称，
又设 ，可得函数 为单调递增函数，
且 ，
即 ，所以 是奇函数，则 ，
则 ， ，
所以
即为 的最大值与最小值之和6.
故选：D.
10．在直角坐标系中，函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】
令 ， ， 为奇函数可排除B，
当 时， ，且 ，
故选：A.
11．若 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由于函数 在 上是增函数
，则
由基本不等式可得
因此，
12．方程 的解所在的区间是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】
设 ，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数 与 的
上都是递增函数，所以 在 上单调递增，故函数 最多有一个零点，
而 ， ，根据零点存在定理可知，
有一个零点，且该零点处在区间 内，故选答案C.
二．填空题（共6小题）
13．已知函数 ，则函数 的所有零点所构成的集
合为________.
【答案】
【解析】
令 ，由 ，即 或 ，解得 或 ，
当 时，解得 或 ；当由 ，解得 ，
即函数 的所有零点所构成的集合为 .
故答案为： .
14．已知 ，则 ________．【答案】
【解析】
解：因为 ，
所以 ， ，
．
故答案为： .
15．已知函数 ， ，则 ________．
【答案】
【解析】
因为 ，
，且 ，则 .
故答案为-2
16．已知函数若 ， 是互不相同的正数，且
，则 的取值范围是_____．【答案】
【解析】
先画出函数 的图象，如图所示：
因为 互不相同，不妨设 ，且 ，
而 ，即有 ，可得 ，则 ，
由 ，且 ，可得 ，
且 ，
当 时， ，此时 ，但此时b，c相等，
故 的范围为 ．
故答案为 ．
17．已知函数 ，若关于x的方程 有6个不同
的实数解，且最小实数解为 ，则 的值为______．【答案】
【解析】
由题意，作出函数 图象，如图所示：
令 ，根据图象可知，
关于x的方程 有6个不同的实数解，
可转化为关于t的方程 有2个不同的实数解，
且必有一个解为0，另一个解大于0，所以 ．
则 ，解为 ， ．
所以 ，即 ．
所以 ．
故答案为： ．
18．已知函数 为奇函数，且 的图象和函数 的图象交于不同两点 、 ，若线段 的中点 落在直线 上，则实数 的值为
______.
【答案】
【解析】
为奇函数， ，
即 ，解得 ，
经检验 为奇函数，
设 ，联立两个函数的方程，
消去 得到关于 的二次方程 ，
，
因为 中点 纵坐标为 ，所以 ，
，解得 .
故答案为： .三．解析题（共6小题）
19．已知函数 ，且 ， ．
（1）求 ， 的值．
（2）判断 的奇偶性．
（3）试判断函数在 上的单调性，并证明．
（4）求函数 的最小值．
【答案】（1） ；（2） 为偶函数；（3） 在 上为减函数，证明见
解析；（4）2.
【解析】
解：（1）由已知，得 ，解得 ．
（2）由（1）可知 ．
任取 ，则 ，
又 的定义域为 ，所以 为偶函数．
（3） 在 上为减函数，证明如下：任取 ，且 ，则
．
因为 ，且 ，所以 ，
从而 ， ， ，
故 ，即 .所以函数 在 上为减函数．
（4）因为 在 上为减函数，且 为偶函数，所以 在 上是增函数，
所以当 时， ．又因为 在 上为减函数，所以当 时，
，从而对于任意的 ，都有 ，所以 的最
小值为2．
20．已知定义域为 的函数 是奇函数．
（1）求 ， 的值；
（2）用定义证明 在 上为减函数；
（3）若对于任意 ，不等式 恒成立，求 的范围．【答案】（1） ， ；（2）证明见解析；（3） .
【解析】
解：（1） 为 上的奇函数， ，可得
又 （1）
，解之得
经检验当 且 时， ，满足 是奇函数．
（2）由（1）得 ，
任取实数 、 ，且
则
，可得 ，且
，即 ，函数 在 上为减函数；
（3）根据（1）（2）知，函数 是奇函数且在 上为减函数．
不等式 恒成立，即
也就是： 对任意的 都成立．变量分离，得 对任意的 都成立，
，当 时有最小值为
，即 的范围是 ．
21．（1）已知函数 的图像恒过定点A，且点A又在函数
的图像上，求不等式 的解集；
（2）已知 ，求函数 的最大值和最小值.
【答案】（1） ；（2） ， .
【解析】
（1）由题意知定点A的坐标为 ，
∴ 解得 .
∴ .
∴由 得， .
∴ .
∴ .∴ .
∴不等式 的解集为 .
（2）由 得 令 ，则 ，
.
∴当 ，即 ， 时， ，
当 ，即 ， 时， .
22．若函数f(x)满足f(log x)＝ ·(x－ )(其中a＞0且a≠1).
a
(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析．（2）[2－ ，1)∪(1,2＋ ]．
【解析】
(1)令log x＝t(t∈R)，则x＝at，
a
∴f(t)＝ (at－a－t)．
∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)．∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且 ＞0，
∴f(x)为增函数．
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且 ＜0，
∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数．
(2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数．
由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，
只需f(2)－4≤0，即 (a2－a－2)≤4.
∴ ( )≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，
∴2－ ≤a≤2＋ .又a≠1，
∴a的取值范围为[2－ ，1)∪(1,2＋ ]．
23．已知函数 ， .
（1）若 在区间 上单调递增，求m的取值范围；
（2）求 在区间 上的最小值 ；
（3）讨论 在区间 上的零点个数.【答案】（1） ；（2） ；（3）当
时，函数有2个零点，当 或 时，函数 有1个零点.
【解析】
（1）由题意，函数 开口向上，对称轴的方程为 ，
若使得函数 在 上单调递增，则满足 ，解得 ，
即实数m的取值范围 .
（2）①当 即 时，函数 在区间 单调递增，
所以函数 的最小值为 ；
②当 ，即 时，
函数 在区间 单调递减，在区间 上单调递增，
所以函数 的最小值为 ；③当 即 时，函数 在区间 单调递减，
所以函数 的最小值为 ，
综上可得，函数的最小值为 .
（3）因为函数 的对称轴方程为 ，且 恒成立，
①当 ，即 时，函数 在区间 上有2个零点；
②当 ，此时m不存在；
③当 ，此时m不存在；
④当 ，即 ，解得 或 时，函数
在区间 上有1个零点.
综上可得：当 时，函数 在区间 上有2个零点，当 或 时，函数 在区间 上有1个零点.
24．设 为实数，函数 .
（I）若 ，求实数 的取值范围；
（II）当 时，讨论方程 在 上的解的个数.
【答案】（I） ； （II）2个.
【解析】
（I）因为 ，即 ，
当 时，不等式为 恒成立，满足条件，
当 时，不等式为 ，解得 ，
综上所述 的取值范围是 .
（II）由题意，函数 ，
可得当 时，函数 的对称轴方程为 ；
当 时，函数 的对称轴方程为 ；当 时，函数 的对称轴方程为 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，
又由 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 在 和 上各有一个零点，
综上所述 时，函数 在 上有两个解.
