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第二章 直线和圆的方程（单元检测卷）
(时间：120分钟，满分150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
2.直线l的方程为x＋3y－1＝0，则直线l的倾斜角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
3.直线l ：ax－y－3＝0和直线l ：x＋(a＋2)y＋2＝0平行，则实数a的值为(
1 2
)
A．3 B．－1
C．－2 D．3或－1
4.无论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点坐标为(
)
A．(－2,1) B．(－2，－1)
C．(2,1) D．(2，－1)
5.已知圆心在y轴上的圆C与直线x＝3切于点M(3,2)．若直线3x＋4y＋m＝0
与圆C相切，则m的值为( )
A．9 B．7
C．－21或9 D．－23或7
6.(2021年哈尔滨期末)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2关于直线l：x＋y－2＝0对称的圆
的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－1)2＝2 B．(x＋4)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－4)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋4)2＋(y－1)2＝2
7.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a
的值是( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
8.圆C ：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C ：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为(
1 2
)
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得0分．
9.若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线 l的方程可能
为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
10.已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是( )
A.直线l的倾斜角是 B.若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
C.点(，0)到直线l的距离是2 D.过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－
4＝0
11.已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，下列选项正确的是(
)
A.圆的圆心坐标为(1,1) B.直线过定点(－2,1)
C.直线与圆相交且所截最短弦长为2 D.直线与圆可以相切
12.在同一平面直角坐标系中，直线y＝ax＋a2与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置不可能
是( )
A B C D
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在△ABC中，A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，则BC边上的中线所在的直线的
一般方程为_________
14．若直线l ：y＝kx－3与l ：2x＋3y－6＝0的交点M在第一象限，则直线l
1 2 1
恒过定点________；l 的倾斜角α的取值范围是________
1
15.圆x2－2x＋y2－2my＋2m－1＝0，当圆面积最小时，直线 y＝x＋b与圆相
切，则b＝________
16．已知圆O：x2＋y2＝1，l为过点(0,2)的动直线，若l与圆O相切，则直线l
的倾斜角为________
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17.(10分)直线l经过两条直线l ：x＋y－4＝0和l ：x－y＋2＝0的交点，直线
1 2
l ：2x－y－1＝0．
3(1)若l∥l ，求l的直线方程；(2)若l⊥l ，求l的直线方程．
3 3
18.(12分)已知直线l：(1＋2m)x＋(m－1)y＋7m＋2＝0．
(1)求证：不论m为何实数，直线恒过一定点M；
(2)过定点M作一条直线l ，使夹在两坐标轴之间的线段被点 M平分，求直线l
1 1
的方程．
19.(12分)已知直线l：y＝kx与圆C ：(x－1)2＋y2＝1相交于A，B两点，C 与
1 2
圆C 相外切，且与直线l相切于点M(3，)．
1
(1)求k的值，并求AB的长；(2)求圆C 的方程．
220.(12分)已知△ABC的顶点C(2，－8)，直线AB的方程为y＝－2x＋11，AC
