2000年天津高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_天津

2000 年天津高考文科数学真题及答案 一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1．（4分）设集合A{x|xZ 且10„ x„ 1}，B{x|xZ ，且|x|„ 5}，则A B中的元  素个数是( ) A．11 B．10 C．16 D．15 2．（4分）设a、b  、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则( ) ①(a b  )c(c a)b  0；   ②|a||b  ||ab  |； ③(b  c)a(a c)b  不与c垂直；   ④(3a2b  ) (3a2b  )9|a|2 4|b  |2．  其中的真命题是( ) A．②④ B．③④ C．②③ D．①② 3．（4分）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2， 3， 6 ，这个长方体对角线 的长是( ) A．2 3 B．3 2 C．6 D． 6 4．（4分）已知sinsin，那么下列命题成立的是( ) A．若、是第一象限角，则coscos B．若、是第二象限角，则tantan C．若、是第三象限角，则coscos D．若、是第四象限角，则tantan 5．（4分）函数yxcosx的部分图象是( ) 第1页 | 共20页A． B． C． D． 6．（4分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元 的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计 算： 全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分 15%   某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于( ) A．800~900元 B．900~1200元 C．1200~1500元 D．1500~2800元 1 ab 7．（4分）若ab1，P lga lgb ，Q (lgalgb)，Rlg ，则( )  2 2 A．RPQ B．PQR C．QPR D．PRQ 8．（4分）已知两条直线l :yx，l :ax y0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在 1 2  (0, )内变动时，a的取值范围是( ) 12 3 3  A．(0,1) B．( ， 3) C．( ，1) (1， 3) D．(1, 3) 3 3 9．（4分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) 12 14 12 14 A． B． C． D． 2 4  2 10．（4分）过原点的直线与圆x2  y2 4x30相切，若切点在第三象限，则该直线的方 第2页 | 共20页程是( ) 3 3 A．y 3x B．y 3x C．y x D．y x 3 3 11．（4分）过抛物线yax2(a0)的焦点F 作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF 1 1 与FQ的长分别是 p、q，则  等于( ) p q 1 4 A．2a B． C．4a D． 2a a 12．（4分）二项式( 2 33x)50的展开式中系数为有理数的项共有( ) A．6项 B．7项 C．8项 D．9项 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）从含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的 概率相等，那么总体中每个个体被抽到的概率是 ． x2 y2 14．（5分）椭圆  1的焦点F 、F ，点P为其上的动点，当FPF 为钝角时，点P 9 4 1 2 1 2 横坐标的取值范围是 ． 15．（5分）设{a }是首项为1的正项数列，且(n1)a2 na2 a a 0(n1，2，3，)， n n1 n n1 n 则它的通项公式是a  ． n 16．（5分）如图，E、F 分别是正方体的面ADDA 、面BCCB 的中心，则四边形BFDE 1 1 1 1 1 在该正方体的面上的射影可能是 ．（要求：把可能的图的序号都填上） 三、解答题（共7小题，满分82分） 17．（10分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判 第3页 | 共20页断题4个．甲、乙二人依次各抽一题． （1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 18．（12分）如图，直三棱柱ABCABC ，底面ABC 中，CACB1，BCA90， 1 1 1 棱AA 2，M 、N分别是AB 、AA的中点． 1 1 1 1  （1）求BN 的长；   （2）求cos(BA CB)的值； 1 1 （3）求证ABCM ． 