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高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1. 复数 的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
2. 在下列各组向量中，互相垂直的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ， ，
3. 在 中， ， ，则 （ ）
.
A 0 B. C. D.
4. 甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，则甲、
乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 将一个容量为1000 的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是（ ）
A. 4 B. 40 C. 250 D. 400
6. 若样本数据 ， ， ， 标准差为8，则数据 ， ， ， 的标准差为（ ）
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
7. 用6根火柴最多可以组成（ ）
.
A 2个等边三角形 B. 3等边三角形
C. 4个等边三角形 D. 5个等边三角形
8. 已知直线 平面 ，直线 平面 ，则“直线 ”是“ ，且 ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 关于两个互相垂直的平面，给出下面四个命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线；
③一个平面内的已知直线必垂直于另一平面；
④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题 的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 如图，在正方体 中，点 ， 分别是棱 ， 上的动点．给出下面四个命题：
①若直线 与直线 共面，则直线 与直线 相交；
②若直线 与直线 相交，则交点一定在直线 上；
③若直线 与直线 相交，则直线 与平面 所成角的正切值最大为 ；
④直线 与直线 所成角的最大值是 ．
其中，所有正确命题的序号是（ ）
A. ①④ B. ②④ C. ①②④ D. ②③④
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 在空间中，若直线 与 无公共点，则直线 的位置关系是________；
12. 棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是__．
13. 已知23名男生的平均身高是170.6cm，27名女生的平均身高是160.6cm，则这50名学生的平均身高为
__cm．
14. 样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数
是__，第75百分位数是__．
15. 为了考察某校各班参加书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作
为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据由小到大依次为__．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知 ， ．
（1）若 与 同向，求 ；
（2）若 与 的夹角为 ，求 ．
17. 在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ， ．
（Ⅰ） 能否成立？请说明理由；
（Ⅱ）若 ，求 ．
18. 某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照 ， ，
， ， ， ， ， ， ， 分组，绘成频率分布直方图（如图）．
（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）分别求出抽取的20人中得分落在组 和 内的人数；
（Ⅲ）估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数．
19. 某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了跳绳、踢毽两项健身活动，为了了解学生的运动状
况，采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生
进行测试，如表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个 分钟）
学生编号 1 2 3 4 5
跳绳个数 179 181 170 177 183
踢毽个数 82 76 79 73 80
（Ⅰ）求高一、高二两个年级各有多少人？
（Ⅱ）从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的概率；
（Ⅲ）高二年级学生的两项运动的成绩哪项更稳定？
20. 如图，在五面体 中，四边形 是边长为 的正方形，平面 ⊥平面 ，
.(Ⅰ) 求证： ；
(Ⅱ) 求证：平面 ⊥平面 ；
(Ⅲ) 在线段 上是否存在点 ，使得 ⊥平面 ？ 说明理由.
21. 在边长为2 的正方形 中，点 ， 分别是 ， 上的动点，将 ， 分别沿
， 折起，使 ， 两点重合于点 ．（Ⅰ）若点 ， 分别是 ， 的中点（如图），
①求证： ；
②求三棱锥 的体积；
（Ⅱ）设 ， ，当 ， 满足什么关系时， ， 两点才能重合于点 ？
