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2024-2025 学年浙江省台州市高一上学期 1 月期末质量评估数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若幂函数 经过点 ，则 ( )
f(x)=xα (2,√2) f(9)=
1 1
A. 81 B. C. 3 D.
81 3
2.已知函数y=f(x)在区间[0,3]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(0)=−1.1，f(1)=2，f(2)=1.5，
f(3)=−2.35，则函数y=f(x)在区间[0,3]上的零点至少有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.“x>1，y>2”是“x+ y>3”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知扇形的圆心角为1rad，面积为8，则扇形的弧长为( )
A. 8 B. 4 C. 8π D. 4π
5.若α∈(0,π)，2sinα+cosα=1，则tanα=( )
4 5 3 4
A. − B. − C. − D. −
5 4 4 3
π
6.将函数f(x)=sin2x的图象向左平移φ(0<φ≤ )个单位，得到的函数图象关于y轴对称，则φ的值为
2
( )
π π π π
A. B. C. D.
6 4 3 2
7.设a=log 4，b=log 6，c=log 6，则( )
6 8 9
A. a>c>b B. b>a>c C. b>c>a D. c>b>a
8.光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向通常会发生改变，这种现象称为光的折射.光在折射过程中，
入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值是一个常数.例如，一束光线从空气斜射入水时，会发生折射现象，
sinα
并满足 =1.33(其中α是入射角，β是折射角).当入射角α(0∘<α<80∘)增加10∘时，折射角β增加x∘，
sinβ
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1 1则( )
A. x<10 B. x=10 C. 10<x<13.3 D. x>13.3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>b>0，则下列不等式成立的是( )
1 1 b b+1
A. a2>b2 B. c2a>c2b C. a− >b− D. <
a b a a+1
10.已知函数f(x)=sin2x+cos2x，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的值域为[−√2,√2] B. 函数|f(x)|的最小正周期为π
π 3π π
C. f(x)在[ , ]上单调递减 D. f(x)的图象关于(− ,0)对称
4 4 8
11.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且f(g(x))=x，则下列结论正确的是( )
A. 若g(1)=2，则f(2)=1 B. 若g(x)=x+1，则f(x)=x−1
C. 存在 ，使得 D. 若 是增函数，则 是增函数
f(x) g(x)=2x+x g(x) f(x)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=log x+2(a>0且a≠1)的图象过定点_________．
a
13.已知 ( π) 1，则 (2π ) _________．
sin x+ = sin −x =
3 3 3
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2 114.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)
间的关系为 ，其中 ， 是正常数．污染物的初始含量为 ；如果在前 消除了
P=P
0
e−kt P
0
k mg/L 5ℎ
10%的污染物，那么污染物减少70%需要花费 小时(精确到1ℎ).(参考数据：lg3≈0.477)
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
求值：
1 2
27
(1)492+( )3−2−2+√3 (π−2) 3;
8
√1+2sin20∘sin70∘
．
(2)
sin70∘+√1−cos2160∘
16.(本小题12分)
已知集合 ，
A={x|x2−(2+a)x+2a<0} B={x|y=√−x2−2x+3}.
(1)若a=0时，求(∁ A)∩B;
R
(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．
17.(本小题12分)
已知函数
2x+1
是奇函数．
f(x)= +a
2x+1
(1)求a的值，判断函数f(x)的单调性并请说明理由;
对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
(2) x∈R f(k⋅2x )+f(3⋅2x−4x−1)≤0 k
18.(本小题12分)
已知O(0,0)，A(cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ)，α≠β+2kπ，k∈Z.
(1)请写出以x轴的非负半轴为始边，射线OA为终边的角的集合;
(2)作点A关于直线OB的对称点C(cosγ,sinγ).
π π
①当α= ，β= 时，求点C坐标;
4 3
√21 √15 1
②若B( , )，cosαcosγ= ，求cos(α−γ).
6 6 4
19.(本小题12分)
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3 1给定函数f(x)，若对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，
f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”．
(1)判断函数g(x)=3x是否为“保三角形函数”，并说明理由;
(2)若ℎ(x)=ln(x+m)是“保三角形函数”，求m的最小值;
(3)若函数p(x)同时满足以下条件：
①p(0)=0;
②p(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
③对任意x ，x ∈[0,+∞)，λ∈[0,1]都有p(λx +(1−λ)x )≥λp(x )+(1−λ)p(x ).
1 2 1 2 1 2
证明：函数p(x)是“保三角形函数”．
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4 1参考答案
1.C
2.B
3.A
4.B
5.D
6.B
7.C
8.A
9.ACD
10.AD
11.ABD
12.(1,2)
1
13.
