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葫芦岛市普通高中 2023-2024 学年下学期期末考试
高一数学
注意事项：
1.本试卷分第I卷､第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分；考试时间：120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目､试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上.
3.用铅笔把第I卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位
置上.
4考试结束，将答题卡和答题纸一并交回.
第I卷（选择题，共58分）
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1.下列各角中与 终边相同的角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 （其中 为虚数单位），则 在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.若平面向量 与 满足 ，且 与 的夹角为 ，则 （ ）
A.1 B. C. D.31
4.斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，
4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（ ）
A.56 B. C. D.
5.已知函数 ，若将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数
的图象.若函数 为奇函数，则 的最小值是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6.已知 角的始边与 轴非负半轴重合， 是 角终边上一点，则
的值为（ ）
A. B. C. D.
7.在 中， 是 中点且 ，则向量 在向量 上的投影向量（ ）
A. B. C. D.
8.设集合 ，则集合 的元素个
数为（ ）
A.1013 B.1014 C.2024 D.2025
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）
9.在 中， 为边 上一动点，则（ ）
A.
B. 的外接圆半径为
C.当 为角 的角平分线时，
D.当 为 中点时，
10.设 ，已知 是方程 的两根，则下列等式正确的是（ ）
A. B.
学科网（北京）股份有限公司C. D.
11.如图，正方体 的棱长为 为 的中点， 为线段 上的动点，过点 的
平面截该正方体所得截面记为 ，则下列命题正确的是（ ）
A.直线 与直线 所成角的正切值为
B.当 时， 为等腰梯形
C.当 时， 与 交于点 ，则
D.当 时， 为五边形
第II卷（非选择题，共92分）
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.两空题第一空2分，第二空3分）
12.已知 ，且 （其中 为虚数单位），则 __________.
13.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个直角三角形与中间的小正方形拼
成的一个大正方形，若图2中直角三角形的两锐角分别为 ，大正方形的面积为25，小正方形的面积为
1，则 __________.
学科网（北京）股份有限公司14.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，
因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点 ，满足
平面 ，若三棱锥 体积为 ，则该“鞠”的体积最小值为
__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）
在同一平面内的三个向量 ，若
（1）若 ，求 的坐标；
（2）若 ，且 与 垂直，求 与 的夹角 的余弦值.
16.（本小题满分15分）
已知函数 的部分图象，如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2） ，求函数 的值域；
学科网（北京）股份有限公司（3）若 ，求满足不等式 的 的取值范围.
17.（本小题满分15分）
已知 的内角 的对边为 ，且 .
（1）求 ；
（2）已知 为 的中点， 底边 上中线 长为 时，求 面积的最大值.
18.（本小题满分17分）
如图， 是圆柱的底面直径， 是圆柱的母线且 ，点 是圆柱底面圆周上的点.
（1）求圆柱的表面积；
（2）证明：平面 平面 ；
（3）若 是 的中点，点 在线段 上，求 的最小值.
19.（本小题满分17分）
设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率为
，其中 为多面体 的
所有与点 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，平面 和平面 为多面体 的所
有以 为公共点的面.已知在直四棱柱 中，底面 为菱形，且 .
（1）求直四棱柱 在各个顶点的离散曲率之和；
（2）若直四棱柱 在点 处的离散曲率为 ，直四棱柱 体积为 ，
学科网（北京）股份有限公司求函数 的解析式及单调区间.
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高一数学
参考答案及评分标准
一､单项选择题
1-4BDBC 5-8CDCA
二､多项选择题
9.ABC 10.BD 11.BCD
学科网（北京）股份有限公司三､填空题
12.-1 13. 14.
四､解答题
15.（本小题满分13分）
（1）
或
（2） 与 垂直，
于是，
16.（本小题满分15分）
（1）由图可得 ，
则 ，因为 ，且 ，所以 ，
所以
由图可知 ，
则 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
故
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知
设
综上，求函数 的值域为
（3）由 ，得 ，
则，
解得 或
解得 或 .
又
可得解集为
17.（本小题满分15分）
（1）由正弦定理，得 ，即 ，
故 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
（2）由（1）知 ，
学科网（北京）股份有限公司由于 ，
所以
解得 ，当且仅当 时，取得到等号，
此时 面积的最大值
18.（本小题满分17分）
（1）.圆柱的底面半径 ，圆柱的侧面积
圆柱的底面积为 ，所以表面积
（2）由题意知 平面 ，又 平面 ，
所以 ，
而 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
故平面 平面 ；
（3）将 绕着 旋转到 使其与平面 共面，且 在 的反向延长线上.当 三点
共线时 取得最小值，为
所以在三角形 中，由余弦定理可得：
学科网（北京）股份有限公司所以 的最小值等于
19.（本小题满分17分）
（1）在直四棱柱 中， ，底面 为菱形，
由离散曲率的定义知： 的离散曲率相等， 的离散曲率相等，
所以A处的曲率为 ，
而 处的曲率为 ，又 ，
所以 两处的曲率和为 ，
故直四棱柱 在各个顶点的离散曲率之和
（2）由题设，A处的曲率 ，故 ，又
故
所以直四棱柱底面面积为
故直四棱柱 高为1，故体积为
令 ，可得 ，
即 上 递增；
令 ，可得 ，
即 上 递减；
学科网（北京）股份有限公司所以 增区间为 ，减区间为 .
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