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2000 年北京高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第ⅠⅡ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。
共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
参考公式：
三角函数和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式
inθ＋sinΦ＝2sin cos s － (c'＋c)L
台侧
sinθ－sinΦ＝2cos sin 其中c'、c分别表示、下底面周长，
L表
示棱高或母线长
cosθ＋cosΦ＝2cos cos 台体的体积公式 V ＝ (S'＋ ＋
台体
S)h
cosθ－cosΦ＝－2sin sin 其中S'、S分别表示上、下底面积，h表示
高
一、选择题：本大题共14小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(14)题每小题5分，
共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z＝3＋i，z＝1－i，则z＝zz 在复平面内的对应点位于
1 2 1 2
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么 ∩ 是
A．φ B．{d} C．{a，c} D．{b，e}
3．双曲线 ＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是
A．2 B． C． D．3/2
4．下列方程的曲线关于x＝y对称的是
A．x2－x＋y2＝1 B．x2y＋xy2＝1 C.x－y＝1 D．x2－y2＝1
5．一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥的体积之比是
A．1∶3 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶9
6．直线( － )x＋y＝3和直线x＋( － )y＝2的位置关系是
A．相交不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合
7．函数y＝lg|x|
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
8．从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且
顺序不变)的不同排列共有
A．120个 B．480个 C．720个 D．840个
9．椭圆短轴长2，长短是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线的距离是
第1页 | 共8页A．8/5 B．4/5 C．8/3 D．4/3
10．函数y＝sinx＋cosx＋2 的最小值是
A．2－ B．2＋ C．0 D．1
11．设复数z ＝－1－i在复平面上对应向量 ，将 按顺时针方向旋转 π后得到向
1
量 ，令 对应的复数z 的辐角主值为θ，则tgθ＝
2
A．2－ B．－2＋ C．2＋ D．－2－
12．设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是
A．tgαtgβ＜1 B．sinα＋sinβ＜
C．cosα＋cosβ＞1 D． tg(α＋β)＜(tgα＋β)/2
13．已知等差数列{an}满足α＋α＋α＋…＋α ＝0则有
1 2 3 101
A．α＋α ＞0 B．α＋α ＜0 C．α＋α ＝0 D．α ＝51
1 101 2 100 3 90 51
14．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如右图，则
A．b∈(－∞，0) B．b∈(0，1)
C．b∈(1，2) D．b∈(2，＋∞)
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
15．函数y＝cos(2π/3＋ )的最小正周期是___________
16．右图是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是_________
17．( － )10展开式中的常数项是__________
第2页 | 共8页18．在空间，下列命题正确的是(注：把你认为正确的命题的序号填上)
①如果两直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b
②如果直线α与平面β内的一条直线b平行，那么α∥β
③如果直线α与平面β内的两条直线b、c都垂直，那么α⊥β
④如果平面β内的一条直线a垂直平面γ，那么β⊥γ
三、解答题：本大题共6小题；共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．已知二次函数f(x)＝(lga)x2＋2x＋4lga的最大值为3，求a的值。
20．(本小题满分12分)。
在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c。证明：(a2－b2)/c2＝sin(A－B)/sinC
21．(本小题满分12分)
在直角梯形ABCD中，∠D＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝ AB＝α(如图一)，将△ADC沿
AC折起，使D到D'。记面ACD'为α，面ABC为β，面BCD'为γ。
(1)若二面角α－AC－β为直二面角(如图二)求二面角β－BC－γ的大小；
(2)若二面角α－AC－β为60°(如图三)，求三棱锥D'－ABC的体积。
22．(本小题满分12分)
已知等差数列{a}的公差和等比数列{b}的公比相等，且都等于d(d＞0，d≠1)，若a＝
n n 1
b，a＝3b， a＝5b，求a，b。
1 3 3 5 5 n n
23．(本小题满分12分)
如图，设点A和B为抛物线y2＝4x(p＞0)上原点以外的两个动点。已知OA⊥OB，OM⊥AB。
求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
第3页 | 共8页24．(本小题满分12分)
