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保密★启⽤前
年上学期⾼⼀年级期末考试（数学）试题卷
2025
班级：___________姓名：___________考号：___________
⼀､选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项
是符合题⽬要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.为了了解邵东市中⼩学⽣的视⼒情况，拟从邵东市的中⼩学⽣中抽取部分学⽣进⾏调查，事先已经了解
到邵东市⼩学､初中､⾼中三个学段学⽣的视⼒情况有较⼤差异，⽽男､⼥⽣视⼒情况差异不⼤.则下列抽样
⽅法最合理的是（ ）
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.按性别或学段分层抽样都⾏
2.复数 的虚部为（ ）
A.1 B. C. D.
3.设 是⼀个平⾯， ､ 是两条直线，则正确的命题为（ ）
A.如果 ， ，那么 B.如果 ， ，那么
C.如果 ， ，那么 D.如果 ， ，那么
4.已知在 中， ，则 的形状是（ ）
A.等腰三⻆形 B.等边三⻆形 C.钝⻆三⻆形 D.直⻆三⻆形
5.已知平⾯向量 ，若 与 垂直，则 （ ）
A. B. C. D.14
6.⼩明参加⼀场射箭⽐赛，需要连续射击三个靶⼦，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶⼦的概
率分别为x，x， ，若他恰好射中两个靶⼦的概率是 ，那么他三个靶⼦都没射中的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.在 中，点 在线段 上，且满⾜ ，点 为线段 上任意⼀点（除端点外），
若实数 ， 满⾜ ，则 的最⼩值为（ ）
A. B. C. D.9
8.在三棱锥 中， ， ， ，则该三棱锥的外接球
的表⾯积为（ ）
学科⽹（北京）股份有限公司A. B. C. D.
⼆､选择题：本⼤题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的四个选项中，有多项符合题⽬要求，
请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.
9.在⼀次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发⽣的概率分别是0.1，0.2，0.3，0.4，则下列说法错
误的是（ ）
A. 与C是互斥事件，也是对⽴事件 B. 与D是互斥事件，也是对⽴事件
C. 与 是互斥事件，但不是对⽴事件 D.A与 是互斥事件，也是对⽴事件
10.在 中，内⻆ 所对的边分别为 ，则下列说法正确的是（ ）
A.若 ，则 是钝⻆三⻆形
B.若 是锐⻆三⻆形，则
C.若 ， ， ，则满⾜这组条件的三⻆形有两个
D.若 ，则
11.正⽅体 的棱⻓为2， 是侧⾯ 上的⼀个动点（含边界）；点 在棱
上， ；则下列结论正确的有（ ）
A.沿正⽅体的表⾯从点 到点 的最短距离为
B.三棱锥 的外接球表⾯积为
C.若 ，则点 的运动轨迹⻓度为
D.平⾯ 被正⽅体 截得截⾯⾯积为
三､填空题：本⼤题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12.在⼀次数学测验中，某⼩组的7位同学的成绩分别为：109，116，122，126，131，134，140，则这7
位同学成绩的上四分位数与下四分位数的差为__________.
13.已知 是边⻓为2的等边三⻆形，点 是 内⼀点，且 ，若 ，
则 的最⼩值为__________.
14.在三棱锥 中， ，点P在平⾯ABC上的投影O是 的垂⼼， 平⾯PBC，
若 ，则三棱锥 的体积的最⼤值为__________.
四､解答题：本⼤题共5⼩题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的⽂
字说明，证明过程或演算步骤.
学科⽹（北京）股份有限公司15.（本题满分13分）
如图，三棱锥 的各顶点都在球 的表⾯上，底⾯ 中， ，
，侧棱 底⾯ABC.
（1）求三棱锥 的表⾯积；
（2）求球 的体积.
16.（本题满分15分）
如图，在 中， ， ， 与 交于O，若 ，
（1）求 的值；
（2）设 的⾯积为S， 的⾯积为 ，求 的值.
17.（本题满分15分）
学校组织全校学⽣进⾏了⼀次“ 交通安全知识知多少” 的问卷测试.已知所有学⽣的测试成绩均位于区间
，从中随机抽取了40名学⽣的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直⽅图.
（1）求图中 的值，并估算这40名学⽣测试成绩的众数和平均分；（同⼀组中的数据取该组区间的中点
值）
学科⽹（北京）股份有限公司（2）我校2025年全⼒推进校园信息化建设.为了更好的帮助同学们了解学校的信息化建设情况，学校政教
处利⽤⽐例分配的分层随机抽样⽅法，从 和 的学⽣中抽取7⼈组成“ 信息化建设” 宣讲
团.
