文档内容
2001 年湖南高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．
共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共60分)
注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡
上．
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3． 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式：
三角函数的积化和差公式
正棱台、圆台的侧面积公式
S
台侧
其中c′、c分别表示上、下底面周长， l表示斜高或母线长
台体的体积公式
1
(S SS S)h
V台体 3
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
王新奎新疆屯敞
1．若siniθcosθ＞0，则θ在 ( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限
2．过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是 ( )
第1页 | 共12页A．(x－3) 2＋(y＋1) 2 = 4 B．(x＋3) 2＋(y－1) 2 = 4
C．(x－1) 2＋(y－1) 2 = 4 D．(x＋1) 2＋(y＋1) 2 = 4
3．设｛a｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 ( )
n
A．1 B．2 C．4 D．6
4．若定义在区间(－1，0)的函数 满足 ，则a的取值范围是
( )
A．( ) B． C．( ，＋∞) D．(0，＋∞)
5．极坐标方程 的图形是 ( )
6．函数y = cos x＋1(－π≤x≤0)的反函数是 ( )
A．y =－arc cos (x－1)(0≤x≤2) B．y = π－arc cos (x－1)(0≤x≤2)
C．y = arc cos (x－1)(0≤x≤2) D．y = π＋arc cos (x－1)(0≤x≤2)
7． 若椭圆经过原点，且焦点为F(1，0)， F(3，0)，则其离心率为( )
1 2
A． B． C． D．
8． 若0＜α＜β＜ ，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则( )
A．a＜b B．a＞b C．ab＜1 D．ab＞2
9． 在正三棱柱ABC－ABC中，若 ，则AB 与CB所成的角的大小为 ( )
1 1 1 1 1
A．60° B．90° C．105° D．75°
10．设f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题：
① 若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递增；
② 若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递增；
③ 若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递减；
④ 若f (x)单调递减，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递减．
第2页 | 共12页其中，正确的命题是 ( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
11． 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记
三种盖法屋顶面积分别为P、P、P．
1 2 3
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ( )
A．P＞P＞P B．P＞P= P C．P= P＞P D．P= P= P
3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1
12． 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数
字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点
A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．
则单位时间内传递的最大信息量为 ( )
A．26 B．24 C．20 D．19
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的侧面积是
王新奎新疆屯敞
14．双曲线 的两个焦点为F、F，点P在双曲线上．若PF⊥PF，则点P到x轴
1 2 1 2
的距离为
王新奎新疆屯敞
15．设｛a｝是公比为q的等比数列，S是它的前n项和．若｛S｝是等差数列，则
n n n
q =
王新奎新疆屯敞
16．圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为
王新奎新疆屯敞
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
第3页 | 共12页17． (本小题满分12分)
如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC =
90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1， ．
(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积；
(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
18． (本小题满分12分)
已知复数z= i (1－i) 3．
1
(Ⅰ)求arg z及 ；
1
(Ⅱ)当复数z满足 =1，求 的最大值．
19． (本小题满分12分)
设抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在
抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．
20． (本小题满分12分)
已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．
(Ⅰ)证明 ；
(Ⅱ)证明(1＋m) n＞ (1＋n) m．
21． (本小题满分12分)
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．
根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 ．本年度当地旅游业收入
估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上
年增加 ．
(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为a万元，旅游业总收入为b万元．写出a，b的
n n n n
表达式；
(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
22． (本小题满分14分)
设f (x) 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x，x∈[0，
1 2
第4页 | 共12页]都有f (x＋x) = f (x) · f (x)．且f (1) = a＞0．