某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为akW.h。本年度计划将电价降到0.55年/
kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h。经测算，下调电价后新增
的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)。该地区电力的成本价为
0.3元/kW·h
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电部门的收益比上年至少增长20％？
(注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价))
2000年普通高等到学校春季招生考试（北京、安徽卷）
数学试题（文史类）参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考。如果考
生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的
一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识的基本运算，第1—10题每小题4分，第11—14题每小题
5分，满分60分。
1、D 2、A 3、C 4、B 5、C
6、B 7、B 8、B 9、D 10、A
11、C 12、D 13、C 14、A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
15、3 16、2 17、－252 18、① ，④
第4页 | 共8页三、解答题
19．本小题主要考查二次函数最大值和最小值的概念，以及对于配方法、对数方程、
二次方程的解法的运用能力。满分12分。
解：原函数可化成
f(x)＝lga(x＋ )2－ ＋4lga …………4分
由已知，f(x)有最大值3，所以lga＜0，并且
－ ＋4lga＝3
整理得 4(lga)2－3lga－1＝0 …………8分
解得 lga＝1，lga＝－1/4 …………10分
∵ lga＜0
故取 lga＝－1/4
∴ a＝ ＝ …………12分
20．本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的
变形技能。满分12分。
证明：由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA
b2＝a2＋c2－2accosB …………3分
∴ a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB
整理得 ＝ …………6分
依正弦定理，有 ， …………9分
∴ ＝
＝ …………12分
21．本小题主要考查空间线面关系，及运算、推理、空间想象能力。(满分12分)
解：(1)在直角梯形ABCD中 由已知△DAC为等腰直角三角形，
∴ AC＝ a ， ∠CAB＝45°
第5页 | 共8页过C作CH⊥AB，由AB＝2a 可推得AC＝BC＝ a
∴ AC⊥BC
…………2分
取AC的中点E，连结D'E， 则D'E⊥AC
又∵ 二面角α－AC－β为直二面角， ∴ D'E⊥β
又∵ BC 平面β ∴ BC⊥D'E
∴ BC⊥α，而D'C α ∴ BC⊥D'C …………4分
∴ ∠D'CA为二面角β－BC－γ的平面角
由于∠D'CA＝45°
∴ 二面角β－BC－γ为45°。 …………6分
(2)取AC的中点E，连结D'E，再过D'作D'O⊥β，垂足为O，
连结OE。
∵ AC⊥D'E ∴ AC⊥OE
∴ ∠D'EO为二面角α－AC－β的平面角，
∴ ∠ D'EO ＝ 60°
…………9分
在Rt△D'OE中，D'E＝AC/2＝ a/2
∴ V ＝(1/3)S ·D'O ＝(1/3)×(1/2)AC·BC·D'O
D'－ABC △ABC
＝(1/6)× a× a× a/4＝( /12)a3 …………12分
22．本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质，方程组的解法，以及运算能力和
分析能力。满分12分。
解：由已知
…………4分
由①得 a(3d2－1)＝2d ③
1
由②得 a(5d4－1)＝4d ④
1
因为 d≠0，由③式和④式得 2(3d2－1)＝5d4－1
即 5d4－6d2＋1＝0 …………7分
第6页 | 共8页解得 d＝±1，d=±
∵ d＞0，d≠1，∴ d＝
代入③，得 a＝－ ，故b＝－
1 1
a＝－ ＋ (n－1)＝ (n－6) …………10分
n
b＝－ × …………12分
1
23．本小题考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点轨迹方程的基本方
法以及方程化简的基本技能。满分12分。
解：如图，点A，B在抛物线y2＝4px上
设A( ，y)，B( ，y)，OA，OB的斜率分
A A
别为k 、k 。
OA OB
∴ k ＝ ＝ 4p/y ， k ＝ 4p/y
OA A OB B
…………2分
由 OA⊥OB，得 k ·k ＝ ＝－1
OA OB
① …………4分
依点A在AB上，得直线AB方程
(y＋y)(y－y)＝4p(x－ ) ② …………6分
A B A
由OM⊥AB，得直线OM方程 y＝ x ③…………8分
设点M(x，y)，则x，y满足②、③现式，将②式两边同时乘以－x/4p，并利用③
式整理得
x. ＋yy－(x2＋y2)＝0 ④ …………10分
A
由③、④两式得 (－x/4p)yy－(x2＋y2)＝0
A B
由①式知 yy＝－16p2 ∴ x2＋y2－4px＝0
A B
因为A、B是原点以外的两点，所以x≠0。
第7页 | 共8页所以点M的轨迹是以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。
…………12分
24．本小题主要考查建立函数关系、解不等式基础知识，考查综合应用数学知识、思
想和方法解决实际问题的能力，满分12分。
解：(1)设下调后的电价为x元/kW·h，依题意知用电量增至 ＋a，电力部门
的收益为
y＝( ＋a)(x－0．3)(0．55≤x≤0．75)
(2)依题意有
整理得
解此不等式得 0．60≤x≤0．75
答：当电价最低定为0．60元/kW·h，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长
20％。
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