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黄金冲刺大题01 解三角形（精选30题）
1．（2024·江苏·一模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长.
2．（2024·湖南常德·三模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
(1)求角 ；
(2)若 ， ， 成等差数列，且 的面积为 ，求 的周长．
3．（2024·江苏·一模）在 中， ．
(1)求B的大小；
(2)延长BC至点M，使得 ．若 ，求 的大小．
4．（2024·浙江温州·二模）记 的内角 所对的边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的面积．
5．（2024·浙江嘉兴·二模）在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 .
(1)求 的值；
(2)若 为锐角三角形， ，求 的值.
6．（2023·福建福州·模拟预测）在 中，角 的对边分别是 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 面积为 ，求 边上中线的长．7．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中， 的角平分线交 BC于P点， .
(1)若 ，求△ABC的面积;
(2)若 ，求BP的长.
8．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中， ， ．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ， ，求四边形ABCD的面积．
9．（2024·浙江·一模）在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ．
(1)求角 ；
(2)设边 的中点为 ，若 ，且 的面积为 ，求 的长．
10．（2024·湖北·一模）在 中，已知 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，求函数 在 上的单调递增区间．
11．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫
做倍角三角形.如图， 的面积为 ，三个内角 所对的边分别为 ，且 .(1)证明： 是倍角三角形；
(2)若 ，当 取最大值时，求 .
12．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ，且 的外接圆半径
为4.
(1)若 ， ，求 的面积；
(2)若 ，求 的最大值.
13．（2024·山东济南·二模）如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ，
.
(1)若 ， ，求 的大小；
(2)若 求四边形ABCD面积的最大值.
14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知锐角 的三内角 的对边分别是 ，且
，
(1)求角 的大小；
(2)如果该三角形外接圆的半径为 ，求 的取值范围．
15．（2024·湖南邵阳·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，且 的周长为．
(1)求 ；
(2)若 ， ， 为边 上一点， ，求 的面积．
16．（2024·广东梅州·二模）在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，
， ，
(1)求A的大小：
(2)点D在BC上，
（Ⅰ）当 ，且 时，求AC的长；
（Ⅱ）当 ，且 时，求 的面积 ．
17．（2024·广东广州·一模）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 .已知
.
(1)求 ；
(2)若点 在边 上，且 ， ，求 的周长.
18．（2024·广东佛山·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，其中 ， ．(1)求角 的大小；
(2)如图， 为 外一点， ， ，求 的最大值．
19．（2024·河北石家庄·二模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量
， .
(1)求函数 的最大值;
(2)若 ，求 的面积.
20 ． （ 2024· 广 东 · 一 模 ） 设 锐 角 三 角 形 的 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 已 知
．
(1)求 ；
(2)若点 在 上（与 不重合），且 ，求 的值．
21．（2024·辽宁·二模）在 中， 为 边上一点， ，且 面积是 面积的2倍．
(1)若 ，求 的长；
(2)求 的取值范围．
22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 边上的中线长.
23．（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m）测量重庆瞰胜楼
的高度，测角仪底部A和瞰胜楼楼底O在同一水平线上，从测角仪顶点C处测得楼顶M的仰角，
（点E在线段MO上）．他沿线段AO向楼前进100m到达B点，此时从测角仪顶点D处测
得楼顶M的仰角 ，楼尖MN的视角 （N是楼尖底部，在线段MO上）．(1)求楼高MO和楼尖MN；
(2)若测角仪底在线段AO上的F处时，测角仪顶G测得楼尖MN的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距
离FO．
参考数据： ， ， ，
24．（2024·重庆·模拟预测）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，且 ，求AP的最小值．
25．（2024·山西朔州·一模）已知 的内角 的对边分别为 ，向量
，且 ．
(1)求 ；
(2)求 的最小值．
26．（2024·河南开封·二模）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求
的面积．条件① ： ；条件② ： ；条件③ ： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
27．（2024·河南·一模） 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
(1)求证： ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
28．（2023·河南·三模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，
且 ．
(1)求证： ；
(2)若 的平分线交AC于D，且 ，求线段BD的长度的取值范围．
29．（2024·湖北·二模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b， ，
．
(1)求A；
(2)者 ， ，求 的取值范围．
30．（2024·河北·二模）若 内一点 满足 ，则称点 为 的布洛卡点，
为 的布洛卡角．如图，已知 中， ， ， ，点 为的布洛卡点， 为
的布洛卡角．
(1)若 ，且满足 ，求 的大小．
(2)若 为锐角三角形．（ⅰ）证明： ．
（ⅱ）若 平分 ，证明： ．
