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高一第二学期期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1. 复数 的虚部为（ ）
A. 2 B. C. 1 D. i
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用复数的基本概念得答案.
【详解】解：复数 的虚部为1.
故选：C.
【点睛】此题考查复数的有关概念，属于基础题
.
2. 已知向量 ， 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算，列方程求出x的值.
【详解】解：向量 ， ；
若 ，则 ，
即 ，
解得 .
故选：A.
【点睛】此题考查由向量垂直求参数，属于基础题
3. 在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为 .那么以下理解正确的是（ ）
A. 某顾客抽奖10次，一定能中奖1次
B. 某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖
C. 某顾客消费210元，一定不能中奖
D. 某顾客消费1000元，至少能中奖1次
【答案】B
【解析】
【分析】
根据概率的定义进行判断.
【详解】解：中奖概率 表示每一次抽奖中奖的可能性都是 ，
故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，
故选：B.
【点睛】此题考查对概率定义的理解，属于基础题
4. 要得到函数 的图象，只要将函数 的图象（ ）
A. 向右平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意利用函数 的图象变换规律，得出结论.
【详解】解：只要将函数 的图象向左平移 个单位长度，
即可得到函数 的图象，故选：D.
【点睛】此题考查函数 的图象变换，属于基础题
5. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
化简复数，找出对应点得到答案.
【详解】 对应点为 在第二象限
故答案选B
【点睛】本题考查了复数的化简，属于简单题.
6. 设l是直线， ， 是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.
【详解】A.若 ， ，则 与 可能平行，也可能相交，所以不正确.
B.若 ， ，则 与 可能的位置关系有相交、平行或 ,所以不正确.
C.若 ， ，则可能 ，所以不正确.
D.若 ， ，由线面平行的性质过 的平面与 相交于 ，则 ，又 .
所以 ，所以有 ，所以正确.
故选：D
【点睛】本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.7. 已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“ ”是“四边形 为平行四边形”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据必要条件、充分条件的定义即可判断.
【详解】解：由 可不一定推出四边形 为平行四边形，
但由四边形 为平行四边形一定可得 ，
故“ ”是“四边形 为平行四边形”的必要而不充分条件，
故选：B.
【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题
8. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全
部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆维组成.
这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的 （细管长度忽略
不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的
比值为（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】
细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为 ，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底
面半径为 ，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为 ，求出细沙的体积，由体积
相等求解 ，则答案可求.
【详解】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为 ，
设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为 ，
∴细沙的体积为 .
细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，设高为 ，
则 ，
得 .
∴ .
故选：A.
【点睛】此题考查圆锥体积公式的应用，属于中档题
二、填空题（共6小题）.
9. 若函数 ，则 的值为______.【答案】
【解析】
【分析】
由已知利用二倍角公式可求 ，进而根据特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】解：∵ ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】此题考查正弦的二倍角公式的应用，属于基础题
10. 已知复数 满足 ，那么 __________， __________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
利用复数除法运算得到复数 ，进而求出其共轭与模即可.
【详解】复数 ，
故 ， ．
【点睛】本题考查复数的运算及基本概念，属于基础题.
11. 已知在 中， ， ， ，则 ______.
【答案】 或 .
【解析】
【分析】由已知利用正弦定理可得 ，结合 ，可得范围 ，即可求解B的值.
【详解】解：∵ ， ， ，
∴由正弦定理 ，可得 ，
∵ ，可得 ，
∴ ，或 .
故答案为： ，或 .
【点睛】此题考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题
12. 已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少
有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是______.
【答案】0.79.
【解析】
【分析】
由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公
式列出方程，由此能求出a的最大值.
【详解】解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，
∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，
∴ ，
解得 .
∴a的最大值是0.79.
故答案为：0.79.
【点睛】此题考查对立事件概率的应用，属于基础题
13. 已知l，m是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列四个论断：① ，② ，③
，④ .以其中的两个论断作为命题的条件， 作为命题的结论，写出一个真命题：______.【答案】若 ， ，则
【解析】
【分析】
若 ， ，则 ，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论.
【详解】解：l，m是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，
可得若 ， ，则 ，
理由：在 内取两条相交直线a，b，
由 可得 . ，
又 ，可得 . ，
而a，b为 内的两条相交直线，可得 .
故答案 为：若 ， ，则
【点睛】此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题
14. 在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用
在行李包上的两个拉力分别为 ， ，且 ， 与 的夹角为 .给出以下结论：
① 越大越费力， 越小越省力；
② 的范围为 ；
③当 时， ；
④当 时， .
其中正确结论的序号是______.【答案】①④.
【解析】
【分析】
根据 为定值，求出 ，再对题目中的命题分析、判断正误即可.
【详解】解：对于①，由 为定值，
所以 ，
解得 ；
由题意知 时， 单调递减，所以 单调递增，
即 越大越费力， 越小越省力；①正确.
对于②，由题意知， 的取值范围是 ，所以②错误.
对于③，当 时， ，所以 ，③错误.
对于④，当 时， ，所以 ，④正确.
综上知，正确结论的序号是①④.
故答案为：①④.
【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题
三、解答题共5题，每题10分，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. 已知函数 ，其 ， _____.