1 1 19．（12 分）如图，已知平行六面体 ABCDABCD 的底面 ABCD上菱形，且 1 1 1 1 CCBCCDBCD， 1 1 （1）证明：CC BD； 1 CD （2）当 的值为多少时，能使AC 平面CBD？请给出证明． CC 1 1 1 20．（12分）设{a }为等差数列，S 为数列{a }的前n项和，已知S 7，S 75，T 为 n n n 7 15 n S  数列 n的前n项和，求T ．  n  n 第4页 | 共20页21．（12分）设函数 f(x) x2 1ax，其中a0， （1）解不等式 f(x)„1； （2）证明：当a…1时，函数 f(x)在区间[0，)上是单调函数． 22．（12分）用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一 边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积． 8 23．（12分）如图，已知梯形ABCD中|AB|2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为 ， 11 双曲线过C、D、E 三点，且以A、B为焦点．求双曲线的离心率． 第5页 | 共20页2000年天津市高考数学试卷（文） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1．（4分）设集合A{x|xZ 且10„ x„ 1}，B{x|xZ ，且|x|„ 5}，则A B中的元  素个数是( ) A．11 B．10 C．16 D．15 【解答】解：由集合A中的条件可得A中的元素有：10，9，8，，1共10个； 集合B中的不等式|x|„ 5解得5„ x„ 5且xZ ，所以B中的元素有：5，4，3，2， 1，0，1，2，3，4，5共11个 所以A B中的元素有：10，9，8，，1，0，1，2，3，4，5共16个  故选：C． 2．（4分）设a、b  、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则( ) ①(a b  )c(c a)b  0；   ②|a||b  ||ab  |； ③(b  c)a(a c)b  不与c垂直；   ④(3a2b  ) (3a2b  )9|a|2 4|b  |2．  其中的真命题是( ) A．②④ B．③④ C．②③ D．①② 【解答】解：由于b  ,c是不共线的向量，因此(a b  )c不一定等于(c a)b  ，故①错误；   由于a,b  不共线，故a,b  ,(ab  )构成三角形，因此②正确； 由于[(b  c)a(c a)b  ]c(b  c)(a c)(c a)(b  c)0，故③中两向量垂直，故③错误；        根据向量数量积的运算可以得出④是正确的．故选A． 3．（4分）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2， 3， 6 ，这个长方体对角线 的长是( ) 第6页 | 共20页A．2 3 B．3 2 C．6 D． 6 【解答】解：设长方体三度为x，y，z， 则yz 2,zx 3,xy 6． 三式相乘得x2y2z2 6,xyz 6,x 3,y 2,z1, x2  y2 z2  321 6． 故选：D． 4．（4分）已知sinsin，那么下列命题成立的是( ) A．若、是第一象限角，则coscos B．若、是第二象限角，则tantan C．若、是第三象限角，则coscos D．若、是第四象限角，则tantan  【解答】解：若、同属于第一象限，则0„ „ ，coscos；故A错． 2  第二象限，则 „ „ ，tantan；故B错． 2 3 第三象限，则„ „ ，coscos；故C错． 2 3 第四象限，则 „ „ 2， 2 tantan．（均假定0„ ，„ 2．)故D正确． 故选：D． 5．（4分）函数yxcosx的部分图象是( ) A． B． 第7页 | 共20页C． D． 【解答】解：设y f(x)，则 f(x)xcosxf(x)， f(x)为奇函数；  又0x 时 f(x)0，此时图象应在x轴的下方 2 故选：D． 6．（4分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元 的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计 算： 全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分 15%   某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于( ) A．800~900元 B．900~1200元 C．1200~1500元 D．1500~2800元 【解答】解：设收入为S元，税款为M 元，则 当S„ 800时，M 0； 当S[800，1300]时，M„ 500 5%25；  当S(1300，2800]时，M„ 25150010%175．  