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第四章 指数函数与对数函数章末检测
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1． 函数y＝ 的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
2．函数f(x)＝ 的值域是( )
A．(－∞，1) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
3．函数 的零点为( )
A． 或 B．
C． D． 或(
4．已知 ， ，则 用 表示为( )
A． B．
C． D．
5．若镭经过100年后剩留原来质量的 ，设质量为1的镭经过 年后剩留量为 ，
则 ， 的函数关系是( )
A． B．
C． D．
6．已知 ， ， ，则( )
A． B．
C． D．7．设函数 与 的图象的交点为 ，则 所在的区间为(
)
A． B．
C． D．
8．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9． “ ”是“函数 为奇函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．狄利克雷函数 满足：当x取有理数时， ；当x取无理数时， ．
则下列选项不成立的是（ ）
A． B．
C． 有1个实数根 D． 有2个实数根
11．若函数 在 上是单调增函数，则 的取值范围是（
）
A． B．
- 2 -C． D．
12．已知函数 ，若函数 恰有 个零
点，则实数 不可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．设 ，则 ________．
14．函数 和 的图像的示意图如图所示，
设两函数的图像交于点 ， ，且 ．
若 ， ，
且 ， ，则 _______．
15．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量
变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为 现测得某种放射性元素的剩余质
量A随时间t变化的6次数据如下：
t(单位时间) 0 2 4 6 8 10
A(t) 320 226 160 115 80 57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰
变公式为A(t)＝________．16．若函数f(x)＝ 在R上单调递增，则实数a的取值范围 ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17．（本小题10分）求值：
（1） ；
（2） ．
18．（本小题12分）
函数 ， 的图象如图所示．
(1)指出曲线C ，C 分别对应哪一个函数；
1 2
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 ， 的大小进行比较)．
19．（本小题12分）
已知函数 ，
- 4 -（1）若它的定义域为 ，求实数a的取值范围；
（2）若它的值域为 ，求实数a的取值范围．
20．（本小题12分）
已知 ， ，
（1）设 ， ， ，求 的最大值与最小值；
（2）求 的最大值与最小值．
21．（本小题12分）
已知函数 ．
（1）求函数 的定义域；
（2）求函数 的零点；
（3）若函数 的最小值为 ，求 的值．
22．（本小题12分）
十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在
大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，
通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本
万元，且 ．由市场调研知，每辆车售价5
万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
（1）求出2018年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=
销售额-成本）（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．
第四章 指数函数与对数函数章末检测参考答案
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1． 函数y＝ 的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
【答案】C
2．函数f(x)＝ 的值域是( )
A．(－∞，1) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
【答案】B
3．函数 的零点为( )
A． 或 B．
C． D． 或(
【答案】B
4．已知 ， ，则 用 表示为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
5．若镭经过100年后剩留原来质量的 ，设质量为1的镭经过 年后剩留量为 ，
则 ， 的函数关系是( )
A． B．
C． D．
- 6 -【答案】A
6．已知 ， ， ，则( )
A． B．
C． D．
【答案】C
7．设函数 与 的图象的交点为 ，则 所在的区间为(
)
A． B．
C． D．
【答案】C
8．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
9． “ ”是“函数 为奇函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B10．狄利克雷函数 满足：当x取有理数时， ；当x取无理数时， ．
则下列选项不成立的是（ ）
A． B．
C． 有1个实数根 D． 有2个实数根
【答案】D
11．若函数 在 上是单调增函数，则 的取值范围是（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
12．已知函数 ，若函数 恰有 个零
点，则实数 不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．设 ，则 ________．
【答案】
14．函数 和 的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点
， ，且 ．
- 8 -若 ， ，
且 ， ，则 _______．
【答案】
15．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量
变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为 现测得某种放射性元素的剩余
质量A随时间t变化的6次数据如下：
t(单位时间) 0 2 4 6 8 10
A(t) 320 226 160 115 80 57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰
变公式为A(t)＝________．
【答案】4 320·2－ (t≥0)
16．若函数f(x)＝ 在R上单调递增，则实数a的取值范围 ．
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17．（本小题10分）求值：
（1）（2）
【答案】
（1）原式= =
（2）原式
18．（本小题12分）
函数 ， 的图象如图所示．
(1)指出曲线C ，C 分别对应哪一个函数；
1 2
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 ， 的大小进行比较)．
【答案】
(1)由题图知，C 对应的函数为 ，C 对应的函数为 ．
1 2
(2)当x∈(0，x)时，g(x)＞f(x)；
1
当x∈(x，x)时，g(x)＜f(x)；
1 2
当x∈(x，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
2
19．（本小题12分）
已知函数 ，
（1）若它的定义域为 ，求实数a的取值范围；
（2）若它的值域为 ，求实数a的取值范围．
【答案】函数 的定义域为 ，则 恒成立，故
，即 ；
- 10 -函数 为 ，则 是函数 值域的子集，
则 ，即 ．
20．（本小题12分）
已知 ， ，
（1）设 ， ， ，求 的最大值与最小值；
（2）求 的最大值与最小值．
【答案】（1）设 ， ， ，则 ，即 ，
即 的最大值为9，最小值为1；
（2）设 ， ， ，则 ，
函数 转化为 ，
，
当 时， 最小为 ，
当 时， 最大为 ，
即 的最大值为67，最小值3．
21．（本小题12分）
已知函数 ．
（1）求函数 的定义域;
（2）求函数 的零点;（3）若函数 的最小值为 ，求 的值．
【答案】（1）由已知得 , 解得 所以函数 的定义域为
（2） ,令
,得 ,即 ,解得 ,∵ ,∴
函数 的零点是
（3）由2知, ,
∵ ,∴ ．
∵ ,∴ ,
∴ ,
∴ ．
22．（本小题12分）
十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在
大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，
通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本
万元，且 ．由市场调研知，每辆车售价5
万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
（1）求出2018年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=
销售额-成本）
- 12 -（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．
【答案】（1） ；（2）生产100百辆时，该
企业获得利润最大，且最大利润为1800万元．
【解析】
（1）当 时，
；
当 时， ；
∴ ．
（2）当 时， ，
∴当 时， ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时， ；
∴当 时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800
万元．
