文档内容
张家界市 2024 年普通高中一年级第一学期期末联考
数学试题卷
命题人：唐勇周洋 审题人：谭俊凭
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在
试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不
准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.“ 且 ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.使式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
5.下面四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）A. B.
C. D.
6.已知 ， ，则 （ ）
A.1 B. C. D.
7.已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
8.若当 时，函数 与 的图象有且仅有4个交点，则 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法中正确的是（ ）
A.第一象限角都是锐角
B.
C.一个扇形半径扩大一倍，圆心角减小一半，则面积不变
D.终边在直线 上的角的集合是
10.已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.函数 的图象关于 对称B.函数 的图象关于直线 对称
C.函数 在 上单调递增
D.该图象向右平移 个单位长度可得 的图象
11.已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则（ ）
A.
B. 为偶函数
C.3为函数 的一个周期
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数 的图象过点 ，则 __________.
13.已知函数 （ ，且 ）在区间 上单调递增，则 的取值范围是__________.
14.若对任意 ，不等式 恒成立，则实数a的值是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知全集 ，集合 ， .
（1）求 ， ；
（2）若集合 ，且 ，求实数a的取值范围.
16.（15分）
已知函数 .
（1）当 时，解关于 的不等式 ；
（2）若关于 的方程 在 上有两个不相等实根，求实数a的取值范围.
17.（15分）
为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某县抓住机遇，利用得天独厚的绿色资源天然氧吧，大力开发旅游康养游玩项目，助力脱贫.当地某旅游公司计划在2024年全年投入固定成本 万元，若该
项目在2024年有游客x万人，则需另投入成本 万元，且
该游玩项目的每张门票售价为100元.为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好
发展，每年给该游玩项目财政补贴 万元.
（1）求2024年该项目的利润 （万元）关于游客人数x（万人）的函数关系式（利润＝收入－成本）；
（2）当年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
18.（17分）
公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为
0.618，这一数值也可以表示为 .三倍角公式是把形如 ， 等三角函数用单倍角三角函数
表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科.
（1）记 ，试写出此三倍角公式的具体内容，并证明；
（2）若角 满足 ，求 的值；
（3）试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值.
19.（17分）
已知函数 ， （ ，且 ），满足 且 为增函数.
（1）求函数 ， 的解析式；
（2）若存在 使得不等式 成立，求实数m的取值范围；
（3）若 ，且关于 的方程有四个不同的实数解，求实数k
的取值范围.张家界市 2024 年普通高中一年级第一学期期末联考
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D D C B A C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BD ACD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 13. 14.
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
解：（1）由已知易得 ，……2分
，……4分
.……6分
（2）由 得 ，……8分
当 时， ，解得 ；9分
①
当 时， ，解得 .……12分
②
综上所述，实数 的取值范围为 .……13分
16.（15分）
解：（1）当 时， ，解不等式 得： 或 ……4分
原不等式解集为 .……5分
（2） 在 上有两个不相等实根
或 ……8分
设 ，则 ，
，解得 ……11分
又 的对称轴为 ， ，解得 ……14分
或 .……15分
17.（15分）
解：（1）该项目的门票收入为 万元，财政补贴收入为 万元，共 万元收入，
当 时， ，……2分
①
当 时， ，……4分
②
当 时， ，……6分
③
综上所述， ……7分
（2） 当 时， 单调递增， ；……9分
①当 时，对应二次函数的图象开口向下，对称轴为 ，则
②
；……11分
当 时， ，当且仅当 即 时，等号成立，
③
.……13分
综上，当2024年的游客人数为30万时，利润最大，最大利润为205万元.……15分
18.（17分）
解：（1） ……2分
……3分
……4分
.……5分
（2）由（1）及已知得： 解得： ……6分
同理（1）易得： ……7分
……8分
由 得：
.……10分
（3） 即
……12分两边除去 得： 即
化简得： ，解得： （负舍）
由题意知黄金分割值为 .……17分
（注：如有其它解法，请酌情给分.）
19.（17分）
解：（1） 为增函数， ……1分
由 得 ，解得 或 （舍）……3分
， .……4分
（2）由于 是增函数， 当 时， ，存在 不等式
成立，
即 成立， 成
立，……6分
令 ， 存在 ，不等式 即
成立……7分
设 ，则 ， ，……8分
，当且仅当 时，等号成立， ，
实数 的取值范围是 ；……10分（3） ，则 为偶函数，令 ，
当 时，关于 的方程 只有一个实数解，
当 时，关于 的方程 有两个不同的实数解，
当 时，关于 的方程 没有实数解，……12分
要使关于 的方程 有四个不同的实数解，
需关于 的方程 有两个不同的正实数根，……13分
则 ，解得 或 ，
的取值范围是. .……17分
（注：如有其它解法，请酌情给分.）
