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2024-2025 学年浙江省杭州市 S9 联盟高一下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x≥1}，B={x|00} B. {x|1≤x<3} C. {x|x≥1} D. {x|x<3}
2.已知向量⃗
a=(m,2)
，⃗
b=(4,−2)
若 ⃗a//⃗b ，则 m=( )
A. 1 B. −1 C. 4 D. −4
z
3.若 =1+i，则z=( )
z−1
A. 1−i B. 1+i C. −1−i D. −1+i
4.已知角α和β的终边关于y轴对称，则( )
A. B. C. (π ) D.
cosα=cos β tanα=tan β sin +α =cosβ
2
cos(π−α)=cos β
π
5.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，b=√6，A= ，则角B的大小为( )
4
π π π 5π π 2π
A. B. C. 或 D. 或
6 3 6 6 3 3
6.若向量⃗ a=(m,−3) ，⃗ b=(3,1) ，则“ m≥0 ”是“向量 ⃗a ， ⃗b 的夹角为锐角”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.设平面内三个非共线的单位向量 ， ， 两两之间的夹角相等，则 ⃗ ⃗ ⃗ ( )
⃗a ⃗b ⃗c
|a+2b+3c|=
A. 1 B. √3 C. 5 D. √14
8.已知函数 ( π)，下列说法正确的是( )
f(x)=cos ωx+
3
1
A. 若函数周期为4，则ω=
2
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1 1π
B. 当ω=2时，函数的对称轴为x= +kπ，k∈Z
3
C. 若函数在( π)单调，则 有最大值
0, ω 2
3
π 1
D. 若函数y=sin x可以由f(x)先向右平移 个单位长度，再横坐标变为原来的3倍得到，则ω=
9 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 f(x)=
{log
2
x x>0
，若 f(a)=1 ，则 a= ( )
2x x≤0
A. −2 B. 2 C. 0 D. 1
10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，设圆柱、圆锥、球的表
面积分别为S ，S ，S ，体积分别为V ，V ，V ，下列结论正确的是( )
1 2 3 1 2 3
A. 圆柱的侧面积为4πR2 B. 圆锥的侧面积为√5πR2
C. V sin B，则A>B
B. 若acos A=bcos B，则△ABC为等腰三角形
π
C. 若b=2，A= ，这样的三角形有两解，则a的取值范围为(√3,2)
3
π
D. 若△ABC为锐角三角形，且a=2，A= 则其周长范围为(4,6)
3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，等腰直角三角形O′ A′B′是一个平面图形的直观图，直角边O′ A′=1，则原图形的面积是
________．
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2 113.已知向量⃗
a=(3,1)
，⃗
b=(−2,1)
，则向量
⃗a
在向量
⃗b
上的投影向量为________
.(
答案用坐标表示
)
14.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是________．
f(x)=4−x−4x−x+5 f(m2 )+f(m−2)>10 m
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数 ( π)．
f(x)=2sin 2x+
3
(1)写出函数f(x)的最小正周期，f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0,π]，f(x)=−1时求实数x的值．
16.(本小题15分)
如图，一个直三棱柱形容器ABC−A B C ，侧棱A A =8.(容器出口在上底面点C 处，大小可忽略)
1 1 1 1 1
(1)若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积；
(2)若侧面A A B B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A C ，B C 的中点，当底面ABC水平放置时，
1 1 1 1 1 1
液面高为多少？
17.(本小题15分)
已知平面向量⃗ ，⃗ ．
a=(1,3) b=(6,x)
若 ，求向量 ⃗ ⃗的坐标；
(1) ⃗a⊥⃗b
2a−b
(2)若⃗a//⃗b，求|⃗b|的值；
若向量⃗ ，若 与 共线，求 的值．
(3) c=(1,−1) ⃗a+⃗b ⃗b−⃗c ⃗a⋅⃗b
18.(本小题17分)
在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(b+c)(sinB−sinC)=(a−c)sin A．
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3 1(1)求B；
1
(2)若α∈(0,π)，且sin(α+B)= .求cosα的值；
3
3√3
(3)若△ABC的面积为 ，且⃗AD=2⃗DC，求BD的最小值．
4
19.(本小题17分)
如图，点G是△OAB重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点(可以与端点重合)，且P，G，Q三点共线．
(1)设⃗OA=⃗a，⃗OB=⃗b，将⃗OG用⃗a，⃗b表示；
(2) 设
O
⃗
P=xO
⃗
A
，
O
⃗
Q= yO
⃗
B
，求 2x+ y 的最小值；
T
(3)在(2)的条件下，记△OAB与△OPQ的面积分别为S，T，求 的取值范围．
S
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4 1参考答案
1.B
2.D
3.A
4.D
5.D
6.A
7.B
8.C
9.BC
10.ABC
11.AC
12.√2
13.(2,−1)
14.(−2,1)
2π
15.解：(1)最小正周期T= =π，
2
π π π
单调递增区间由− +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z.
2 3 2
5π π
得[− +kπ, +kπ]，k∈Z.
