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高一数学 12 月月考试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 ( )
P={x|−1<x<4} Q={x|−2≤x<2} P∩Q=
A. B.
{x|−1<x<2} {x|−2≤x<4}
C. D.
{x|−1<x<4} {0,1}
2.设x∈R，则“|x|<2”是“x2<1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知命题“ ， ”是真命题，则实数 的取值范围是( )
∀x∈R x2+(a−1)x+4>0 a
A. a≤−3或a≥5 B. −3≤a≤5 C. a< −3或a>5 D. −3<a<5
4.已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为( )
f(x) [2,8] ℎ(x)=f(2x)+❑√9−x2
A. [4,16] B. (−∞,1]∪[3,+∞)
C. [3,4] D. [1,3]
5.已知log (log x 则 （ ）
5 3
A. 9 )=0, B x . =3 C.2 D. 1
6.设 为奇函数，且当 时， ，则 ( )
f(x) x≥0 f(x)=ex−1 f(−1)=
A. e−1 B. e+1 C. −e−1 D. −e+1
1
−x2−4x+3
7.函数y=( ) 的单调递增区间是( )
3
A. (−∞,−2] B. [2,+∞) C. [−2,+∞) D. (−∞,2]
8.当生物死亡后，机体内原有的碳14含量会按确定的比率(称为衰减率)衰减，大约每经过5730年衰减为原
来的一半，这个时间称为“半衰期”.如果C 是某生物刚死亡时机体内碳14的质量，那么经过n年后，其机
0
体内碳 所剩的质量 1 n 考古学家经常利用生物机体内碳 的含量来推断古生物死亡的大
14 C(n)=C ( )5730. 14
0 21
致时间.现考古发现某生物机体内碳14的含量是刚死亡时的 ，根据以上知识推断该生物的死亡时间距今
18
约( )(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)
A. 17000年 B. 20000年 C. 24000年 D. 29000年
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
A. 若a>b，则ac2>bc2
b+m b
B. 若a>b>0，m>0，则 >
a+m a
m m
C. 若a>b>0，m<0，则 >
a b
1 1
D. 若0>a>b，则 >
a3 b3
10.若正实数a,b满足a+b=1，则( )
1
A.ab有最大值
4
B. √a √b有最小值√2
+
1 1
C. 有最小值
a b
+ 4
√2
D. a2 b2有最小值
2
+
11.设[x]表示不超过x的最大整数，如[−1.8]=−2，[2.7]=2，已知函数f(x)=[x]，g(x)=kx(k>0)，
下列结论正确的是( )
A. 函数y=|f(x)|是偶函数
B. 当k=1时，函数y=g(x)−f(x)的值域是[0,1)
1
C. 若方程f(x)=g(x)只有一个实数根，则k∈(0, ]
2
1 2
D. 若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根，则k∈( , ]
2 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
x+1
12.不等式 ≤ 的解集为 ．
2x−3
113.已知f(√x+2)=x+4√x，则f(x)的解析式为 ．
14.已知函数
{−x2+2(a−1)x,x≤1在
上单调递增，则实数 的取值范围是 ．
f (x)= R a
(8−a)x+4,x>1
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1) 分）计算( 5 1 ) 0.5 −2× ( 2 10)− 3 2 −2×(√2+π) 0 ÷ (3) −2；
16 27 4
(6
分 已知方程 － ＋4=0的两根为 < ，求 + 的值
(2) x2 x x x x x−2 x−2
1 2 1 2 1 2
(7 ) 8x , ( ) .
16.(本小题15分)
已知集合 或 ， ， ．
A={x|x≥1 x<−1} B={x|x2−5x−6<0} C={x|2a−3<x<a+1}
(1)求(∁ A)∩B；
U
(2)若x∈B是x∈C的必要条件，求a的取值范围．
17.(本小题15分)
b 2
设a，b为实数，已知定义在R上的函数f(x)=a− 为奇函数，且其图象经过点(1, )．
5x+1 3
(1)求f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)为R上的增函数，并求f(x)在(−1,2]上的值域．
18.(本小题17分)
已知幂函数 是偶函数，且在 上单调递增．
f(x)=(m2−2m+2)x5k−2k2 (k∈Z) (0,+∞)
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(2x−1)<f(2−x)，求x的取值范围；
3 2
(3)若实数a，b(a，b∈R❑ + )满足2a+3b=7m，求 + 的最小值．
a+1 b+1
19.(本小题17分)
已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)对于∀x，y∈(0,+∞)，都满足f(x)+f(y)=f(xy)+3，且当
x∈(0,1)时，f(x)<3．
(1)求f(1)，并用定义法判断f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;是否存在实数 ，使得关于 的不等式 ， 恒成立 若存在，
(2) k x f(x2−kx−3x+1)≥f(−2kx) x∈(0,+∞) ?
