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2023-2024 学年第二学期期初联合调研试题
高三数学
2024.2
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
z
1. 复数z满足 =1+i2023，则复数z对应点位于第（ ）象限
2+3i
A．一 B．二 C．三 D．四
2. 在数列 中，已知 ， 则 的前11项的和为（ ）
A．2045 B．2046 C．4093 D．4094
1
3. 已知平面向量⃗a=(2,0)，⃗b=(1,❑√3)，则向量⃗a−⃗b与⃗a− ⃗b的夹角为（ ）
2
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
4. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的
交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆。已知椭圆
(x−3) 2+(y−4) 2=9
的蒙日圆是 ，若圆 与椭圆
x2
+ y2=1的蒙日圆有且仅有一个公共点，则m的值为（ ）
m
A．2或8 B．3或63 C．❑√3或❑√63 D．4或64
5. 有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学
校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）
A．300 B．360 C．390 D．420
6. 已知 则（ ）
A．b<a<c B．c<b<a C．a<c<b D．c<a<b
7. 某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部
1
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方
向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆
树的高度为（ ）
20❑√3 20❑√6
A．10❑√6米 B．20❑√3米 C． 米 D． 米
3 3
1
F
8. 斜率为2 的直线 经过双曲线 的左焦点 ，与双曲线左，右两支
1
分别交于A，B两点，以双曲线右焦点 为圆心的圆经过A，B，则该双曲线的离心率为（
）
15
A． B． 3 C． D． 3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知样本数据x ,x ,⋯,x 的平均数为x，则数据x ,x ,⋯,x ,x（ ）
1 2 n 1 2 n
A．与原数据的极差相同 B．与原数据的众数相同
C．与原数据的方差相同 D．与原数据的平均数相同
10. 已知函数 ，给出下列四个选项，正确的有（
）
A．函数 的最小正周期是
B．函数 在区间 上是减函数
C．函数 的图象关于点 对称
D．函数 的图象可由函数 的图象向左平移
个单位，再向下平移1个单位得到.
11. 如图，该几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90∘得到
2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司的，已知点G是圆弧C´E的中点，点H是圆弧D´F上的动点（含端点），则下列结论正确的
是（ ）
A．不存在点H，使得CH⊥平面BDG
B．存在点H，使得平面AHE//平面BDG
❑√7
C．存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角的余弦值为
3
1
D．不存在点H，使得平面BDG与平面CEH的夹角的余弦值为
3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知 的展开式中 的系数为80，则m的值为▲．
13. 函数 的图象恒过定点A，若点A在直线 上，其中 ，
则 的最小值为▲．
mn=
14. 已知实数m，n满足 ，则 ▲．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在 上恒成立，求实数a的取值范围．
16．（15分）扬州某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物成分的含量 （单位：
mg）与药效指标值 （单位： ）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验，统计得
3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司到一组数据 （ ，2， ，20），其中 ， 分别表示第 次试验中这种药物成分的
⋯
含量和相应的药效指标值，已知该组数据中 与 之间具有线性相关关系，且 ，
， ， ， .
(1)求 关于 的经验回归方程 ；
(2)该公司要用A与B两套设备同时生产该种新药，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，
设备A生产药品的不合格率为0.009，设备B生产药品的不合格率为0.006，且设备A与B生
产的药品是否合格相互独立.
①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；
②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备A生产的概率.
参考公式： ， .
4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司17．（15分）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，E，F分别为 ，
上的点，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 平面 ， 为 的中点，
， ，求二面角 的正切值.
18．（17分）已知 ， ，动点Z满足 .
（1）求动点Z的轨迹曲线E的标准方程；
（2）四边形ABCD内接于曲线E，点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，设直线
3
AC，BD的斜率分别是k ,k ，且k k = .
1 2 1 2 4
（i）记直线AC，BD的交点为G，证明：点G在定直线上；
（ii）证明：AB//CD.
19．（17分）设数列 满足 ，其中 ，且 ， 为常数.
{a } a 2=a a +λ(a −a ) 2 n∈N λ
n n n+1 n−1 2 1
（1）若 是等差数列，且公差 ，求 的值；
{a } d≠0 λ
n
（2）若a =1,a =2,a =4，且存在r∈[3,7]，使得m⋅a ≥n−r对任意的n∈N∗都成立，
1 2 3 n
求m的最小值；
（3）若 ，且数列 不是常数列，如果存在正整数 ，使得 对任意的
λ≠0 {a } T a =a n∈N∗
n n+T n
5
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司均成立. 求所有满足条件的数列 中 的最小值.
{a } T
n
6
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