题设M 26.78， 故S 1300(26.7825)10%1317.8． 故选：C． 1 ab 7．（4分）若ab1，P lga lgb ，Q (lgalgb)，Rlg ，则( )  2 2 A．RPQ B．PQR C．QPR D．PRQ 第8页 | 共20页ab ab 【解答】解：由平均不等式知 ab  ,lg ab lg( ),QR． 2 2 lgalgb 同理 lga lgb  ,PQ．  2 故选：B． 8．（4分）已知两条直线l :yx，l :ax y0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在 1 2  (0, )内变动时，a的取值范围是( ) 12 3 3  A．(0,1) B．( ， 3) C．( ，1) (1， 3) D．(1, 3) 3 3  【解答】解：直线l :yx的倾斜角为 ，令直线l :ax y0的倾斜角为，则有atan 1 4 2  过原点的直线l :yx，l :ax y0的夹角在(0, )内变动时，可得直线l 的倾斜角的 1 2 12 2      范围是( ， ) ( ， )． 6 4 4 3 3  3  l 的斜率的取值范围是( ，1) (1， 3)，即a( ，1) (1， 3)， 2 3 3 故选：C． 9．（4分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) 12 14 12 14 A． B． C． D． 2 4  2 【解答】解：设圆柱底面积半径为r ，则高为2r ， 全面积：侧面积[(2r)2 2r2]:(2r)2 21  ． 2 故选：A． 10．（4分）过原点的直线与圆x2  y2 4x30相切，若切点在第三象限，则该直线的方 程是( ) 3 3 A．y 3x B．y 3x C．y x D．y x 3 3 【解答】解：如图，圆方程为(x2)2  y2 12， 圆心为A(2,0)，半径为1， 1  3 sin , ,tg ． 2 6 3 第9页 | 共20页故选：C． 11．（4分）过抛物线yax2(a0)的焦点F 作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF 1 1 与FQ的长分别是 p、q，则  等于( ) p q 1 4 A．2a B． C．4a D． 2a a 【解答】解：如图： 1 设PQ直线方程是y kx， 4a 1 则x ，x 是方程ax2 kx 的两根， 1 2 4a 1 p x2 (y  )2  x2 (kx )2 xr， 1 1 4a 1 1 1 其中r  1k2 ．同理qx r． 2 k 1 ( )2 4 1 1 pq (x x )r x x (x x )2 4xx a  4a2 从而    2 1  1 2  1 2 1 2  4a． p q pq xx r2 xx r xx r 1 1 2 1 2 1 2  r 4a2 故选：C． 12．（4分）二项式( 2 33x)50的展开式中系数为有理数的项共有( ) A．6项 B．7项 C．8项 D．9项 r r 25 【解答】解：( 2 33x)50展开式的通项T 2 233Cr xr r1 50 r r 25 项的系数为2 233Cr 50 要使系数为有理数，需r 是6的倍数 所以r 0，6，12，18，24，30，36，42，48， 第10页 | 共20页故展开式中系数为有理数的项共有9项 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）从含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的 1 概率相等，那么总体中每个个体被抽到的概率是 ． 20 【解答】解： 含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体，  其中每个个体被抽到的概率相等， 25 1 总体中每个个体被抽到的概率是  ， 500 20 1 故答案为： ． 20 x2 y2 14．（5分）椭圆  1的焦点F 、F ，点P为其上的动点，当FPF 为钝角时，点P 9 4 1 2 1 2 3 5 3 5 横坐标的取值范围是 为：( , ) ． 5 5 【解答】解：如图， 设 p(x,y)，则F( 5,0),F ( 5,0)， 1 2 且FPF 是钝角 1 2  PF2 PF2 FF2 (x 5)2  y2 (x 5)2  y2 20 1 2 1 2  x2 5 y2 10 x2  x2 4(1 )5 9 9 3 5 3 5  x2   x ． 5 5 5 3 5 3 5 故答案为：( , )． 5 5 15．（5分）设{a }是首项为1的正项数列，且(n1)a2 na2 a a 0(n1，2，3，)， n n1 n n1 n 第11页 | 共20页1 则它的通项公式是a  ． n n 【解答】解： (n1)a2 na2 a a 0  n1 n n1 n 1 14n(n1) n a  a  a （另解a 不合题意舍去）， n1 2(n1) n n1 n n a a a 1 a 1 1  2 3 n  ，即 n  ,a  ,n1,2， a  a  a n a n n n 1 2 n1 1 1 故答案为： ． n 16．