文档内容
2023-2024 学年春学期期初学情调研试卷
高三数学
命题人： 复核人：
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2．已知{⃑a,⃑b,⃑c)是空间的一个基底，则可以与向量⃑p=⃑a+⃑b，⃑q=⃑a−⃑b构成基底的向量是( )
A. ⃑a B．⃑b C． ⃑a+2⃑b D．⃑a+2⃑c
3．若直线l :ax+(1−a)y−3=0与直线l :(a−1)x+(2a+3)y−2=0互相垂直，则a的值为( )
1 2
1 3
A．−3 B．− C．0或− D．1或−3
2 2
4．已知等差数列 共有 项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则 =( )
{a ) 2n+1 a
n n+1
A．30 B．29 C．28 D．27
2❑√3π
5．如图，一个底面边长为 cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半
3
径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若
该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．❑√17πcm2
B．4πcm2
C．3❑√2πcm2
D．2❑√3πcm2
6．某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若 A须在B前面 出
场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有( )
A．18种 B．36种 C．60种 D．72种
数学试题 • 第 1 页（共 3 页）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司x2 y2
7．双曲线C: − =1的右支上一点P在第一象限，F 、F 分别为双曲线C的左、右焦点，I
9 16 1 2
为△PF F 的内心，若内切圆I的半径为1，则△PF F 的面积等于( )
1 2 1 2
32 16
A. B. 12 C. 24 D.
3 3
8．已知函数 { |x−1|, x<2, 若方程 1的实根个数为
f(x)= f(f(x))=
2(x−3) 2−1, x≥2, 2
( )
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是( )
b a+b+c
A． =
sinB sin A+sinB+sinC
B．若A>B，则sin2A>sin2B
C．a=bcosC+ccosB
D．若 ⃗AB ⃗AC ，且 ⃗AB ⃗AC 1，则△ 为等边三角形
( + )⋅⃗BC=0 ⋅ = ABC
|⃗AB| |⃗AC| |⃗AB| |⃗AC| 2
10．设a为常数， ， ，则( )
A. B. 恒成立
C. D. 满足条件的 不止一个
11．如图，在正方体 中， 为棱 上的动点， 为
棱 的中点，则下列选项正确的是( )
数学试题 • 第 2 页（共 3 页）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．直线 与直线 相交
B．当 为棱 上的中点时，则点 在平面 的射影是点
C．不存在点 ，使得直线 与直线 所成角为
D．三棱锥 的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
π 1 π
12．已知α∈(0,π),sin( α− )= ，则cos( 2α+ ) 的值为 .
6 3 6
13．若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则
．
14.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A(x ,y )
1 1
，B(x ,y )，则A，B两点间的曼哈顿距离d(A,B)=|x −x |+|y −y |.已知M(4,6)
2 2 1 2 1 2
，点N在圆C:x2+ y2+6x+4 y=0上运动，若点P满足d(M,P)=2，则|PN|的最大值
为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知该三角形的面积
．
(1)求角 的大小；
(2)若 时，求 面积的最大值．
16．（15分）
数学试题 • 第 3 页（共 3 页）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司数列{a }中，a =8,a =2且满足a =2a −a (n∈N∗)．
n 1 4 n+2 n+1 n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设S =|a |+|a |+⋯+|a |，求S ；
n 1 2 n n
1
(3)设b = (n∈N∗)，T =b +b +⋯+b (n∈N∗)，是否存在最大的整数m，
n n(12−a ) n 1 2 n
n
m
使得对任意n∈N∗，均有T > 成立若成立？求出m的值；若不存在，请说明理由．
n 32
17．（15分）如图，在三棱柱ABC−A B C 中，CC ⊥平面 ABC,AC⊥BC,AC=BC=2，
1 1 1 1
，点 分别在棱 和棱 上，且 为棱
CC =3 D, E A A CC AD=1 CE=2, M A B
1 1 1 1 1
的中点．
（Ⅰ）求证：C M⊥B D；
1 1
（Ⅱ）求二面角B−B E−D的正弦值；
1
（Ⅲ）求直线AB与平面DB E所成角的正弦值．
1
18．（17 分）已知 ， 为椭圆 x2 和双曲线 x2 的公共左、右顶
M N C : + y2=1(a>0) C : −y2=1
1 a2 2 a2
√ 15
点，e ，e 分别为C 和C 的离心率．(1)若e e = ．
1 2 1 2 1 2 4
(ⅰ)求C 的渐近线方程;
2
(ⅱ)过点G(4,0)的直线l交C 的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线x=1相交于A ，B 两点，
2 1 1
记 A， B， A ， B 的 坐 标 分 别 为 (x ,y )， (x ,y )， (x ,y )， (x ,y )， 求 证 ：
1 1 1 1 2 2 3 3 4 4
1 1 1 1
+ = + ;
y y y y
1 2 3 4
(2)从C 上的动点P(x ,y )(x ≠±a)引C 的两条切线，经过两个切点的直线与C 的两条渐近
2 0 0 0 1 2
线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值;若不是，请说明理由．
数学试题 • 第 4 页（共 3 页）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司a a ⋯ a
( 1,1 1,2 1,m)
19．（17分）已知 A = a 2,1 a 2,2 ⋯ a 2,m (m≥2) 是 m2 个正整数组成的 m 行 m 列的数表，
m
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
a a ⋯ a
m,1 m,2 m,m
当1≤i
