文档内容
衔接点 02 根式、分式的化简
1、能熟练把二次根式化简为最简根式
2、了解分式和最简分式
3、能熟练应用分式基本性质约分和通分
1、初中知识再现
（1）二次根式的定义
一般地，形如 的式子叫做二次根式.
（2）二次根式性质：
①
② [来源:学科网]
③
④
（3）分式
形如： （其中 中含有字母）的式子叫作分式.
（4）分式的基本性质：
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为 的整式，分式的值不变.用式子表示为：
2、高中相关知识
2.1无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如： ， 是无理
式，而 不是无理式
2.2分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.
例如： .
2.3有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理
化因式.常用的有理化因式有：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司① 与 ② 与
2.4繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，该分式就称为繁分式.如： 或 等.
繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进行运算.
对点特训一：二次根式有意义的条件
典型例题
例题1．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）函数 有意义，则自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
例题2．（2024·江苏盐城·一模）若二次根式 有意义，则x的取值范围为 ．
精练
1．（2024·山东聊城·一模）使 有意义的x的取值范围是（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
2．（2024年西藏自治区中考二模数学模拟试题）函数 中自变量x的取值范围是 ．
对点特训二：求二次根式中的参数
典型例题
例题1．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知 是正整数， 是整数，则 的最小值
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例题2．（23-24八年级上·四川达州·期中）已知有理数满足 ，则 的值是 .
精练
1．（23-24八年级下·四川凉山·期中）如果 是一个正整数，则整数 的最小值是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A．-4 B．-2 C．2 D．8
2．（2024九年级下·广东·专题练习）若实数m满足 ，则m的取值范围是 ．
对点特训三：二次根式的乘法与除法及其混合运算
典型例题
例题1．（23-24九年级上·四川成都·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）计算：
(1)
(2)
精练
1．（2024·河北衡水·一模）设 ，其中 ， ，则M的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）小亮的作业本上有以下四题：（1） ；（2）
；（3） ；（4） 做错的题目是（ ）
A．（1） B．（1）（3） C．（4） D．（1）（4）
对点特训四：最简二次根式
典型例题
例题1．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）若最简二次根式 可以与 合并，则 的值可以是
（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知二次根式 ．
(1)求使得该二次根式有意义的 的取值范围；
(2)已知 是最简二次根式，且与 可以合并，
求 的值；
求 与 的乘积．
精练
1．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知最简二次根式 与 是同类二次根式，则x的值为
．
2．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）若最简二次根式 和 是同类二次根式．
(1)求 、 的值；
(2) 、 平方和的算术平方根．
对点特训五：二次根式的加法与减法及其混合运算
典型例题
例题1．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）点 在数轴上的位置如图所示，则可以近似表
示 运算结果的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（23-24八年级下·广西钦州·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
精练
1．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）计算：
(1)
(2)
对点特训六：分母有理化
典型例题
例题1．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
，以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
(1)化简： ；
(2)已知 的整数部分为a，小数部分为b，求 的值．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(3)计算： ．
例题2．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
(1)仿照上面的解题过程化简： ＝ ＝ ．
(2)请直接写出 的化简结果： ．
(3)利用上面的结论，通过计算试比较 与 的大小，并说明理由．
精练
1．（2024八年级下·全国·专题练习）已知 ， ，求 ．
2．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）观察以下式子的化简过程：
① ，
② ，
③ ，
④ ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司……
根据以上式子的化简过程，得出规律．完成下列问题：
(1)如果n为正整数，那么 的值为______；
(2)根据以上规律计算： 的值．
对点特训七：二次根式化简求值
典型例题
例题1．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）（1）已知 ， ，求 的
值；
（2）已知 ，求 的值．
例题2．（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）（1）先化简，再求值： ，
其中 ， ．
（2）已知 ， ，求代数式 的值．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司精练
1．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知， ， ．求值：
(1) ；
(2)求 的值．
2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）（1）计算：式子 ______（请直接写出这个
常数）；
（2）已知 ，求 的值；
（3）若 的整数部分为x，小数部分为y，直接写出 的值．
对点特训八：分式的意义
典型例题
例题1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）要使分式 有意义，则x的取值范围是
．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（2024·广东深圳·一模）先化简 ，再从不等式组 中选择一个适当的
整数，代入求值．
精练
1．（23-24九年级下·北京·阶段练习）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
2．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）先化简 ，然后从 ，1， ，2中选
一个合适的数代入求值．
对点特训九：分式的化简求值
典型例题
例题1．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知 ，求代数式 的值．
例题2．（23-24八年级下·山东泰安·阶段练习）（1）先化简，再求值： ，其
中a满足 ．
（2）已知 ，探究m与n的关系．
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1．（23-24八年级下·重庆铜梁·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）先化简 ，然后从 的范围内选
取一个你喜欢的整数作为 的值代入求值．
对点特训十：分式的基本性质
典型例题
例题1．（23-24八年级上·山东·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为
正数，正确的是（）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化
为整数：
(1) ；
(2) ．
题型归类练
1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数．
(1) ；
(2) ．
第 02 讲 根式、分式的化简(分层精练）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）若代数式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·海南儋州·阶段练习）在 、 、 、 、 、 中分式的个数有（
）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）计算： 的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）若 ，则x的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2024·贵州遵义·一模）要使 无意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八年级下·江苏·专题练习）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·山东·一模）已知 ，则 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）若实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简
的结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）化简 的结果是 ．
10．（2024·西藏·二模）先化简再求值： ，其中 ， ．
三、解答题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司11．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求代数式 的值，其中
．
12．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）观察下列等式∶
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
第4个： ；
…
按照以上规律，解决下列问题∶
(1)写出你猜想的第 个等式 ；（用含 的等式表示）
(2)根据上面的结论计算 的结果．
．
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