文档内容
2024—2025 学年度下学期 2024 级
5 月月考数学试卷
命题人：吴家欣 审题人：时舜
考试时间：2025 年 5 月 23 日
一、单选题
1．已知 ， 均为锐角， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
3．在长方体 中，若 ， ，则异面直线 ，
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不
满足直线 平面 的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知 ， 是平面 外的两条直线，在 的前提下， 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设 ， 是两个非零向量，且 ， ， 则 与 的夹角是（
）
A． B． C． D．
17．在等边三角形 中，D、E、F 分别在边 上，且 ．则
三角形 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ， ，对任意 恒有
，且在区间 上有且只有一个 使 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选题）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．若 是两条直线， 是两个平面， 且 ， 则 是异面直线.
B．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
C．若直线 相交， 是平面且 ，则直线 不在平面 内.
D．若 是平面，直线 ，直线 ，则 .
10．点 在 所在平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 ，则 为锐角三角形
C．若 ，则
D．若 为边长为 2 的正三角形，点 在线段 BC 上运动，则
11．如图，已知正方体 的棱长为 2，点 为 的中点，点 为正方形 内
（包含边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A． 四点共面
B．几何体 的体积为
C．存在唯一的点 ，使 平面
D．直线 与 所成角的余弦值的取值范围是
三、填空题
12．已知平面向量 ， ，则 在 上的投影向量的坐标为 .
213． 中，若 ， ，则 的面积的取值范围 .
14．已知函数 是定义在 上的奇函数，将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍得到 的图象，若方程 在
时有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ．
四、解答题
15．如图，在矩形 和四分之一的 拼接的平面图形中， ， ，将该图形
绕 所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为 ．
(1)求 的体积；
(2)求 的表面积．
16．如图所示，在四棱锥 中，底面 为梯形， ， ，面 面
， 是 的中点.
(1)求证： //平面 ；
(2)若 是线段 上一动点，则线段 上是否存在点 ，使 //平面 ？说明理由.
317．如图，一个半径为 米的筒车按逆时针方向每 分钟转 圈，筒车轴心 距水面的高度为 米.
设筒车上某个盛水桶 到水面的距离为 （单位：米）（在水面下则 为负数），若以盛水桶
刚浮出水面时开始计算时间，则 与时间 （单位：分钟）之间的关系式为
.
(1)求 与时间 （单位：分钟）之间的关系式；
(2)某时刻 （单位：分钟）时，盛水桶 在过 点竖直直线的左侧，到水面的距离为 米，
再经过 分钟后，求盛水桶 到水面的距离.
18．在 中， ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围.
19．已知 为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的伴随向
量，同时称函数 为向量 的伴随函数.
(1)设函数 ，试求 的伴随向量 ；
(2)记向量 的伴随函数为 ，求当 且 时， 的值；
(3)当向量 时，伴随函数为 ，函数 ，求 在区间
上最大值与最小值之差的取值范围.
4《2024-2025 学年度高中数学 5 月月考卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D B C A C BC AC
题号 11
答案 BD
1．C
【分析】首先求出 ， ，再由 及两角差的正弦公式计算可得.
【详解】因为 ， 均为锐角，则 ，又 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以
.
故选：C
2．B
【分析】先根据复数的除法运算法则求出 ，再根据复数的模的计算公式求出 ；也可利用复数
模的性质 来求解 .
【详解】方法一：
由题意， ，
所以， .
方法二：
已知 ，则 .
5已知 ，则 .
因为 ，根据复数模的性质 ，可得：
.
故选：B.
3．B
【分析】注意到 ，则 、 所成角，即为 与 所成角，然后由题意及余弦定理
可得答案.
【详解】连接 、 ，由题可得 ，又 ，
则四边形 为平行四边形，则 ，
即 ， 所成角，即为 与 所成角 或其补角，
又由题可得 ， ，
则 .
因此，异面直线 ， 所成角的余弦值为 .
故选：B.
4．D
【分析】根据线面平行、面面平行的判定定理及性质即可判断.
【详解】对于 A 选项，如图①所示，在正方体 中，
6且 ，
因为 分别为 的中点，
则 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
因为 平面 平面 ，
所以 平面 ，同理可证 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，
故 平面 ,故 A 满足；
对于 B 选项，如图②所示，连接 ，
在正方体 中， 且 ，
因为 分别为 的中点，则 且 ，
所以四边形 为平行四边形，故 ，
因为 分别为 的中点，则 ，
所以 ，
因为 平面 平面 ，
所以 平面 ，故 B 满足；
对于 C 选项，如图③所示，在正方体 中，取 的中点 ，
连接 ，
7因为 且 分别为 的中点，
所以 且 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
因为 分别为 的中点，
所以 ，则 ，
所以 四点共面，
因为 且 ，则四边形 为平行四边形，
所以 ，
因为 分别为 的中点，则 ，
所以 ，
因为 平面 平面 ，
所以 平面 故 C 满足；
对于 D 选项，如图④所示，在正方体 中，取 的中点 ，
连接 ，
因为 且 分别为 的中点，
则 且 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，
因为 分别为 的中点，
所以 ，故 ，
所以 四点共面，
8同理可证 ，故 ，
同理可得 ，
反设 平面 ，
因为 ，且 平面 ，则 平面 ，
但 与平面 有公共点 ，这与 平面 矛盾，
故 平面 ，故 D 不满足.