①求应从 和 学⽣中分别抽取的学⽣⼈数；
②从选定的7⼈中随机抽取2⼈对⾼⼀同学进⾏宣讲，设事件 “ ⾄少有1⼈测试成绩位于区间
” ，求事件 的概率.
18.（本题满分17分）
在 中，内⻆A，B，C对边分别为a，b，c，已知 .
（1）求⻆A的值；
（2）若 .
①求a的值；
②求 ⾯积的最⼤值.
19.（本题满分17分）
如图，在三棱锥 中， 为等边三⻆形，E为AC的中点， ，且
.
（1）证明： 平⾯ABC；
（2）求⼆⾯⻆ 的余弦值；
（3）若F为线段DB上的动点，当 的⾯积最⼩时，求CF与平⾯ABD所成⻆的正弦值.
学科⽹（北京）股份有限公司年上学期⾼⼀年级期末考试（数学）
2025
参考答案
⼀､单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
C A D B B C D D
⼆､多选题
9 10 11
ABC AB BC
D D
三､填空题
12 13 14
18
四､解答题
15.（1）在底⾯ 中，由 ，可得 ，
⼜ ，由余弦定理可得， ，
所以 ，即 ，
故 .
⼜ ，侧棱 底⾯ ，
所以 ，
学科⽹（北京）股份有限公司⼜ 且 ，
则 为等腰三⻆形，设 边上的⾼为 ，
则 ，
所以三棱锥 的表⾯积为 .
（2）设球 的半径为 .因为 ，
所以三棱锥 外接球与以 为棱的⻓⽅体的外接球是同⼀个球，
即球 的直径恰好是以 为棱的⻓⽅体的体对⻆线，
故 ，故球 的半径 ，
所以球 的体积为.
16.（1） ，
因为 三点共线，所以 ，
⼜因为 ，所以 ，则 ，
同理，因为 三点共线，所以 ，
⼜因为 ，所以 ，则 ，
根据平⾯向量基本定理，可得 ，解得 ，
所以
（2）延⻓ 与 交于点 ，因为 三点共线，
所以
，
学科⽹（北京）股份有限公司⼜因为 ，且 ，所以 ，
即 ，
所以 ，解得 ，所以 ，则
所以 .
17.（1）由频率分布直⽅图可得 ，
解得 ；
由频率分布图可知众数约为75；
估算这40名学⽣测试成绩的平均数为
（2）①由图可得 和 这两组的频率之⽐为 ，
故应从 学⽣中抽取的学⽣⼈数为 （⼈），
应从 学⽣中抽取的学⽣⼈数为 （⼈）；
②设从 中抽取的5⼈为 ，从 学⽣中抽取的2⼈为1，2，
则这个试验的样本空间为 ，
共有21个基本事件；
事件 “ ⾄少有1⼈测试成绩位于区间 ” ，事件 的个数有11个，即
，
故 .
18.（1） ，
，
化简可得： ，
，
，
学科⽹（北京）股份有限公司（2）① ，
，
.
②由①得 ，
，当且仅当 时等号成⽴，
⾯积的最⼤值为 .
19.（1）因为 为 中点， 是等边三⻆形，所以 ，
⼜ 平⾯ ，
所以 平⾯ ，则 ，
已知 ，则
⼜ ，在等边 中， ，所以 ，
由勾股定理逆定理 ，所以 ，
因为 平⾯ ，所以 平⾯
（2）过点 作 ，垂⾜为 ，连接 ，
由（1）知 平⾯ 平⾯ ，所以 ，
因为 平⾯ ，所以 平⾯ ，
平⾯ ，所以 ，所以 为⼆⾯⻆ 的平⾯⻆
因为 ，所以 ，
学科⽹（北京）股份有限公司所以⼆⾯⻆ 的余弦值为
（3）连接 ，由（1）知 平⾯ 平⾯ ，所以 ，
所以 ，所以当 的⾯积最⼩时， 最⼩，
在 中，若 最⼩，则 ，
此时 ，
因为 ，所以 平⾯ ，
⼜ 平⾯ ，所以平⾯ 平⾯ ，过点 作 ，垂⾜为 ，
因为平⾯ 平⾯ ，所以 平⾯ ，
所以 （或其补⻆）是 与平⾯ 所成的⻆.
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 ，即 与平⾯ 所成⻆的正弦值为
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