3
14.P ；57
0
15.解：
9 1
(1)原式=7+ − +π−2=7+π；
4 4
原式
√1+2sin20°cos20∘ sin20∘+cos20∘ sin20∘+cos20∘ sin20∘+cos20∘
．
(2) = == = = =1
sin70∘+√1−cos2160∘ sin70∘+sin160∘ sin70∘+sin20∘ cos20∘+sin20∘
16.解： ， 或 ， ．
(1)A={x|0<x<2} ∁ A={x|x≤0 x≥2} B={x|−3≤x≤1}
R
．
(∁ A)∩B={x|−3≤x≤0}
R
(2)由A∪B=A知B⊆A，
A={x|(x−2)(x−a)<0}，
①当a<2时，A={x|a<x<2}，a<−3;
②当a>2时，A={x|2<x<a}，a∈⌀;
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5 1③当a=2时，A=⌀，不满足题意．
所以a的取值范围为{a|a<−3}．
17.解： 因为函数 2x+1 是奇函数，所以有 2 ，得 ．
(1) f(x)= +a f(0)= +a=0 a=−1
2x+1 20+1
经检验，a=−1成立．
则
2x+1 2x−1，
f(x)= −1=
2x+1 2x+1
∀x ，x ∈R，且x <x ，
1 2 1 2
则 2x 1−1 2x 2−1 (2x 1−1)(2x 2+1)−(2x 2−1)(2x 1+1)
f(x )−f(x )= − =
1 2 2x 1+1 2x 2+1 (2x 1+1)(2x 2+1)
2(2x 1−2x 2)
=
(2x 1+1)(2x 2+1)
因为 ，所以 又因为 ，
x <x 2x 1−2x 2<0. (2x 1+1)(2x 2+1)>0
1 2
所以f(x )−f(x )<0，即f(x )<f(x ).
1 2 1 2
所以函数f(x)在R上单调递增．
由条件知 对任意 恒成立，
(2) f(k⋅2x )≤f(−3⋅2x+4x+1) x∈R
因为f(x)在R单调递增，所以有k⋅2x≤−3⋅2x+4x+1，
即 −3⋅2x+4x+1 1 ，
k≤ =−3+2x+
2x 2x
设 1 √ 1 ，当 时，取等号，
g(x)=−3+2x+ ⩾−3+2 2x· =−1 x=0
2x 2x
所以k的取值范围为{k|k≤−1}．
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6 118.解：(1){θ|θ=2kπ+α,k∈Z}
(2)①由题知，γ=2β−α+2kπ(k∈Z)，
2π π π π √2 √3 √2 1 √6−√2
cosγ=cos( − +2kπ)=cos( + )= ⋅ − ⋅ = ，(k∈Z)，
3 4 4 6 2 2 2 2 4
2π π π π √2 √3 √2 1 √6+√2
sinγ=sin( − +2kπ)=sin( + )= ⋅ + ⋅ = (k∈Z)．
3 4 4 6 2 2 2 2 4
√6−√2 √6+√2
所以，C( , ).
4 4
α+γ
②由题知，γ=2β−α+2kπ，则β= +kπ(k∈Z)．
2
√21 √15 √21
由B( , )，知cosβ= ，
6 6 6
α+γ √21 α+γ 21 1
故cos =± ，所以cos(α+γ)=2cos2 −1=2⋅ −1= ．
2 6 2 36 6
1
即cosαcosγ−sinαsinγ= ．
6
1 1
又因为cosαcosγ= ，所以sinαsinγ= ，
4 12
1
所以cos(α−γ)=cosαcosγ+sinαsinγ= ．
3
19.解：(1)不妨假设0<a≤b≤c，有a+b>c．
此时g(a)=3a>0，g(b)=3b>0，g(c)=3c>0，
且有g(a)+g(b)=3a+3b=3(a+b)>3c=g(c)，
所以g(a)，g(b)，g(c)可以构成某三角形的三边．
所以g(x)=3x是“保三角形函数”．
(2)因为ℎ(x)=ln(x+m)是“保三角形函数”，所以a>0，b>0，c>0且ℎ(a)>0，ℎ(b)>0，ℎ(c)>0，
必有ln(x+m)>0对∀x>0恒成立，
所以lnm≥0，解得m≥1.
下证：当m≥1时，ℎ(x)=ln(x+m)是“保三角形函数”．
不妨设0<a≤b≤c，有a+b>c．
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7 1此时ℎ(a)=ln(a+m)>0，ℎ(b)=ln(b+m)>0，ℎ(c)=ln(c+m)>0，
ℎ(a)+ ℎ(b)=ln(a+m)+ln(b+m)=ln[(a+m)(b+m)]=ln[ab+(a+b)m+m2 ]≥ln(ab+a+b+m)>ln(c+m)= ℎ(c)
所以若ℎ(x)=ln(x+m)是“保三角形函数”，m的最小值为1．
(3)不妨设0<a≤b≤c，且a+b>c．
p(a)>0，p(b)>0，p(c)>0．
由p(λx +(1−λ)x )≥λp(x )+(1−λ)p(x )，λ∈[0,1]，
1 2 1 2
知当x =0时，p(λx )≥λp(x ).
2 1 1
a a
所以p(a)=p( (a+b))≥ p(a+b)，
a+b a+b
b b
p(b)=p( (a+b))≥ p(a+b)．
a+b a+b
a b
所以p(a)+p(b)≥ p(a+b)+ p(a+b)=p(a+b)．
a+b a+b
而a+b>c，p(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
所以p(a+b)>p(c)．
所以p(a)+p(b)>p(c)，即函数p(x)是“保三角形函数”．
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8 1