求k的取值范围;若不存在，请说明理由答案
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】BC
10.【答案】AC
11.【答案】BC
3
12.【答案】（-∞， ）∪[ ， ∞）
2
4 +
13.【答案】
f (x)=x2−4,(x⩾2)/f (x)=x2−4,x⩾2/f (x)=x2−4,x∈[2,+∞)/f (x)=x2−4,x∈{x|x⩾2}
14.【答案】[2,5]
15.【答案】解： (1) ( 5 1 ) 0.5 −2× ( 2 10)− 3 2 −2×(√2+π) 0 ÷ (3) −2
16 27 4
=
(81) 1
2−2×
(64)−
3
2
−2×1×
(3) 2
=
[ (9) 2] 1
2−2×
[ (4) 3]−
3
2
−2×
9
16 27 4 4 3 16
9 (4) −2 9 9 9 9 ．
= −2× − = − − =0
4 3 8 4 8 8
7
(2)
2
16.【答案】解： 因为 或 ， ，
(1) A=={x|x≥1 x<−1} B={x|x2−5x−6<0}={x|−1<x<6}
所以∁ A={x|−1≤x<1}，(∁ A)∩B={x|−1<x<1}．
U U
(2)因为x∈B是x∈C的必要条件，B={x|−1<x<6}，C={x|2a−3<x<a+1}，所以C⊆B，
当C=⌀时，2a−3≥a+1，即a≥4，
{2a−3<a+1
当C≠⌀时， 2a−3≥−1 ，解得1<a<4，
a+1≤6
故a的取值范围为{a|a>1}．
17.【答案】(1)解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，
b
所以f(0)=0，可得a− =0①，
2
2 b 2
由其图象经过点(1, )，可得f(1)=a− = ②，
3 6 3
联立①②，解得a=1，b=2，
所以 2 5x−1，
f(x)=1− =
5x+1 5x+1
此时
5−x−1 1−5x
，满足 是奇函数，
f(−x)= = =−f(x) f(x)
5−x+1 1+5x
所以 的解析式为
5x−1．
f(x) f(x)=
5x+1
(2)证明：设任意x ，x ∈R且x <x ，
1 2 1 2
则 2 2
2(5x 1−5x
2) ，
f(x )−f(x )=1− −(1− )=
1 2 5x 1+1 5x 2+1 (5x 1+1)(5x 2+1)
因为x <x ，所以5x 1<5x 2，所以5x 1−5x 2<0，5x 1+1>0，5x 2+1>0，
1 2
所以f(x )−f(x )<0，f(x )<f(x )，
1 2 1 2
所以f(x)为R上的增函数，2 12
f(x)在(−1,2]上单调递增，f(−1)=− ，f(2)= ，
3 13
2 12
所以f(x)在(−1,2]上的值域为(− , ].
3 13
18.【答案】解： 幂函数 是偶函数，且在 上单调递增，
(1)∵ f(x)=(m2−2m+2)x5k−2k2 (k∈Z) (0,+∞)
∴m2−2m+2=1，且5k−2k2 为正偶数，
， ，故 ．
∴m=1 k=2 f(x)=x2
(2)∵f(2x−1)<f(2−x)，∴|2x−1|<|2−x|，∴4x2−4x+1<x2−4x+4，
即3x2<3，求得−1<x<1．
故x的取值范围为{x|−1<x<1}．
若实数 ， 满足 ， ，即
(3) a b(a,b∈R+ ) 2a+3b=7m=7 ∴2(a+1)+3(b+1)=12
1
[2(a+1)+3(b+1)]=1，
12
则
3 2 1 3 2 1 a+1 b+1 1 a+1 b+1
+ = [2(a+1)+3(b+1)]⋅( + )= (6+4× +9× +6)=1+ (4× +9× )
a+1 b+1 12 a+1 b+1 12 b+1 a+1 12 b+1 a+1
1 √ a+1 b+1 1
≥1+ ×2 4⋅ ⋅9⋅ =1+ ×2×6=2，当且仅当a=2，b=1时，等号成立，
12 b+1 a+1 12
3 2
故 + 的最小值为2．
a+1 b+1
19.【答案】解：(1)令x= y=1，则f(1)+f(1)=f(1)+3，即f(1)=3，
令 ， ，且 ，则x ，
∀x x ∈(0,+∞) x <x 1∈(0,1)
1 2 1 2 x
2
x x x ，
f(x )−f(x )=f(x )−f(x ⋅ 1 )=f(x )−f(x )−f( 1 )+3=−f( 1 )+3
2 1 2 2 x 2 2 x x
2 2 2又当x∈(0,1)时，f(x)<3，
x ，
∴f(x )−f(x )=−f( 1 )+3>0
2 1 x
2
f(x )−f(x ) ，
∴ 2 1 >0
x −x
2 1
故f(x)在区间(0,+∞)上单调递增．
(2)不存在，理由如下：
∵f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
若关于 的不等式 恒成立，
x f(x2−kx−3x+1)≥f(−2kx)
∴x2−kx−3x+1≥−2kx，
即 在区间 上恒成立．
x2+(k−3)x+1≥0 (0,+∞)
当 时，二次函数 的对称
k≥3 y=x2+(k−3)x+1
k−3
轴x=− ≤0，
2
当 时， ，
∴ x>0 y=x2+(k−3)x+1>1
又{x2−kx−3x+1>0, {k<−1,
∴
−2kx>0, k<0,
故当k≥3时，无满足题意的实数k．
k−3
当k<3时，∵二次函数y=x2+(k−3)x+1的对称轴x=− >0，
2{x2−kx−3x+1>0, {k<−1,
只需 解得
∴ −2kx>0, k<0,
4−(k−3) 2≥0, 1≤k≤5,
故当k<3时，无满足题意的实数k．
综上所述，不存在实数k，使得关于x的不等式
恒成立．
f(x2−kx−3x+1)≥f(−2kx)
