文档内容
试题类型：A
秘密★启用前
数学
姓名__________准考证号__________
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将
答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量 ，且 ，则 （ ）
A.1 B.-1 C. D.0
2.已知集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
3.设命题 ，则 为（ ）
A. B.
C. D.
4.某学校高三年级组在每次考试后将全年级数学成绩的第85百分位数定为“优秀”分数线.
某次考试后，张老师将自己所带100名学生的数学成绩录入计算机，并借助统计软件制作
成如图所示的频率分布直方图.据此，以样本估计总体，可知此次考试的“优秀”分数线约
为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A.120 B.123 C.126 D.129
5.已知 是椭圆 的左､右焦点，经过 的直线 与椭圆 相
交于 两点，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A. B.-4 C. D.
7.已知函数 是定义在 上不恒为零的函数，若 ，则
（ ）
A. B.
C. 为偶函数 D. 为奇函数
8.如图，在体积为1的三棱锥 的侧棱 上分别取点 ，使
，记 为平面 ､平面 ､平面 的
交点，则三棱锥 的体积等于体积等于（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分.
9.已知复数 是 的共轭复数，则（ ）
A.
B. 的虚部是
C. 在复平面内对应的点位于第二象限
D.复数 是方程 的一个根
10.已知函数 ，则（ ）
A.当 时，函数 的周期为
B.函数 的对称轴是
C.当 时， 是函数 的一个最大值点
D.函数 在区间 内不单调，则
11.群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在19世纪30年代开创，群论虽起源于
对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.
学科网（北京）股份有限公司设 是一个非空集合，“ ”是一个适用于 中元素的运算，若同时满足以下四个条件，
则称 对“ ”构成一个群：（1）封闭性，即若 ，则存在唯一确定的 ，使
得 ；（2）结合律成立，即对 中任意元素 都有 ；
（3）单位元存在，即存在 ，对任意 ，满足 ，则 称为单位元；
（4）逆元存在，即任意 ，存在 ，使得 ，则称 与 互为逆元，
记作 .一般地， 可简记作 可简记作 可简记作 ，以此类推.正
八边形 的中心为 .以 表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以
表示以点 为中心，将正八边形逆时针旋转 的旋转变换；以 表示以 所在直线为轴，
将正八边形进行轴对称变换.定义运算“ ”表示复合变换，即 表示将正八边形先进
行 变换再进行 变换的变换.以形如 ，并规定 的变换为元素，
可组成集合 ，则 对运算“ ”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作
.则以下关于 及其元素的说法中，正确的有（ ）
A. ，且
B. 与 互为逆元
C. 中有无穷多个元素
D. 中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知圆柱的底面半径为1，高为2，若圆柱两个底面的圆周都在同一个球的球面上，则
该球的表面积是__________.
13.甲､乙､丙､丁､戊､已六位同学中考语文､数学､外语的成绩如下表：
学科网（北京）股份有限公司甲 乙 丙 丁 戊 己
语文 108 110 115 110 118 107
数学 110 120 112 111 100 118
外语 110 100 112 114 110 113
将每人中考成绩最高的科目认定为他的“最擅长科目”，例如甲的最擅长科目为数学和外
语.现从这六位同学中选出三人分别担任语文､数学､外语三个科目的科代表（每科一人，不
可兼任），若每个科代表对应的科目都是他的最擅长科目，则符合要求的安排方法共有
__________种.
14.已知 为抛物线 上两个不同的动点，且满足 ，则
的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分） 中角 所对的边分别为 ，其面积为 ，且
.
（1）求 ；
（2）已知 ，求 的取值范围.
16.（15分）如图，在三棱台 中，平面 平面
.
（1）证明： 平面 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）若直线 与 距离为3，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17.（15分）某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军.比赛规则为：①每局比赛后，胜
者获得3分，负者获得1分，比赛没有平局；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获
得冠军，比赛结束.已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为 .
（1）求甲乙决出冠军时比赛局数 的分布列与数学期望 ；
（2）求在甲获得冠军的条件下其积分达到11分的概率 .
18.（17分）已知双曲线 经过点 ，其右焦点为 ，且
直线 是 的一条渐近线.
（1）求 的标准方程；
（2）设 是 上任意一点，直线 .证明： 与双曲线 相切于点 ；
（3）设直线 与 相切于点 ，且 ，证明：点 在定直线上.
19.（17分）已知 ，且 ，函数 .
（1）记 为数列 的前 项和.证明：当 时，
；
（2）若 ，证明： ；
（3）若 有3个零点，求实数 的取值范围.
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