文档内容
2023—2024 学年度第二学期高三年级质量监测（一）
数学学科试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ
卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，橡皮擦干净后，
再选涂其它答案标号；
3、本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：
球的体积公式 ，其中R表示球的半径.
如果事件A，B互斥，那么 .
对于事件A，B， ，那么 .
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）若 ，则“a，b，c成等比数列”是“ ”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（3）若 ，则 的最小值是（ ）
（A）2 （B）a （C） （D）3
（4）函数 的图象可能为（ ）（A） （B）
（C） （D）
（5）已知 ， ，则（ ）
（A）a＜b＜c （B）c＜b＜a （C）b＜a＜c （D）b＜c＜a
（6）已知随机变量 ，且 ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（7）关于函数 ，则下列结论中：
① 为该函数的一个周期；
②该函数的图象关于直线 对称
③将该函数的图象向左平移 个单位长度得到 的图象：
④该函数在区间 上单调递减
所有正确结论的序号是（ ）
（A）①② （B）③④ （C）①②④ （D）①③④
（8）在长方体 中， ，其外接球体积为 ，则其外接球被平面
截得图形面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）（9）已知O为坐标原点，双曲线C： 的左、右焦点分别是 ，离心率为
，点P是C的右支上异于项点的一点，过 作 的平分线的垂线，垂足是M， ，则点
P到C的两条渐近线距离之积为（ ）
（A） （B） （C）2 （D）4
第Ⅱ卷
注意事项：
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔答题
2、本卷共11小题，共105分。
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
（10）i是虚数单位，复数 ，则 的虚部为______
（11）若 的展开式中 的系数为160，则实数a的值为______
（12）直线 被圆 截得的弦长的最小值为______
（13）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒
子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机
抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球
的条件下，第二次抽到1号球的概率为______，第二次抽到3号球的概率为______
（14）平面四边形ABCD中， ，E为BC的中点，用 和 表示
______；若 ，则 的最小值为______
（15）已知函数 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 ，若函数
有唯一零点，则实数 的值为______
三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（16）（本小题满分14分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .（Ⅰ）求a的值：
（Ⅱ）求证： ；
（Ⅲ） 的值
（17）（本小题满分15分）
如图，在四棱锥P-ABCD中， 平面PAD， ，点
E是棱PC上靠近P端的三等分点，点P是棱PA上一点.
（1）证明： 平面BDE
（II）求点F到平面BDE的距离；
（1II）求平面BDE与平面PBC夹角的余弦值.
（18）（本小题满分15分）
已知椭圆C： 的一个焦点与抛物线 的焦点F重合，抛物线的准线被C截得的
线段长为 .
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点F作直线l交C于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使 为定值？若存在，
求出M的坐标；若不存在，请说明理由.
（19）（本小题满分15分）
在正项等比数列 中， .
（Ⅰ）求 的通项公式：
（Ⅱ）已知函数 ，数列 满足： .
（i）求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式
（ii）设 ，证明：
（20）（本小题满分16分）已知 ，a为函数 的极值点，直线l过点 ，
（Ⅰ）求 的解析式及单调区间：
（Ⅱ）证明：直线l与曲线 交于另一点C：
（Ⅲ）若 ，求n.
（参考数据： ）2023—2024 学年度第二学期高三年级质量监测（一）参考答案
数学学科
一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分）
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）
答案 C B D A A D C B B
二、填空题：（本题共6小题，每题5分，共30分）
（10） （11）2； （12） ；
（13） （第一个空3分，第二个空2分）；
（14） （第一个空3分，第二个空2分）； （15）－1或
三、解答题：（其他正确解法请比照给分）
（16）解：（Ⅰ）由 及余弦定理得 ，
因为 ，所以 .
（Ⅱ）由 及 得
由正弦定理得（Ⅰ） ，因为 ，所以 或 .
若 ，则 ，与题设矛盾，因此 .
（Ⅲ）由（Ⅰ）得 ，因为 ，所以
所以
所以
另解：因为所以
（17）解：因为 平面PAD，所以 .因为 ，所以
.
故以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
.
（Ⅰ） ，设平面BDE的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 .又 ，可得 ，
因为 平面BDE，所以 平面BDE.
（Ⅱ）因为 平面BDE，所以点F到平面BDE的距离等于点A到平面BDE的距离. ，
则点A到平面BDE的距离为
（Ⅲ） ，设平面BDE的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 .
设平面BDE与平面PBC的夹角为α，则
故平面BDE与平面PBC的夹角的余弦值为 .（18）解：（Ⅰ）抛物线的焦点 ，准线方程为 ，由题意得 ，
解得 ，所以椭圆C的方程为 .
（Ⅱ）假设存在符合条件的点 ，设 ，
则 ，
，
①当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为 ，
由 ，得 ，则 ，
所以 ，
因此 ，若对于任意的t值，上式为定值，
则 ，解得 ，此时， 为定值.
②当直线l的斜率为0时，
综合①②知，符合条件的点M存在，其坐标为 .
（19）解：（Ⅰ）因为正项等比数列 中， ，所以 .
又因为 ，所以 ，进而公比 ，所以 .
（Ⅱ）（i）因为 ，所以 ，
即 ，所以数列 是以 为首项，公差为1的等差数列.
所以 ，即 .（ii） .当 时，左式 ，右式 ，左式＝右式.
当 时，
则
所以 ，即
综上：当 时，
（20）解：（Ⅰ） ，依题意有 ，
解得 ，所以 .
当 与 时， ；当 时， ；
所以 在 ， 单调递增，在 单调递减.
（Ⅱ）直线AB的方程为 ，即 .
由 ，得 ，①，显然 和 为方程的①解.
设 ，则 ，令 得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增.
因为 ， ，所以 有且仅有2个零点 ，其中 ，
即直线AB与曲线 交于另一点C，且C的横坐标为 .
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ，即 ，
设 ，则 ，所以 ，代入可得 .
设 ，则 ，令 得 .
当 时， ；当 时， .
所以 在 单调递减，在 单调递增.
因为 ， ， ，所以存在唯一的
，使得 .
此时
因此， ，所以 .