边上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0．
(1)求顶点A和B的坐标；(2)求△ABC外接圆的一般方程．
21．(12分)某种体育比赛的规则是：进攻队员与防守队员均在安全线 l的垂线
AC上(C为垂足)，且分别位于距C为2a和a(a＞0)的点A和点B处，进攻队员
沿直线 AD 向安全线跑动，防守队员沿直线方向拦截，设 AD 和 BM 交于点
M，若在点M，防守队员比进攻队员先到或同时到，则进攻队员失败．已知进
攻队员速度是防守队员速度的两倍，且他们双方速度不变，问进攻队员的路线
AD应为什么方向才能取胜？22.(12分)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．
(1)求点A关于直线l的对称点B的坐标；
(2)直线l关于点A对称的直线a的方程；
(3)以点A为圆心，3为半径长作圆，直线b过点M(2,2)，且被圆A截得的弦长
为2，求直线b的方程．
参考答案：
一、单项选择题
1.A 2.A 3.B 4.A 5.D 6.A 7.B 8.C
二、多项选择题
9.ABC 10.CD 11.AC 12.ABD
三、填空题
13.答案：x＋3y－5＝0 14.答案：(0，－3)， 15.答案：± 16.答案：或
四、解答题
17.解：(1)由得∴l 与l 的交点为(1,3)．
1 2
设与直线2x－y－1＝0平行的直线为2x－y＋c＝0，则2－3＋c＝0，∴c＝1．
∴所求直线方程为2x－y＋1＝0．
(2)设与直线2x－y－1＝0垂直的直线为x＋2y＋c＝0，则1＋2×3＋c＝0，解得c＝－7．
∴所求直线方程为x＋2y－7＝0．
18.(1)证明：直线l整理得(x－y＋2)＋m(2x＋y＋7)＝0．
联立解得所以无论m为何实数，直线l恒过定点(－3，－1)．
(2)解：当直线l 的斜率不存在或等于零时，显然不合题意．
1设直线l 的方程为y＝k(x＋3)－1(k≠0)．
1
令x＝0，则y＝3k－1；令y＝0，则x＝－3．
所以直线l 与坐标轴的交点为A(0,3k－1)，B．
1
由于过定点M(－3，－1)作一条直线l，使夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，
1
则点M为线段AB中点，即解得k＝－．
所以直线l 的方程为y＝－x－2，即x＋3y＋6＝0．
1
19.解：(1)直线l：y＝kx经过点M(3，)，所以＝3k，得k＝．
圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径为1，直线l：x－3y＝0，
1 1
点C(1,0)到直线l的距离d＝＝，所以|AB|＝2 ＝．
1
(2)设过点M作与直线l垂直的直线l，
1
l 的方程是y－＝－(x－3)，即y＝－x＋4．
1
设C(a，－a＋4)，又因为C(1,0)，圆C 与圆C 相外切，且与直线l相切于点M(3，)，
2 1 2 1
所以|CC|＝1＋|MC |，即＝1＋，
1 2 2
化简得a2－4a＝0，解得a＝4或a＝0．
当a＝4时，C(4,0)，此时r2＝(4－3)2＋(0－)2＝4，
2
C：(x－4)2＋y2＝4．当a＝0时，C(0,4)，此时r2＝(0－3)2＋(4－)2＝36，
2 2
C：x2＋(y－4)2＝36．
2
20.解：(1)由得顶点B(7，－3)．
由AC⊥BH，k ＝－．所以可设AC的方程为y＝3x＋b，
BH
将C(2，－8)代入，得b＝－14．
由得顶点为A(5,1)．所以点A和B的坐标分别为(5,1)和(7，－3)．
(2)设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将点A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)分别带入圆的方程代入，
得解得
所以△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－4x＋6y－12＝0．
21.解：如图，以l为x轴，C为原点建立平面直角坐标系．
设防守队员速度为v，则进攻队员速度为2v．
设点M的坐标为(x，y)，进攻队员与防守队员跑到点M所需时间分别为t＝，t＝．
1 2
若t＜t，则|AM|＜2|BM|，即＜2，
1 2整理得x2＋ ＞ ，
这说明点M应在圆E：x2＋ ＝ 以外，进攻队员方能取胜．
设AN为圆E的切线，N为切点．
在Rt△AEN中，AE＝2a－＝，EN＝，所以sin∠EAN＝＝＝，故sin∠EAN＝30°．
所以进攻队员的路线AD与AC所成角大于30°即可．
22.解：(1)设点B(m，n)，则解得
所以点A关于直线l的对称点B的坐标为．
(2)设P(x，y)是直线a上任意一点，
则点P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点C(－2－x，－4－y)在直线l上，
所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0．
(3)设圆心A到直线b的距离为d，直线b被圆A截得的弦长为2，因此d＝＝．
当直线b斜率不存在时，x＝2不满足条件；
当直线b斜率存在时，设其方程为y－2＝k(x－2)，则＝，解得k＝．
综上，直线b的方程为y＝x－或y＝x－．