（5分）如图，E、F 分别是正方体的面ADDA 、面BCCB 的中心，则四边形BFDE 1 1 1 1 1 在该正方体的面上的射影可能是 ②③ ．（要求：把可能的图的序号都填上） 【解答】解：因为正方体是对称的几何体， 所以四边形BFDE在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影， 1 也就是在面ABCD、面ABBA、面ADDA 上的射影． 1 1 1 1 四边形BFDE在面ABCD和面ABBA上的射影相同，如图②所示； 1 1 1 四边形BFDE在该正方体对角面的ABCD 内，它在面ADDA 上的射影显然是一条线段， 1 1 1 1 1 如图③所示．故②③正确 故答案为 ②③ 第12页 | 共20页三、解答题（共7小题，满分82分） 17．（10分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判 断题4个．甲、乙二人依次各抽一题． （1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率， 甲从选择题中抽到一题的可能结果有C1个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有C1个， 6 4 故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有C1C1个； 6 4 试验发生包含的所有事件是甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为C1C1个， 10 9 C1C1 4 甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为 6 4  ， C1C1 15 10 9 4 所求概率为 ． 15 （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题， C1C1 甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为 4 3 ，  C1C1 10 9 C1C1 13 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1 4 3  ， C1C1 15 10 9 13 所求概率为 ． 15 18．（12分）如图，直三棱柱ABCABC ，底面ABC 中，CACB1，BCA90， 1 1 1 棱AA 2，M 、N分别是AB 、AA的中点． 1 1 1 1  （1）求BN 的长；   （2）求cos(BA CB)的值； 1 1 （3）求证ABCM ． 1 1 第13页 | 共20页【解答】解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系Oxyz． （1）依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，  |BN| (10)2 (01)2 (10)2  3（2分） （2）依题意得A(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B(0，1，2)． 1 1       BA (1,1,2)，CB (0,1,2)，BA CB 3，|BA | 6 ，|CB | 5（5分） 1 1 1 1 1 1   cos  B  A  C  B   BA 1 CB 1  1 30（9分） 1 1 |  B  A  ||C  B  | 10 1  1 1 1   1 1 （3）证明：依题意得C (0，0，2)，M( , ,2)AB(1，1，2)，CM ( , ,0)， 1 2 2 1 1 2 2   1 1  AB CM   00， 1  1 2 2    ABCM （12分） 1 1 19．（12 分）如图，已知平行六面体 ABCDABCD 的底面 ABCD上菱形，且 1 1 1 1 第14页 | 共20页CCBCCDBCD， 1 1 （1）证明：CC BD； 1 CD （2）当 的值为多少时，能使AC 平面CBD？请给出证明． CC 1 1 1 【解答】（1）证明：如图，连接AC 、AC和BD交于O，连接CO． 1 1 1 四边形ABCD是菱形，  AC BD，BC CD． 又 BCC DCC ，CC CC，  1 1 1 1 △CBC △CDC ， 1 1 CBCD， 1 1 DOOB  COBD，（3分） 1 又AC BD，AC COO，  1 BD平面AC ， 1 又CC平面AC ， 1 1 CC BD．（6分） 1 CD （2）当 1时，能使AC 平面CBD． CC 1 1 1 第15页 | 共20页CD 1，  CC 1 BC CDCC， 1 又BCDCCBCCD， 1 1 由此可推得BDCBCD． 1 1 三棱锥CCBD是正三棱锥．（9分） 1 设AC与CO相交于G． 1 1 AC //AC，且AC :OC 2:1，  1 1 1 1 CG:GO2:1． 