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普高联考2023-2024学年高三测评（六）
数 学
注意事项：
1．本试卷共19小题。满分：150分。考试时间：120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知非空集合A＝｛x｜a＜x＜ ｝，则实数a的取值范围为
A．（0，1） B．（－∞，0）
C．（－∞，0）∪（1，＋∞） D．（－∞，－1）∪（0，＋∞）
2．复数z＝ 的虚部为
A． B． C．1 D．2
3．国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造
企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总
产量为400个锂电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为 80的
样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池
的总产量为
A．325个 B．300个 C．225个 D．175个
4．3名同学从人工智能、密码学与算法、计算机科学、信息安全四门课程中任选一门学习，
则仅有计算机科学未被选中的概率为
A． B． C． D．
5．已知函数f（x）的定义域为R，g（x）＝x f（x）．设p：f（x）是增函数，q：g（x）是
增函数，则p是q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝9，b＝8，c＝5，则△ABC
的外接圆的面积为
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司7．已知函数f（x）＝sin 2x＋acos 2x，将f（x）的图象向左平移 个单位长度，所得图象
关于原点对称，则f（x）的图象的对称轴可以为
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
8．已知椭圆C： ＋ ＝1的下顶点为A，斜率不为0的直线l与C交于B，D两点，记
线段BD的中点为E，若AE⊥BD，则
A．点E在定直线y＝ 上 B．点E在定直线y＝ 上
C．点E在定直线y＝ 上 D．点E在定直线y＝ 上
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题为假命题的是
A．如果m⊥n，m⊥ ，n∥ ，那么 ⊥
B．如果m⊥ ，n∥ ，那么m⊥n
C．如果 ∥ ，m ，那么m∥
D．如果m∥n， ∥ ，那么m与 所成的角和n与 所成的角的大小不相等
10．设F为双曲线C： ＝1的焦点，O为坐标原点，若圆心为（0，m），半径为2
的圆交C的右支于A，B两点，则
A．C的离心率为 B． ＋ ＝6
C．｜OA｜＋｜OB｜≤4 D．｜FA｜＋｜FB｜≥2
11．定义无穷有界级数 （n≥2，n∈ ），且零项级数 ＝1，则
A． ＝ B． ＋1＝
C． ＝ D． ＝0，n∈
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
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学科网（北京）股份有限公司12．tan5°＋tan10°＋（2－ ）tan5°tan10°＝_______．
13．已知曲线f（x）＝ ＋1与直线y＝kx相切，则k＝_______．
14．在三棱锥A－BCD中， · ＝ · ＝0，AD＝ ＝ ＝ ，则三棱
锥A－BCD体积的最大值为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知等差数列｛ ｝满足 ＝5， ＋ ＝22．
（1）求｛ ｝的通项公式；
（2）求数列｛ · ｝的前n项和 ．
16．（15分）已知抛物线C： ＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（3， ）为C上一点．
（1）求直线MF的斜率；
（2）经过焦点F的直线与C交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为 ，求以线
段AB为直径的圆的标准方程．
17．（15分）某校甲、乙两个数学兴趣班要进行扩招，经过数学兴趣班的海报宣传，共有4
名数学爱好者a，b，c，d报名参加（字母编号的排列是按照报名的先后顺序而定）．
现通过一个小游戏进行分班，规则如下：在一个不透明的箱子中放有红球和黑球各2个，
红球和黑球除颜色不同之外，其余大小、形状完全相同，按报名先后顺序，先由第一
名数学爱好者从箱子中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放
入箱子中；接着由下一名数学爱好者从箱子中不放回地摸出1个小球后，再放入完全相
同的红球和黑球各1个，如此重复，直至4名数学爱好者均摸球完毕．数学爱好者若摸
出红球，则被分至甲班，否则被分至乙班．
（1）求a，b，c三名数学爱好者均被分至同一个兴趣班的概率；
（2）记甲、乙两个兴趣班最终扩招的人数分别为e，f，记X＝｜e－f｜，求E（X）．
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学科网（北京）股份有限公司18．（17分）设函数f（x）＝sin x＋sinax－3xcos x，是否存在正整数a，使得 x∈（0，
］，
f（x）＞0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
19．（17分）在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）S的方程，若曲面S和三元方程
F（x，y，z）＝0之间满足：①曲面S上任意一点的坐标均为三元方程F（x，y，z）＝
0的解；②以三元方程F（x，y，z）＝0的任意解（ ）为坐标的点均在曲面S
上，则称曲面S的方程为F（x，y，z）＝0，方程F（x，y，z）＝0的曲面为S．已知空
间中某单叶双曲面C的方程为 ＝1，双曲面C可视为平面xOz中某双曲线
的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面，已知直线l过C上一点Q（1，1，2），且以d＝
（－2，0，－4）为方向向量．
（1）指出xOy平面截曲面C所得交线是什么曲线，并说明理由；
（2）证明：直线l在曲面C上；
（3）若过曲面C上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C上．设直线
在曲面C上，且过点T（ ，0，2），求异面直线l与 所成角的余弦值．
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