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陕西省铜川市一中高一期末考试
数学试题
命题人：陈娣
考生注意：本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知复数z满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，若 ，则实数 （ ）
A. B. 0 C. 1 D.
3. 已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则实数
（ ）
A. B. C. 1 D. 2
4. 已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则（ ）
A. 若 ，且 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
为
D. 若 异面直线， ，则 不垂直于
5. 若一组数据 的平均数为4，方差为3，那么数据 的平均数和方差分别是
（ ）
.
A 10，12 B. 10，14 C. 4，3 D. 6，3
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学科网（北京）股份有限公司6. 已知空间向量 ,若 共面，则实数 的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 如图，在 中，已知 ，将 以 为轴旋转一周形成的几何体的体积为 ，以
为轴旋转一周形成的几何体的体积为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆锥的顶点为 ，母线长为2，轴截面为 ，若 为底面圆周上异于 ， 的
一点，且二面角 的大小为 ，则 的面积为（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. PM2.5是指大气中空气动力学当量直径小于或等于 2.5微米的颗粒物．PM2.5的监测值是用来评价环境
空气质量的指标之一．如图是某地5月1日至10日PM2.5的日均值（单位： ）变化的折线图，则
下列说法正确的是（ ）
A. 这10天中PM2.5的日均值的极差为50
B. 这10天中PM2.5的日均值的中位数为43
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学科网（北京）股份有限公司C. 这10天中PM2.5的日均值的平均数为47.8
D. 这10天中PM2.5的日均值的第80百分位数为69
10. 已知 为复数，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
11. 如图，四边形 ， 都是边长为2的正方形，平面 平面 ， ， 分别是线
段 ， 的中点，则（ ）
A. B. 异面直线 ， 所成角为
C. 点 到直线 的距离为 D. 的面积是
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
的
12. 已知某圆柱 表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为______．
13. 已知平面 的法向量为 ，点 为平面 内一点，点 为平面 外一点，则点
P到平面 的距离为____________．
14. 如图，在棱长为3的正方体 中，点M，N分别为棱AB， 上的点，且
，点P是正方体 表面上的一点，若 平面 ，则点P的轨迹
长度为________．
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知平面向量 ， 满足 ， ， ．
（1）若 与 的夹角为 ，求 的值；
的
（2）求 在 方向上 投影向量的模．
的
16. 某公司为了解员工对食堂 满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的
满意程度进行打分，所得分数均在[40，100]内，将所得数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，
70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）和中
位数（精确到0.1）；
（2）现从[70，80），[80，90），[90，100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求
[70，80）这组中抽取的人数．
17. 如图，在四棱锥 中， 平面PBC，底面ABCD为菱形，且 ，E，F分别
为BC，CD的中点．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）已知Q为棱BP上一点，且 ，求证： ‖平面QAF．
18. 在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围．
19. 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，且 ， ，平面
平面 ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）在棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求 的
值；若不存在，请说用理由．
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学科网（北京）股份有限公司陕西省铜川市一中高一期末考试
数学试题
命题人：陈娣
考生注意：本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】BC
【11题答案】
【答案】ACD
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学科网（北京）股份有限公司第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】1
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）平均数为72.5，中位数为72.9
（2）14
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【18题答案】
【答案】（1）
（2） ．
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）存在；
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