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A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．某企业2016年12月份的产值是2016年1月份产值的P倍，若2016年每
月产值的平均增长率均相同，则该企业2016年每月产值的平均增长率为( )
A． B．－1
C． D．
答案 B
解析 设2016年1月份产值为 a，每月产值的平均增长率为 x，则aP＝a(1
＋x)11，∴x＝－1.
2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 y＝其中
x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(
)
A．15 B．40
C．25 D．130
答案 C
解析 若4x＝60，则x＝15＞10，不符合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，
满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不符合题意．故拟录用25人．
3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模
型的是( )
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高
度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的
函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
答案 B
解析 A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的
函数模型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数．故选B．
4．某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时
他的体温基本正常(正常体温为37 ℃)，但是下午他的体温又开始上升，直到半
夜才感觉身上不那么发烫了．下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变
化情况的图象是( )答案 C
解析 观察图象A，体温逐渐降低，不符合题意；图象B不能反映“下午他
的体温又开始上升”；图象D不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到
半夜才感觉身上不那么发烫了”．综上所述，只有图象C是正确的．
5．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y
＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时
间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(
)
A．16小时 B．20小时
C．24小时 D．21小时
答案 C
解析 由题意，知解得当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3×192＝24(小时)．
二、填空题
6．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L ＝
1
5.06x－0.15x2和L ＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售
2
15辆车，则能获得的最大利润为________万元．
答案 45.6
解析 设甲地销售 x辆，则乙地销售(15－x)辆，所以总利润为 S＝5.06x－
0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋45.606(x∈N*)．
所以当x＝10时，总利润取得最大值，S ＝45.6(万元)．
max
7．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离 y(km)与刹车时的速度 x(km/h)的
关系可以用y＝ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为 60 km/h时，紧急刹车
后滑行的距离为b km.若一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b km，
则这辆车的行驶速度为________km/h.答案 60
解析 由题意得 a×602＝b，解得 a＝，所以 y＝x2.因为 y＝3b，所以 x2＝
3b，解得x＝－60(舍去)或x＝60，所以这辆车的行驶速度是60 km/h.
8．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积变小，刚放进的新丸体积为a，经
过t天后体积V与天数t的关系式为V＝ae－kt，新丸经过50天后，体积变为A．
若一个新丸体积变为a，则需经过________天．
答案 75
解析 由题意，得a＝ae－50k，解得e－25k＝.令ae－kt＝a，即e－kt＝3＝(e－25k)3＝e
－75k，即需经过的天数为75.
三、解答题
9．某地区为响应上级号召，在 2017年初，新建了一批有200万平方米的廉
价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际
情况，估计今后廉价住房的年平均增长率只能达到5%.
(1)经过x年后，该地区的廉价住房为 y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求
此函数的定义域；
(2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象，求经过多少年后，该地区的廉价住
房能达到300万平方米？
解 (1)经过1年后，廉价住房面积为
200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后为200(1＋5%)2；
…
经过x年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x，
∴y＝200(1＋5%)x(x∈N*)．
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的图象，如图所示．
作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x 300)，A点
0,
的横坐标x 的值就是函数值y＝300时所经过的时间x的值．
0因为80)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为 x.由题意，可得 m＋8a＝m(1＋
x)8，则5月份甲食堂的营业额y ＝m＋4a，乙食堂的营业额y ＝m(1＋x)4＝，因
1 2
为y－y＝(m＋4a)2－ m(m＋8a)＝16a2>0，所以y >y ，故该年5月份甲食堂的营
1 2
业额较高．
2．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10万元～1000万元(包含10万元和1000万元)的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖
励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不
低于1万元，同时不超过投资收益的20%.
(1)设奖励方案的函数模型为f(x)，根据题目要求，写出f(x)满足的条件；
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
①f(x)＝＋2；②f(x)＝4lg x－2.
试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求．
解 (1)由题意，知公司对奖励方案的基本要求是：
当x∈[10,1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≥1恒成立；③f(x)≤恒成立．
(2)①对于函数模型f(x)＝＋2：
当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，
且f(x)≥f(10)＝≥1，即f(x)≥1恒成立，
而若使函数f(x)＝＋2≤在[10,1000]上恒成立，
则29x≥300在[10,1000]上恒成立．
又当x＝10时，29x＝29×10＝290<300，
所以f(x)≤在[10,1000]上不恒成立．
故该函数模型不符合公司的要求．
②对于函数模型f(x)＝4lg x－2：
当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，
且f(x)≥f(10)＝4lg 10－2＝2≥1，
所以f(x)≥1在[10,1000]上恒成立．
在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝4lg x－2和y＝的图象，如图所示．
由图象可知当x∈[10,1000]时，4lg x－2≤恒成立．
故该函数模型符合公司的要求．