6 12
π
(2)∵f(x)=2sin(2x+ )=−1
3
π 7π π 11π
∴2x+ = +2kπ，k∈Z或2x+ = +2kπ，k∈Z
3 6 3 6
5π 3π
∵x∈[0,π]∴x= 或x= ．
12 4
√3
16.解：(1)表面积S=S +2S =2×8×3+2× ×22=48+2√3，
侧 底 4
√3
容积V =sℎ = ×22×8=8√3；
4
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5 1(2)设三棱锥的体积为V，
1
按侧面ABB A 水平放置时液面以上部分的体积为 V，
1 1 4
3
故水的体积为 V，
4
设按底面ABC放置时液面的高为
ℎ
，
3
V
则 ℎ 4 3，故 ℎ =6．
= =
8 V 4
17.解： (1) 因为⃗
a⊥
⃗
b
，所以⃗
a⋅
⃗
b=0
，则 1×6+3x=0 ，解得 x=−2 ，
故⃗ ，
b=(6,−2)
则 ⃗ ⃗ ．
2a−b=2(1,3)−(6,−2)=(2,6)−(6,−2)=(−4,8)
(2) 因为 ⃗a//⃗b ，所以 x=3×6=18 ，则⃗ b=(6,18) ，|⃗ b | =√62+182=6√10 ．
⃗ ⃗ ，⃗ ⃗ ，
(3)a+b=(1,3)+(6,x)=(7,3+x) b−c=(6,x)−(1,−1)=(5,x+1)
若⃗
a+
⃗
b
与⃗
b−
⃗
c
共线，则 5×(3+x)=7×(x+1) ，解得 x=4 ，即⃗
b=(6,4)
，
故⃗ ⃗ ．
a⋅b=1×6+3×4=18
18.解(1)因为(b+c)(sinB−sinC)=(a−c)sin A，
由正弦定理得(b+c)(b−c)=(a−c)a，即a2+c2−b2=ac，
a2+c2−b2 ac 1
由余弦定理可得cosB= = = ，
2ac 2ac 2
π
因为B∈(0,π)，所以B= ．
3
π 4π
(2)因为α∈(0,π)，所以α+B∈( , )，
3 3
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6 11 2√2
由sin(α+B)= ，得cos(α+B)=− ，
3 3
√3−2√2
所以cosα=cos[(α+B)−B]=cos(α+B)cosB+sin(α+B)sinB= ；
6
1 3√3
(3)由已知S = acsinB= ，所以ac=3．
△ABC 2 4
2
因为 ⃗ ⃗ ，所以⃗AD= ⃗AC，
AD=2DC
3
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2 ⃗ ⃗ 2 ⃗ 2 ⃗ 1 ⃗ 2 ⃗
可得BD=BA+AD=BA+ AC=BA+ AB+ BC= BA+ BC，
3 3 3 3 3
⃗ 1 ⃗ 4 ⃗ 2 ⃗ ⃗
所以BD2= BA2+ BC 2+2⋅ BA⋅BC
9 9 9
1 4 4 1 4 2
= c2+ a2+ accosB= c2+ a2+ ，
9 9 9 9 9 3
1 4 2 1 2 2 √6
又 c2+ a2+ ≥2⋅ c⋅ a+ =2，当且仅当a= ，c=√6时取等号，
9 9 3 3 3 3 2
所以BD的最小值为√2
⃗ 1 ⃗ 1 ⃗ 1⃗ 1⃗
19.解：(1)因为M为AB中点，所以OM= OA+ OB= a+ b，
2 2 2 2
⃗ 2 ⃗ 1⃗ 1⃗
因为G为△OAB重心，所以OG= OM= a+ b；
3 3 3
⃗ 1 ⃗ 1 ⃗
(2)由(1)得OG= OP+ OQ，
3x 3 y
因为P，G，Q三点共线，
1 1
所以 + =1，
3x 3 y
1 1
所以 + =3，
x y
1 1 1 1 y 2x 1
所以2x+ y= (2x+ y)( + )= (3+ + )≥ (3+2√2)，
3 x y 3 x y 3
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7 13+2√2 2+√2 1+√2
所以2x+ y的最小值为 ，此时x= ，y= ；
3 6 3
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，且 为重心，
(3)∵OP=xOA,OQ= yOB G
1
|OP||OQ|sin∠AOB
T 2
所以 = =xy，
S 1
|OA||OB|sin∠AOB
2
1 1 x
由 + =3得：y= ，
x y 3x−1
T x2 1 1
所以 =xy= = = ，
S 3x−1 1 3 1 3 9
− + −( − ) 2+
x2 x x 2 4
由点P、Q分别是边OA、OB上的动点，G为重心且P、G、Q三点共线，
1 1
所以 ≤x≤1，则1≤ ≤2，
2 x
1 3 9 9
所以−( − ) 2+ ∈[2, ]，
x 2 4 4
T 4 1
所以 ∈[ , ]
S 9 2
T 4 1
所以 的取值范围时[ , ]．
S 9 2
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8 1
