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第二章 直线和圆的方程
章末测试
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）
1．（2020·福建高二学业考试）已知直线 ： ， ： ，若 ，则实数 （ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
【答案】D
【解析】已知直线 ： ， ： ，因为 ，所以 故选：D
2．（2020·洮南市第一中学高一月考）直线 与 互相垂直，
则 的值是（ ）.
A．-0.25 B．1 C．-1 D．1或-1
【答案】D
【解析】当 时， ，此时 ， ，显然两直线垂直，
当 时，此时 ， ，显然两直线不垂直，
当 且 时，因为 ，所以 ，解得： ，
综上可知： 或 .故选D.
3．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）直线 （ ）过定点 ，则点
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据直线 得 ，故直线过定点为直线 和 的交点，
联立方程得 ，解得 ，所以定点 的坐标为 .故选：B.
4．（2020·广东高二期末）设 ，则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件,
【答案】C
【解析】若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则 ,且 解得 故选
5．（2020·黑龙江高一期末）若曲线y＝ 与直线y＝k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范
围是（ ）
A． B． C．（1，+∞） D．（1，3]
【答案】A
【解析】作出曲线y＝ 的图像，
直线y＝k（x﹣2）+4恒过定点 ，
当直线与曲线相切时，原点到直线 的距离等于 ， ，解得 ，由图可知， ，故选：A
6．（2020·浙江柯城。衢州二中高三其他）已知直线 与圆 有公共点，则
的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 表示圆，所以 ，解得 ，
因为直线 与圆 有公共点，所以圆心到直线的距离 ，
即 ，解得 ，此时 ，
因为 ，在 递增，所以 的最大值 .
故选：C
7．（2020·广东高一期末）若两平行直线 与 之间的距离是 ，则
m+n＝（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】由直线 与 平行可得 即 ，
则直线 与 的距离为 ，
所以 ，解得 或 （舍去），所以 .故选：A.
8．（2020·北京市第五中学高三其他）过直线y＝x上的一点作圆 的两条切线l，l，
1 2当直线l，l 关于y＝x对称时，它们之间的夹角为（ ）
1 2
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】如图所示，过圆心 作 垂直直线 于点 ，直线 分别与圆
相切，切点分别为 ，根据几何知识可知，直线 也关于直线 对称，所以
直线 的夹角为 （或其补角）．
在 中， ， ，所以 ，而 为锐角，即有
， ．
故选：C．
二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，每题5分，共20分）
9．（2020·江苏省苏州第十中学校高一期中）圆 和圆 的交
点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为D．P为圆 上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，由圆 与圆 的交点为A，B，
两式作差可得 ，
即公共弦AB所在直线方程为 ，故A正确；
对于B，圆 的圆心为 ， ，
则线段AB中垂线斜率为 ，
即线段AB中垂线方程为： ，整理可得 ，故B正确；
对于C，圆 ，圆心 到 的距离为
，半径
所以 ，故C不正确；
对于D，P为圆 上一动点，圆心 到 的距离为
，半径 ，即P到直线AB距离的最大值为 ，故D正确.故选：ABD
10．（2020·江苏徐州.高一期末）已知直线 ，则下列说法正确
的是（ ）
A．若 ，则m=-1或m=3 B．若 ，则m=3
C．若 ，则 D．若 ，则【答案】BD
【解析】直线 ，则 ，解得 或 ，但 时，两直线方程分别为
， 即 ，两直线重合，只有 时两直线平行，A错，B正确；
，则 ， ，C错，D正确．
故选：BD．
11．（2020·江苏扬州.高一期末）已知直线l与圆 相交于 两点，弦 的
中点为 ，则实数 的取值可为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】圆 的标准方程为： ，故 .
又因为弦 的中点为 ，
故 点在圆内，所以 即 .
综上， .
故选：AB.
12．（2020·江苏省江阴高级中学高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．直线 必过定点
B．直线 在 轴上的截距为
C．直线 的倾斜角为60°
D．过点 且垂直于直线 的直线方程为
【答案】ABD【解析】 可化为 ，则直线 必过定点 ，
故A正确；
令 ，则 ，即直线 在 轴上的截距为 ，故B正确；
可化为 ，则该直线的斜率为 ，即倾斜角为 ，故C错误；
设过点 且垂直于直线 的直线的斜率为
因为直线 的斜率为 ，所以 ，解得
则过点 且垂直于直线 的直线的方程为 ，即 ，故D正确；
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三、填空题(每题5分，共20分）
13．（2020·湖南张家界。高一期末）圆 的圆心为 ，且圆 与直线 相切，则圆
的方程为_________________.
【答案】
【解析】圆 的圆心为 ，与直线 相切，
圆心到直线的距离等于半径，即 ，
圆 的方程为 ．
故答案为： ．
14．（2020·勃利县高级中学高一期末）经过点P（2，1）作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，
当△AOB面积最小时，直线l的方程为_____.
【答案】x+2y﹣4＝0；
【解析】由题意可知，直线的斜率一定存在，故设直线方程y﹣1＝k（x﹣2），k＜0，令x＝0可得，y＝1﹣2k，令y＝0可得x＝2﹣ ，
则 ＝ ，
当且仅当﹣4k＝﹣ 即k＝﹣ 时取等号，
此时直线方程y﹣1＝﹣ （x﹣2）,即x+2y﹣4＝0．
故答案为：x+2y﹣4＝0．
15．（2020·包头市田家炳中学高二期中）在圆 内，过点 的最短弦的弦长为
_____；
【答案】
【解析】圆 化简得： ，
点 在圆内部，记圆心为 ，
根据几何性质知过 且与 垂直的弦最短， ，
由垂径定理得弦长为 .