1 2 1 2
(Ⅰ)求f ( ) 及f ( )；
(Ⅱ)证明f (x) 是周期函数；
(Ⅲ)记a= f (2n＋ )，求 ．
n
参考答案：
说明：
一． 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，
如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分
细则．
二． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一
半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C
（6）A （7）C （8）A （9）B （10）C
（11）D （12）D
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
（13）2π （14） （15）1 （16）2n (n－1)
第5页 | 共12页三．解答题：
（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满
分12分．
解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是
M ， ……2分
底面
∴ 四棱锥S—ABCD的体积是
M
底面
． ……4分
（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE则SE是所求二面角的棱． ……6分
∵ AD∥BC，BC = 2AD，
∴ EA = AB = SA，∴ SE⊥SB，
∵ SA⊥面ABCD，得SEB⊥面EBC，EB是交线，
又BC⊥EB，∴ BC⊥面SEB，
故SB是CS在面SEB上的射影，
∴ CS⊥SE，
所以∠BSC是所求二面角的平面角． ……10分
∵ ，BC =1，BC⊥SB，
∴ tan∠BSC ．
即所求二面角的正切值为 ． ……12分
（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分
12分．
解：（Ⅰ）z= i (1－i) 3 = 2－2i，
1
将z化为三角形式，得
1
第6页 | 共12页，
∴ ， ． ……6分
（Ⅱ）设z= cos α＋i sin α，则
z－z= ( cos α－2)＋(sin α＋2) i，
1
( )， ……9分
当sin( ) = 1时， 取得最大值 ．
从而得到 的最大值为 ． ……12分
（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能
力．满分12分．
证明一：因为抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F ( ，0)，所以经过点F的直线的方程
可设为
； ……4分
代入抛物线方程得
y2 －2pmy－p2 = 0，
若记A(x，y)，B(x，y)，则y，y是该方程的两个根，所以
1 1 2 2 1 2
yy= －p2． ……8分
1 2
因为BC∥x轴，且点c在准线x= － 上，所以点c的坐标为（－ ，y），故直线CO
2
的斜率为
．
即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．
……12分
证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作
第7页 | 共12页AD⊥l，D是垂足．则
AD∥FE∥BC． ……2分
连结AC，与EF相交于点N，则
，
……6分
根据抛物线的几何性质， ，
， ……8分
∴ ，
即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O． ……12分
（20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满
分12分．
（Ⅰ）证明： 对于1＜i≤m有
= m·…·(m－i＋1)，
… ，
同理 … ， ……4分
由于 m＜n，对整数k = 1，2…，i－1，有 ，
所以 ，即 ． ……6分
（Ⅱ）证明由二项式定理有
，
， ……8分
第8页 | 共12页由 (Ⅰ)知 ＞ (1＜i≤m＜n＝，
而 ， ， ……10分
所以， (1＜i≤m＜n＝．
因此， ．
又 ， ， ．
∴ ．
即 (1＋m)n＞(1＋n)m． ……12分
（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运
用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－ ）万元，……，第n
年投入为800×（1－ ）n－1万元．
所以，n年内的总投入为
a= 800＋800×（1－ ）＋…＋800×（1－ ）n－1
n
= 4000×[1－( )n]； ……3
分
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋ ）万元，……，第
n年旅游业收入为400×（1＋ ）n－1万元．
所以，n年内的旅游业总收入为
第9页 | 共12页b= 400＋400×（1＋ ）＋…＋400×（1＋ ）n－1
n
= 1600×[ ( )n－1]． ……6
分
（Ⅱ）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此
b－a＞0，
n n
即 1600×[（ ）n －1]－4000×[1－（ ）n]＞0．
化简得 5×（ ）n＋2×（ ）n －7＞0， ……9分
设 （ ）n，代入上式得
5x2－7x＋2＞0，
解此不等式，得
，x＞1(舍去)．
即 （ ）n＜ ，
由此得 n≥5．
答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分
（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基
础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．
（Ⅰ）解：因为对x，x∈[0， ]，都有f (x＋x) = f (x) · f (x)，所以
1 2 1 2 1 2
f ( ) · f ( )≥0，x∈[0，1]．
∵ f ( ) = f ( ) · f ( ) = [f ( )]2，
f ( ) f ( ) = f ( ) · f ( ) = [f ( )]2．
……3分
第10页 | 共12页，
∴ f ( ) ，f ( ) ． ……6
分
（Ⅱ）证明：依题设y = f (x)关于直线x = 1对称，
故 f (x) = f (1＋1－x)，
即f (x) = f (2－x)，x∈R． ……8
分
又由f (x)是偶函数知f (－x) = f (x) ，x∈R，
∴ f (－x) = f (2－x) ，x∈R，
将上式中－x以x代换，得
f (x) = f (x＋2)，x∈R．
这表明f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10
分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x)≥0，x∈[0，1]．
∵ f ( )= f (n · ) = f ( ＋（n－1）· )
= f ( ) · f (（n－1）· )
= f ( ) · f ( ) · … ·f ( )
= [ f ( )]n，
f ( ) = ，
∴ f ( ) = ．
∵ f (x)的一个周期是2，
∴ f (2n＋ ) = f ( )，因此a= ， ……
n
12分
∴ ( ) = 0． ……14
分
第11页 | 共12页第12页 | 共12页
