2000年北京高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_北京

2000 年北京高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ 卷3至8页．共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题共60分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡 上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式： 三角函数和差化积公式 θ θ sinθsin  2sin cos 2 2 θ θ sinθsin  2cos sin 2 2 θ θ cosθcos  2cos cos 2 2 θ θ cosθcos  2sin sin 2 2 正棱台、圆台的侧面积公式 1 S  (c′c)l 台侧 2 其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长 台体的体积公式 1 V  (S′ S′S S)h 台体 3 其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高 一、选择题：本大题共14小题；第(1)─(10)题每小题4分，第(11)—(14)题每小题 5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1)复数z =3+i，z =1-i，则z= z ·z 在复平面内的对应点位于[ ] 1 2 1 2 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)设全集I={a,b,c,d,e}，集合M ={a,c,d}，N ={b,d,e}，那么M∩N是 [ ] 第1页 | 共11页x2 y2 （3）双曲线  1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 [ ] b2 a2 3 A．2 B． 3 C． 2 D． 2 (4)曲线xy=1的参数方程是 [ ]  1 xt2 xsina A．  B．    1 y csca y t 2 xcosa, xtga, C．  D．  y seca y ctga. (5)一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是 [ ] A．1∶3 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶9 (6)直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系是 [ ] A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．重合 (7)函数y=lg|x| [ ] A．是偶函数，在区间(-∞,0)上单调递增 B．是偶函数，在区间(-∞,0)上单调递减 C．是奇函数，在区间(0,+∞)上单调递增 D．是奇函数，在区间(0,+∞)上单调递减 (8)从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变) 的不同排列共有 A．120个 B．480个 C．720个 D．840个 (9)椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线距离是[ ] 8 4 8 4 A． 5 B． 5 C． 3 D． 3 5 5 3 3 1 (10)函数y  的最大值是 [ ] 2sinxcosx 2 2 2 2 A． -1 B． +1 C．1 D．1 2 2 2 2 π π (11)设复数z =2sinθ +icosθ( ＜θ＜ )在复平面上对应向量 1 4 2 z  r(cosisin), 则tg  [ ] 2 第2页 | 共11页2tgθ1 2tgθ-1 A． B． 2tgθ1 2tgθ1 1 1 C． D． 2tgθ1 2tgθ1 (12)设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是 [ ] A．tgαtgβ＜1 B．sinαsinβ＜ 2 1 αβ C．cosαcosβ＞1 D． tg(αβ)＜tg 2 2 (13)已知等差数列{a }满足a a a …a  0, 则有 n 1 2 3 101 [ ] A．a +a ＞0 B．a +a ＜0 1 101 2 100 C．a +a =0 D．a 51 3 99 51 (14)已知函数f(x) =ax3 bx2 cxd的图象如右图, 则 [ ] A．b∈(-∞,0) B．b∈(0,1) C．b∈(1,2) D．b∈(2,+∞) 第Ⅱ卷（非选择题） 注意事项： 1．第Ⅰ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目写清楚． 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上． 2π π (15)函数y =cos( x+ )的最小正周期是_______. 3 4 (16)下图是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是 ______． 第3页 | 共11页1 (17) ( x - )10展开式中的常数项是______. 3 x (18)在空间，下列命题正确的是______．（注：把你认为正确的命题的序号都填上） ①如果两直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b ②如果直线a与平面β内的一条直线b平行，那么a∥β ③如果直线a与平面β内的两条直线b、c都垂直，那么a⊥β ④如果平面β内的一条直线a垂直平面γ，那么β⊥γ 三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤． (19)（本小题满分12分） 在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c．证明： a2 b2 sin(AB)  c2 sinC 1 (20)在直角梯形ABCD中，∠D= ∠BAD=90°，AD= DC= AB 2 =a（如图一），将△ADC沿AC折起，使D到D′．记面ACD′为α，面ABC为β，面BCD′ 为γ． (Ⅰ)若二面角α-AC-β为直二面角（如图二），求二面角β-BC-γ的大小； (Ⅱ)若二面角α-AC-β为60°（如图三），求三棱锥D′-ABC的体积． (21)（本小题满分12分） 设函数f(x)=|lgx|，若0＜a＜b，且(a)＞f(b)，证明：ab＜1. (22)（本小题满分12分） 如图，设点A和B为抛物线y2  4px(p＞0)上原点以外的两个动点.已 知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 第4页 | 共11页(23)（本小题满分12分） 某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为akW·h，本年度计划将电价降到0.55 元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h，经测算，下调电价后 新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成 本价为0.3元/kW·h． (Ⅰ)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； (Ⅱ)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%？ （注：收益=实际用电量×(实际电价-成本价)） (24)（本小题满分14分）  1 f (x) x∈[0, )   1 2 已知函数f(x)   1  f (x), x∈[ ,1],   2 2 1 其中f (x)  2(x )2 1, f (x)  2x2 1 2 2 (Ⅰ)在下面坐标系上画出y  f(x)的图象 1 (Ⅱ)设y  f (x)(x∈[ ,1])的反函数为y  g(x),a 1,a  g(a ),…, 2 2 1 2 1 a  g(a ); 求数列{a }的通项公式, 并求lima ; n n1 n n n 1 (Ⅲ)若x [0, ), x  f (x ), f (x )  x , 求x . 0 2 1 0 1 0 0 绝密★启用前 第5页 | 共11页2000年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷） 数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准 说明： 一、本解答指出了每题考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细 则。 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变试题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(14) 题每小题5分，满分60分。 (1)D (2)A (3)C (4)D (5)C (6)B (7)B (8)B (9)D (10)B (11)A (12)D (13)C (14)A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。 (15) 3 (16) 2 2 (17) 210 (18) ①, ④ 三、解答题 (19)本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的 变形技能，满分12分。 证明：由余弦定理 a2  b2 c2 2bccosA , b2  a2 c2 2accosB, a2 b2 ccosBbcosA 整理得  c2 c a sinA b sinB 依正弦定理, 有 ,  ,  , c sinC c sinC a2 b2 sinAcosBsinBcosA ∴  c2 sinC sin(AB)  sinC (20)本小题主要考查空间线面关系，及运算、推理、空间想象能力，满分12分。 第6页 | 共11页解：(Ⅰ)在直角梯形ABCD中，由已知△DAC为等腰直角三角形， ∴ AC  2a, ∠CAB 45° 过C作CH⊥AB, 由AB 2a , 可推得 AC  BC  2a. ∴AC⊥BC. 取AC的中点E，连结D′E， 则D′E⊥AC。 又 ∵二面角a-AC-β为直角二面角， ∴D′E⊥β。 又∵BC 平面β ∴BC⊥D′E ∴BC⊥a, 而D′C a, ∴BC⊥D′C ∴∠D′CA为二面角β-BC-γ的平面角。 由于∠D′CA=45°， ∴ 二面角β-BC-γ为45°。 (Ⅱ)取AC的中点E，连结D′E，再过D′作D′O⊥β，垂足为O，连结OE。 ∵AC⊥D′E， ∴AC⊥OE。 ∴∠D′EO为二面角α-AC-β的平面角， ∴∠D′EO=60° 第7页 | 共11页1 2 在Rt△D′OE中，D′E  AC  a , 2 2 1 ∴V  S ·D′O, D′ABC 3 △ABC 1 1  × AC·BC·D′O 3 2 1 6  × 2a× 2a× a 6 4 6  a3 12 (21)本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析问题解决 问题的能力，满分12分。 证明：由已知 lgx,(1≤x＜), f(x)  │lgx│   lgx,(0＜x＜1)  ∵0＜a＜b, f(a)＞f(b), ∴a、b不能同时在区间[1,+∞)上，又由于0＜a＜b，故必有a∈(0，1)； 若b∈(0,1)，显然有ab＜1， 若b∈[1,+∞)，由f(a)-f(b)＞0， 有-lga-lgb＞0 故 lgab＜0, ∴ab＜1 (2)本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基本方法以 及方程化简的基本技能，满分12分。 解：如图，点A，B在抛物线y2  4px上, y2 y2 设A( A ,y ), B( B ,y ), OA、OB的斜率分别为k 、k 4p A 4p B OA OB y 4p 4p ∴ k  A  , k  OA y2 y OB y A A B 4p 第8页 | 共11页16p2 由OA⊥OB，得k ·k   1, ① OA OB y y A B 依点A在AB上，得直线AB方程 y2 (y y )(yy )  4p(x A ), ② A B A 4p y y 由OM⊥AB，得直线OM方程 y  A B x ③ 4p x 设点M(x, y)，则x,y满足②、③两式，将②式两边同时乘以 , 4p 并利用③式整理得 x y2 yy (x2 y2)  0 ④ 4p A A x 由③、④两式得  y y (x2 y2)  0, 4p A B 由①式知, y y  16p2, A B ∴x2 y2 4px  0 因为A、B是原点以外的两点，所以x≠0 所以点M的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。 (23)本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、 思想和方法解决实际问题的能力，满分12分。 解(Ⅰ): 设下调后的电价为x元/kW·h, 依题意知用电量增至 k a,电力部门的收益为 x0.4 k y  ( a)(x0.3)(0.55≤x≤0.75). x0.4 (Ⅱ)依题意有  0.2a ( a)(x0.3)≥[a×(0.80.3)](120%),  x0.4 0.55≤x≤0.75  x2 1.1x0.3≥0, 整理得  0.55≤x≤0.75  解此不等式得 0.60≤x≤0.75 第9页 | 共11页答：当电价最低定为0.60元/kW·h仍可保证电力部门的收益比上年增长20%。 (24)本小题主要考查函数及数列的基本概念和性质，考查分析、归纳、推理、运算能 力，满分14分。 解(Ⅰ)：函数图象： 1 1 1 说明:图象过(0, )、( ,1),(1,0)点; 在区间[0, )上的图象为上凸的 2 2 2 1 曲线段；在区间[ ,1]上的图象为直线段. 2 1 (Ⅱ):f (x)  2x2, x∈[ ,1]的反函数为: 2 2 x y 1 , x∈[0,1]. 2 由已知条件得： a 1 1 1 1 a 1 a 1 , 2 2 1 2 1 1 1 a 1 a 1 ( )2, 3 2 2 2 2 1 1 1 a 1( )1 ( )2 ( )3, 4 2 2 2 ………… 1 1 1 1 ∴a  ( )0 ( )1 ( )2 …( )n1 n 2 2 2 2 1 1( )n 2  1 1( ) 2 2 1 即 a  [1( )n], n 3 2 2 1 2 ∴ lima  lim [1( )n] n n n 3 2 3 第10页 | 共11页1 (Ⅲ)：由已知x ∈[0, ), 0 2 1 ∴x  f (x ) 12(x  )2, 1 1 0 0 2 1 由f (x)的值域, 得x ∈[ ,1]. 1 1 2 1 1 ∴f (x )  22[12(x  )2] 4(x  )2. 2 1 0 2 0 2 由f (x )  x , 整理 4x2 5x 1 0, 2 1 0 0 0 1 解得 x 1, x  , 0 0 4 1 1 因为 x ∈[0, ), 所以x  . 0 2 0 4 第11页 | 共11页