（1）写出函数 的一个周期（不用说明理由）；
（2）当 时，求函数 的最大值和最小值.从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，
注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分.
【答案】若选①（1） ；（2）最小值 ，最大值 ；若选②（1） ，（2）最大值 ，
最小值 .
【解析】
【分析】
（1）结合所选选项，然后结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求；
（2）由已知角x的范围，然后结合正弦函数的性质即可求解.
【详解】解：选①，（1）因为 ，
，
故函数的周期 ；
（2）因为 ，所以 ，
当 即 时，函数取得最小值 ，当 即 时，函数取得最大值 ，
选②，（1）
，
，
故函数的一个周期 ，（2）由 可得 ，
时即 时，函数取得最大值 ，
当 时即 时，函数取得最小值 .
【点睛】此题考查二倍角公式及辅助角公式的应用，考查正弦函数性质的应用，考查计算能力，属于中档
题
16. 某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中
随机选取两人在总结表彰大会上发言.
（Ⅰ）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；
（Ⅱ）求选中1名医生和1名护士发言的概率；
（Ⅲ）求至少选中1名护士发言的概率.
【答案】（Ⅰ）样本空间见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）给6名医护人员进行编号，使用列举法得出样本空间；
（Ⅱ）列举出符合条件的基本事件，根据古典概型的概率公式计算概率；
（Ⅲ）列举出对立事件的基本事件，根据对立事件概率公式计算概率.
【详解】解：（Ⅰ）设2名医生记为 ， ，3名护士记为 ， ， ，1名管理人员记为C，
则样本空间为：
.
（Ⅱ）设事件M：选中1名医生和1名护士发言，则
，
∴ ，又 ，.
∴
（Ⅲ）设事件N：至少选中1名护士发言，则 ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查事件空间，考查古典概型，考查对立事件的概率公式．用列举法写出事件空间中的所有
基本事件是解题关键，也是求古典概型的基本方法．
17. 在正方体 中，E，F分别为 和 的中点.（1）求证： 平面 ；
（2）在棱 上是否存在一点M，使得平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1.
【解析】
【分析】
（1）取 的中点G，连接 ， ，运用中位线定理和平行四边形的判定和性质，结合线面平行的
判定定理，即可得证；
（2）在棱 上假设存在一点M，使得平面 平面 ，取M为 的中点，连接 ， ，
，由线面垂直的判定和性质，结合面面垂直的判定定理，可得所求结论.
【详解】解：（1）取 的中点G，连接 ， ，因为F为 的中点，
所以 ∥ ，且 ，
在正方体 中，因为E为 的中点，
所以 ∥ ，且 ，所以 ∥ ， ，
可得四边形 为平行四边形，
所以 ∥ ，又因为 平面 ， 平面 ，
则 ∥平面 ；（2）在棱 上假设存在一点M，使得平面 平面 ，
取M为 的中点，连接 ， ， ，
因为F为 的中点，所以 ∥ ，因为 ，
可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
故 .【点睛】
此题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定和性质的应用，考查面面垂直的判定，考查推理能力，属
于中档题
18. 在 中， ，D是 的中点， ， .
（1）求B；
（2）求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）直接由已知条件和正弦定理求出B的值.
（2）根据余弦定理求出c的值，再根据面积公式即可求出.
【详解】解：（1）由 及正弦定理，
可得： ，
所以： ，
由于： ， ，
因为 ，
解得： ；
（2）延长线段 到E，使得 ，
因为D是 的中点，
所以 是 的中位线，
所以 ，因为 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理
可得 ，解得 ，
所以 .
【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理 的应用，考查两角和正弦公式的应用，考查计算能力，属于中档题
19. 对于任意实数a，b，c，d，表达式 称为二阶行列式（determinant），记作 ，
（1）求下列行列式的值：
① ；② ；③ ；
（2）求证：向量 与向量 共线的充要条件是 ；
（3）讨论关于x，y的二元一次方程组 （ ）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.
【答案】（1）1，0，0；（2）证明见解析；（3）当 时，有唯一解， ，
.
【解析】
【分析】
（1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值.
（2）若向量 与向量 共线，由 和 时，分别推导出 ；反之，若
，即 ，当c，d不全为0时，不妨设 ，则 ， ，推导出
， ，当 且 时， ， 与 共线，由此能证明向量 与
向量 共线的充要条件是 .
（3）求出 ， ，由此能求出当 时，关于
x，y的二元一次方程组 （ ）有唯一解，并能求出解.
【详解】解：（1）解：①② ；
③ .
（2）证明：若向量 与向量 共线，则：
当 时，有 ，即 ，
当 时，有 ，即 ，
∴必要性得证.
反之，若 ，即 ，
当c，d不全为0时，即 时，
不妨设 ，则 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ 与 共线，
当 且 时， ，∴ 与 共线，
充分性得证.
综上，向量 与向量 共线的充要条件是 .
（3）用 和 分别乘上面两个方程 的两端，然后两个方程相减，消去y得：
，①
同理，消去x，得：
，②∴当 时，即 时，由①②得：
， ，
∴当 时，关于x，y的二元一次方程组 （ ）有唯一解，
且 ， .
【点睛】此题考查行列式求值，考查向量共线的充要条件的证明，考查二元一次方程有解的条件及解的求
法，考查运算求解能力，属于中档题