故选：D.
5．B
【分析】充分性可在正方体中举反例，必要性则利用线面平行的性质定理和判定定理可得.
【详解】如图，在正方体 中，
记平面 为 ，直线 为 ，
若记直线 为 ，则满足 ，但 ，故 无法得出 ；
因 ，则直线 共面，记直线 所确定的平面为 ，
若 ，则 ；
若 ，则由 ， 可得 ，则 ，
因 ， ， ，则 ，
故由 可得出 .
综上可知， 是 的必要不充分条件.
故选：B.
6．C
【分析】由 ， ，得 ，
，化简后结合向量的夹角公式可求得结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，①
因为 ，所以 ，
9所以 ，②
由② ①，得 ，则 ，
所以 ，得 ，所以 ，
因为 ， 是两个非零向量，
所以 ，
因为 ，所以 .
故选：C
7．A
【分析】结合已知，引入 来表达 ，且据勾股定理可求出 ，则
在 和 中，分别用正弦定理可表达 ，即可表达面积，从而分析最值.
【详解】设 ，
，
，
，
在 中， ，即 ，
，
同理，在 中， ，
10的边长 ，
其中 ，
时， 取得最大值为 ，
.
故选：A.
8．C
【分析】由题意得到 满足的关系式，然后结合题意分类讨论确定ω的最大值即可.
【详解】由题意知 ，则 ，
其中 ，
又 f(x)在（ ， ）上有且只有一个最大值，且要求 最大，
则区间（ ， ）包含的周期应最多，
所以 ，得 0< ≤30，即 ，所以 k≤19.5.
分类讨论：
①.当 k=19 时， ，此时 可使 成立，
当 时， ，
所以当 或 时， 都成立，舍去；
②.当 k=18 时， ，此时 可使 成立，
当 时， ，
11所以当 或 时， 都成立，舍去；
③.当 k=17 时， ，此时 可使 成立，
当 时， ，
当且仅当 时， 都成立，
综上可得：ω的最大值为 .
本题选择 C 选项.
【点睛】本题主要考查三角函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力
和计算求解能力，属于难题.
9．BC
【分析】对于 A，通过特例可判断；对于 B，利用确定平面的条件和点、线、面的包含关系即可判
断出正误；对于 C，利用直线与平面平行的定义和直线与平面的位置关系即可判断出正误；对于 D，
利用平面内两直线的位置关系即可判断出正误.
【详解】选项 A，例如长方体对面的两条对角线就是共面的，不合题意；
选项 B，设 ， 不重合，易知 可确定唯一平面 ，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，符合题意；
选项 C，设 ， ，所以 ，故直线 不在平面 内，符合题意；
选项 D，因为直线 ，直线 ，则 或 与 异面，不符合题意.
故选：BC.
10．AC
【分析】对于 A，取 的中点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，结合向量的加法法则
分析判断，对于 B，根据数量积的定义结合锐角三角形的定义分析判断，对于 C，由已知条件结合
向量的加减法法则可得 为 上靠近 的三等分点，从而可求出两三角形的面积比，对于 D，
举例判断.
【详解】对于 A，取 的中点 ，连接 ，则 ，
12因为 ，所以 ，所以 与 共线，
因为 与 有公共点 ，所以 三点共线，即 在中线 上，
取 的中点 ，连接 ，同理可得 在中线 上，
所以 为 的重心，所以 A 正确，
对于 B，由 ，得 ，所以 ，
因为 ，所以角 为锐角，而其它角不一定为锐角，
所以 不一定为锐角三角形，所以 B 错误，
对于 C，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 与 共线，
因为 与 有公共点 ，所以 三点共线，且 为 上靠近 的三等分点，
所以 ，设 到 边的距离为 ，则
，所以 C 正确，
13对于 D，若 为 的中点，则 ，
所以
，所以 D 错误.
故选：AC
11．BD
【分析】推导出 与 为异面直线，即可判断 A；计算几何体 的体积即可判断 B；
取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，可证平面 平面 ，即可求出点
的轨迹，从而判断 C
【详解】对于 A：在正方体 中 ，又 平面 ， 平面
，
所以 平面 ，又 平面 ，且 ，所以 与 为异面直
线，
所以点 四点不共面，故 A 错误；
对于 B： ，故 B 正确；
对于 C：取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
则 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，又 平面 ，点 为正方形 内（包含边界）的动点，
所以点 在线段 上有无数的点，满足 平面 ，故 C 错误；
14故选：BD
12．
【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可得结果.