1 又CO是正三角形CBD的BD边上的高和中线， 1 1 点G是正三角形CBD的中心， 1 CG平面CBD， 1 即AC 平面CBD．（12分） 1 1 20．（12分）设{a }为等差数列，S 为数列{a }的前n项和，已知S 7，S 75，T 为 n n n 7 15 n S  数列 n的前n项和，求T ．  n  n 【解答】解：设等差数列{a }的公差为d，则 n 1 S na  n(n1)d． n 1 2 S 7，S 75，  7 15 7a 21d 7  1 15a 105d 75. 1 a 3d 1 即 1 a 7d 5. 1 解得a 2，d 1． 1 S 1 1  n a  (n1)d 2 (n1)， n 1 2 2 第16页 | 共20页S S 1 n1  n  ，  n1 n 2 S 1 数列{ n}是等差数列，其首项为2，公差为 ， n 2 1 9 T  n2  n． n 4 4 21．（12分）设函数 f(x) x2 1ax，其中a0， （1）解不等式 f(x)„1； （2）证明：当a…1时，函数 f(x)在区间[0，)上是单调函数． 【解答】（1）解：不等式 f(x)„1即 x2 1„1ax， 由此得1„1ax，即ax…0，其中常数a0． x2 1„ (1ax)2 所以，原不等式等价于 x…0. x…0 即 （3分） (a2 1)x2a…0 2a 所以，当0a1时，所给不等式的解集为{x|0„ x„ }； 1a2 当a…1时，所给不等式的解集为{x|x…0}．（6分） （2）证明：在区间[0，)上任取x ，x 1 2 使得x x f(x ) f(x ) x2 1 x2 1a(x x ) 1 2 1 2 1 2 1 2 x2 x2  1 2 a(x x ) 1 2 x2 1 x2 1 1 2   x x x x  1 2 a9分 1 2  x2 1 x2 1   1 2  x x 1 2 1,且a…1，  x2 1 x2 1 1 2 x x  1 2 a0， x2 1 x2 1 1 2 又x x 0， 1 2 第17页 | 共20页f(x ) f(x )0， 1 2 即 f(x ) f(x )． 1 2 所以，当a…1时，函数 f(x)在区间[0，)上是单调递减函数．（12分） 22．（12分）用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一 边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积． 【解答】解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为(x0.5)m， 14.84x4(x0.5) 高为 3.22x 4 由3.22x0和x0，得0x1.6， 设容器的容积为ym3，则有yx(x0.5)(3.22x)(0x1.6) 整理，得y2x3 2.2x2 1.6x，（4分） y6x2 4.4x1.6（6分） 令y0，有6x2 4.4x1.60，即15x2 11x40， 4 解得x 1，x  （不合题意，舍去）．（8分） 1 2 15 从而，在定义域(0,1.6)内只有在x1处使y0． 由题意，若x过小（接近0)或过大（接近1.6)时，y值很小（接近0)， 因此，当x1时y取得最大值，y 22.21.61.8，这时，高为3.2211.2． 最大值 答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m3．（12分） 8 23．（12分）如图，已知梯形ABCD中|AB|2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为 ， 11 双曲线过C、D、E 三点，且以A、B为焦点．求双曲线的离心率． 第18页 | 共20页【解答】解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy， 则CD y轴． 因为双曲线经过点C、D，且以 A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于 y轴对 称．（2分） c 依题意，记A(c,0)，C( ，h)，B(c,0)， 2 1 其中c为双曲线的半焦距，c |AB|，h是梯形的高． 2 8 c 8 c  0 h 11 2 7 11 8 由定比分点坐标公式，得点E的坐标为x   c，y   h．（5 E 8 19 E 8 19 1 1 11 11 分） x2 y2 c 设双曲线的方程为  1，则离心率e ． a2 b2 a 由点C、E在双曲线上， 1 c2 h2    1 4 a2 b2 得 （10分）  49 c2 64 h2  1. 361  a2 361  b2 第19页 | 共20页h2 1 c2 c2 解得  1，化简可得 9，  b2 4 a2 a2 c2 所以，离心率e 3（14分） a2 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/27 23:02:56；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156 第20页 | 共20页