故答案为：
16．（2019·浙江拱墅。杭州四中高二期中）圆 与圆
内切，则 的值为______.
【答案】 或
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，所以两圆的圆心距 ，
又因为两圆内切，有 ，
解得 或 .故答案为： 或 .
四、解答题（17题10分，其余12分，共70分）
17．（2020·福建高二学业考试）已知圆 的方程为 ．
（1）写出圆心 的坐标与半径长；
（2）若直线 过点 ，试判断与圆 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）圆心 的坐标为 ，半径长 ；（2）相交，理由见解析．
【解析】（1）圆心 的坐标为 ，半径长 ．
（2）当直线 垂直于 轴时，直线方程为 ，与圆有2个交点；
当直线 不垂直于 轴时，设直线 的方程为 ，
将 代入 整理，得 ，
因为 ，且 恒成立，所以直线 与圆 相交．
综上所述，直线 与圆 相交．
18．（2020·勃利县高级中学高一期末）已知圆C：（x+2）2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若直线 与圆 交于 两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
【答案】（1）相交，理由见解析；（2）
【解析】（1）直线 ： ，也即 ，故直线恒过定点 ，
又 ，故点 在圆 内，
此时直线 一定与圆 相交.
（2）设点 ，
当直线 斜率存在时， ，
又 ， ，
即 ，
化简可得： ；
当直线 斜率不存在时，显然中点 的坐标为 也满足上述方程.
故 点的轨迹方程为： .
19．（2020·民勤县第一中学高一期末（理））已知圆 和直线
.
（1）证明：不论 为何实数，直线 都与圆 相交于两点；
（2）求直线被圆 截得的弦长最小时直线 的方程；
（3）已知点P（ ）在圆C上，求 的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） .【解析】（1）因为
所以 令 解得
所以直线 过定点 .
而 ，即点 在圆内部.
所以直线 与恒交于两点.
（2）.过圆心 与点 的直线 的方程为 ，
被圆 截得的弦长最小时，直线 必与直线 垂直，
所以直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
（3）因为 ，表示圆上的点 到 的距离的平方，
因为圆心到原点的距离
所以
20．（2020·广东高一期末）在平面直角坐标系中，直线x+y+3 ＝0与圆C相切，圆心C的坐标为(1,
1)．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线y＝kx+2与圆C没有公共点，求k的取值范围；
（3）设直线y＝x+m与圆C交于M，N两点，且OM⊥ON，求m的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】（1）∵直线 与圆C相切，且圆心C的坐标为 ，∴圆C的半径 ，
则圆C的方程为 ；
（2）∵直线y＝kx+2与圆C没有公共点，
∴点 到直线的距离 ，解得 ，
∴k的取值范围为 ；
（3）联立 ，得 ，
由 ，解得 ，
设 ，
则 ，
∵ ，∴ ，
即 ，
∴ ，解得 ，符合题意，
∴ ．
21．（2020·武汉市新洲区第一中学高一月考）已知圆C： 关于直线
对称，圆心C在第四象限，半径为1.
（1）求圆C的标准方程；
（2）是否存在直线与圆C相切，且在 轴， 轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，
说明理由.【答案】（1） ；（2）存在， 或 .
【解析】（1）将圆C化为标准方程，得
∴ 圆心C（ ），半径
由已知得 或
又C在第四象限， ∴
∴圆C的标准方程为
（2）当直线过原点时，l斜率存在，则设 ，则
此时直线方程为 ；
当直线不过原点时，设 ，则
解得 ，此时直线方程为： 或
综上，所求直线的方程为： 或
22．（2020·江苏淮安。高一期末）平面直角坐标系 中，已知点 ，圆 与x轴的
正半轴的交于点Q．（1）若过点P的直线 与圆O相切，求直线 的方程；
（2）若过点P的直线 与圆O交于不同的两点A，B．
①设线段 的中点为M，求点M纵坐标的最小值；
②设直线 ， 的斜率分别是 ， ，问： 是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明
理由．
【答案】（1） 和 ；（2）① ； ②是定值， ．
【解析】（1）圆 的圆心为 ，半径为2，
若过点 直线 垂直于x轴，则方程为 ，与圆相切，符合题意；
若过点 直线 不垂直于x轴，设直线 的斜率与k，
则直线 方程为 ，即 ，
因为直线 与圆 相切，
所以圆心到直线 的距离 ，解得 ，
所以切线方程为 ；
综上得：切线 的方程为 和 ；
（2）①设点 ，因为M为弦 中点，所以 ，又因为 ， ，
所以由 得 化简得 ．
联立 得 或 ；
又因为点M在圆 内部，
所以点M的轨迹是圆 中以点 和 为端点的一段劣弧（不包括端点），
由 即 ，令 得 ，
根据点 在 内部，所以点M纵坐标的最小值是 ；
②由题意点 ,联立 得 ，
设 ，则 ，
所以
．所以 是定值，定值为 ．
