文档内容
柳州市 2024 届高三第三次模拟考试
数学
（考试时间 120分钟 满分 150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生
喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 是虚数单位，若 为实数，则实数 的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足 ，
其中星等为 的星的亮度为 ，已知太阳的星等是 ，天狼星的星等是 ，则太阳与天
狼星的亮度的比值为（ ）
A． B．10.1 C． D．
5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有
（ ）
A．60种 B．48种 C．30种 D．10种
6．已知 是半径为2的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
10．椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，方程 的两个实根分别为
和 ，则点 （ ）
A．必在圆 内 B．必在圆 上
C．必在圆 外 D．与圆 的关系与 有关
8．设函数 是定义在 上的奇函数，且对于任意的 ，都有 ，若函数
，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．设 是至少含有两个元素的集合，在 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的 ，对于有序元
素对 ，在 中有唯一确定的元素 与之对应）．若对任意的 ，有 ，则对任意的
，下列等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中 ，
则（ ）
A．当 时， 与平面 所成角为
B．当 时，有且仅有一个点 ，使得
学科网（北京）股份有限公司C．当 时，平面 平面
D．若 ，则点 的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若 是偶函数，则 _________。
13．已知过原点 的一条直线 与圆 相切，且 与抛物线 交于 两
点，若 ，则 _________。
14．在 中，角 的对边分别为 的平分线交 于 ，且 ，
则 的最小值为_________。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形， 平面 是 中点。
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值。
16．已知数列 满足： 。
（1）求数列 的通项公式；
（2）对任意 ，将数列 中落入区间 内的项的个数记为 ，求数列 的前 项和 。
17．某企业为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数
学科网（北京）股份有限公司据 ，如下表所示：
试销单价 （百元） 1 2 3 4 5 6
产品销量 （件） 91 86 78 73 70
附：参考公式： ，
参考数据：
（1）求 的值；
（2）已知变量 具有线性相关关系，求产品销量 （件）关于试销单价 （百元）的线性回归方程
（计算结果精确到整数位）；
（3）用 表示用正确的线性回归方程得到的与 对应的产品销量的估计值，当销售数据 的残差的绝
对值 时，则将销售数据称为一个“有效数据”，现从这6组销售数据中任取2组，求“有效数
据”个数 的分布列和期望。
18．已知函数
（1）求函数 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的单调区间；
（3）若 为 的导函数，设 。证明：对任意
19． 是一个动点， 与直线 垂直，垂足 位于第一象限， 与直线 垂直，
垂足 位于第四象限，且 。
（1）求动点 的轨迹方程 ；
（2）设 ，过点 的直线 与曲线 交于 两点（点 在 轴上方）。 为直线
学科网（北京）股份有限公司的交点，当点 的纵坐标为 时，求直线 的方程。
柳州市 2024 届高三第三次模拟考试
数学参考答案及评分标准
2024.3
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C D C A C B A D
二、多选题
9 10 11
选1个（A 选2个 选1个（B 选2个 选3个 选1个（A 选2个 选3个
或C （AC） 或C或D） （BC或 （BCD） 或C或D） （AC或 （ACD）
BD或CD AD或
CD）
3分 6分 2分 4分 6分 2分 4分 6分
三、填空题
12． 13．3 14．18
四、解答题
15．（1） 平面 1分
四边形 为正方形，
平面 2分
又 平面 ． 3分
为 中点， 4分
平面 ． 5分
（2） 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设 6分
则
7分
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量
则 ，令 ，得 9分
平面 ，故平面 的法河量 11分
12分
二面角 的余弦值为 13分
16．解：（1）当 时，由 ，得 1分
当 时，
3分
两式相减，得 4分
5分
当 时， 6分
综上可知， 7分
（2）由题意 8分
学科网（北京）股份有限公司9分
12分
14分
15分
18．（1）由 ，得 ， 1分
解得 ． 3分
（2） 4分
而 ，
， 6分
7分
所求的线性回归方程为： 8分
（3）由（2）可知， ， 9分
故有效数据为 10分
的取值可能为0，1 11分
12分
13分
学科网（北京）股份有限公司则 的分布列为
0 1
15分
注：若第（2）问代整数计算：
7分
所求的线性回归方程为： 8分
由（2）可知， ， 9分
故有效数据为 10分
的取值可能为
11分
12分
13分
则 的分布列为
0 1 2
15分
18．（1） 1分
学科网（北京）股份有限公司3分
函数 在点 处的切线方程为： 3分
（2）函数 的定义域为
令 4分
当 时， ，故 在 单调递减 5分
， 6分
当 时， 单调递增
当 时， 单调递增
的单调递增区间为 ，单调递增区间为 8分
（3） 10分
令 11分
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减 13分
14分
令
当 时， 单调递增，故 15分
16分
17分
学科网（北京）股份有限公司19．（1）设 ，直线 的倾斜角为 ，则 1分
3分
4分
5分
由于 位于第一象限， 位于第四象限，
所以 的轨迹方程 7分
（2）设 8分
联立： ，化简得： 9分
直线 ，直线 10分
联立消去 得：
13分
又 14分
15分
学科网（北京）股份有限公司故点 ，直线 的斜率为：
联立 ，消去 化简得：
故
直线 的方程为 17分
学科网（北京）股份有限公司