【详解】因为平面向量 ， ，所以 ，
所以 在 上的投影向量为 .
故答案为： .
13．
【分析】由已知可求得 ，利用正弦定理可得 ，利用 ，结合
边化角与三角恒等变换可求得 的面积的取值范围.
【详解】由 和余弦定理，
可得 ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，
由正弦定理， ，
则得 ，
15，
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
故 的面积的取值范围 .
故答案为： .
14 ．
【分析】利用辅助角公式化简函数 ，根据奇偶性求出参数 ，根据题意进行图象变换得到
，再根据函数单调性结合函数图象求解.
【详解】由题意， ，
由 是奇函数，可得 ，即 ，
.
所以， .
16将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍得到 ，
令 时，
则 时， 单调递增， 时， 单调递减，
时， ； 时， .
函数 的图象如图，
由图可知，若函数 与直线 在 时有两个交点，则 的取值范围是
.
故答案为： .
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据球体与柱体的体积公式直接求解；
（2）根据球体与柱体的表面积公式直接求解.
【详解】（1）依题意得，旋转体的上方是一个半球体，下方是一个圆柱，如图所示．
， ，
，
，
17，
所以 的体积为 ．
（2） ， ，
，
，
．
所以 的表面积为 ．
16．(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）取 中点 ，连 、 ，证明四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判
定即可证明；
（2）取 中点 ，连接 ， ，利用面面平行的判定证明平面 ∥平面 ，再利用面
面平行的性质即可证明 ∥平面 .
【详解】（1）在四棱锥 中，取 中点 ，连 、
∥
又 ∥
∥
四边形 为平行四边形，
∥ ，
又 平面 ， 平面 ， ∥平面 ；
（2）取 中点 ，连接 ， ，
， 分别为 ， 的中点，
∥ ，
平面 ， 平面 ，
18平面 ，
又由（1）可得 ∥平面 ， ， 、 平面
平面 ∥平面 ，
是 上的动点， 平面 ，
∥平面 ，
当 为中点时， ∥平面 .
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据周期求出 ，根据振幅和中心求得 ，根据特殊点求得 ，即
可得解；
（2）根据三角函数同角关系求得 ，然后根据两角和的正弦公式求解即可.
【详解】（1）由题意知， ，因为 ，所以 ；
因为半径为 2 米，筒车的轴心 距水面的高度为 1 米，可得 ，
当 时， ，代入 得 ，
因为 ，所以 ，所以 ；
（2）由题意得， ，得 ，
由题意知 ，所以 ，
所以
，
所以 ，
答：再经过 分钟后，盛水桶 到水面的距离为 米.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用余弦定理即可求解.
19（2）先利用余弦定理、正弦定理、两角和差公式得 ，再把 化简到同一个
角的三角函数，最后利用正弦函数的单调性确定取值范围.
【详解】（1）在 中， ，据余弦定理可得 ，
又 ，故 ，即 ，
又 ，故 ，得 .
（2）在 中，据余弦定理可得 ，
又 ，故 ，即 ，
又 ，故 .
据正弦定理 ，可得 ，
所以 ，
即 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ， 或 ，
即 或 （舍）.
所以 .
因为 是锐角三角形，所以 得 ，
所以 ，故 ，
，
所以 的取值范围是 .
19．(1)
20(2)
(3)
【分析】（1）根据伴随向量的定义，将函数解析式 化简即可得出结果；
（2）知角求角问题，先根据伴随函数定义求得 的解析式，再由 相继得出角 的
正弦值和余弦值，再利用 即可求出 的值；
（3）先求出 的解析式，再利用三角函数的图像及性质研究其最值问题.
【详解】（1）因为 ，所以 .
（2）依题意 ，
由 得 ， ，所以 ，
所以 .
（3）由题 的函数解析式 ，所以
区间 的长度为 ，函数 的周期为 ，
若 的对称轴在区间 内，不妨设对称轴 在 内，最大值为 1，
当 即 时，
函数 在区间 上的最大值与最小值之差取得最小值为 ；
其它的对称轴在 内时最大值与最小值之均大于 ，
当 或 时，最大值与最小值之差取得最大值 1.
21若 的对称轴不在区间 内，不妨设 即 ，
则 在区间 内单调，在两端点处取得最大值与最小值，则最大值与最小值之差为：
，
综上，故函数 在区间 上的最大值与最小值之差的取值范围为
【点睛】方法点睛：求解新定义题型时，先理解清楚新定义，可当做一种规则去理解，在遵循其
规则基础外还是与所学知识相关的，所以要懂得将“新”问题转化成所学过的内容来进行求解.
22
