文档内容
2023-2024 学年春学期期初学情调研试卷
高三数学
命题人： 复核人：
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答
题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设集合M ={x|−2< x<2}，N ={0,1,2,3}，则M N =（ ）
{x|−2 𝐴𝐴 sin2𝐴𝐴 > sin2𝐴𝐴
C．
𝑎𝑎 = 𝑏𝑏cos𝐴𝐴 +𝑐𝑐cos𝐴𝐴
D．若 ，且 ，则 为等边三角形
𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗ 𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗ 𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗ 𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗ 1
(|�𝐴𝐴���𝐵𝐵�⃗|+|�𝐴𝐴���𝐶𝐶�⃗|)⋅𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗ = 0 |�𝐴𝐴���𝐵𝐵�⃗|⋅|�𝐴𝐴���𝐶𝐶�⃗| = 2 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
1
10．设a为常数， f(0)= ， f(x+ y)= f(x)f(a− y)+ f(y)f(a−x)，则( )
2
1 1
A. f(a)= B. f(x)= 恒成立
2 2
C. f(x+ y)=2f(x)f(y) D. 满足条件的 f (x)不止一个
11．如图，在正方体ABCD−ABCD 中，E为棱BC上的动点，F 为棱BB的中点，则下列选项
1 1 1 1 1
正确的是( )
A．直线AD 与直线EF相交
1 1
B．当E为棱BC上的中点时，则点E在平面ADF的射影是点F
1
C．不存在点E，使得直线AD 与直线EF所成角为 30
1
D．三棱锥E−ADF的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题 5分，共 15 分．
12．已知 ，则 的值为 .
π 1 π
𝛼𝛼 ∈ (0,π),sin�𝛼𝛼 −6� =数3学试题co s• �第2𝛼𝛼 2+ 页6�（共 4 页）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司13．若直线 y =kx+b ( b<0 )是曲线 y =ex−2的切线，也是曲线 y =lnx 的切线，则
b = ．
14.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设 ，
，则 ， 两点间的曼哈顿距离 已A知(x 1 ,y 1 ) ，
B点(x 2在,y圆2 ) A B 上运动d(，A,若B)点= |满x 1足− x 2 | + |y 1 −，y 2则|. 的M(最4,大6)
2 2
值为N C : x + ．y + 6x + 4y = 0 P d(M,P) = 2 |PN|
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积
1
S = (b2+c2−a2)sinA
2 ．
(1)求角
A
的大小；
(2)若a=4时，求ABC面积的最大值．
16．（15分）
数列 中， 且满足 ．
求数列 的通项公式； ∗
{an} a1 = 8,a4 = 2 an+2 = 2an+1 −an(n ∈ N )
(1) 设 {an} ，求 ；
(2)设Sn = |a1|+|a2|+⋯+，|an| Sn ，是否存在最大的整数 ，
1 ∗ ∗
(3) bn = n(12−an)(n ∈ N ) Tn = b1 +b2 +⋯+bn(n ∈ N ) m
使得对任意 ，均有 成立若成立？求出 的值；若不存在，请说明理由．
m
∗
n ∈ N Tn > 32 m
数学试题 • 第 3 页（共 4 页）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司17．（15分）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，
点 分别在棱 和棱
𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 −
上
𝐴𝐴
，且
1𝐴𝐴1𝐴𝐴1 𝐴𝐴𝐴𝐴1 ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
为
,𝐴𝐴
棱
𝐴𝐴 ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴
的
,𝐴𝐴
中
𝐴𝐴
点
=
．
𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 𝐴𝐴𝐴𝐴1 = 3
（Ⅰ）求证： ；
𝐷𝐷, 𝐸𝐸 𝐴𝐴𝐴𝐴1 𝐴𝐴𝐴𝐴1 𝐴𝐴𝐷𝐷 = 1 𝐴𝐴𝐸𝐸 = 2, 𝑀𝑀 𝐴𝐴1𝐴𝐴1
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
𝐴𝐴1𝑀𝑀 ⊥ 𝐴𝐴1𝐷𝐷
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
𝐴𝐴−𝐴𝐴1𝐸𝐸 −𝐷𝐷
𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐷𝐷𝐴𝐴1𝐸𝐸
18．（17分）已知 ， 为椭圆 和双曲线
2 2
x 2 x 2
的公共左、右顶点 M ， N ， 分 C 别 1: 为a 2 + 和 y = 的 1 离 (a 心 > 率 0) ． 若 C2:a 2 −y ． = 1
√ 15
(ⅰ)求 的渐近线方程e 1 e2 C1 C2 (1) e1e2 = 4
(ⅱ)过
C
点2 的直线
;
交 的右支于 ， 两点，直线 ， 与直线 相交于 ， 两点，
记 ， G，(4,0，) 的坐l标C分2别为 A ，B ， MA M，B ，x =求1证： A1 B1
1 1 1 1
A从B上A的 1 动B点 1 (x1,y引 1) 的(x2 两,y条 2)切线(x， 3,经y3 过) 两(x个 4,切y4 点) 的直线与y1+的y2两=条y渐3 +近y线4;
围 (2) 成三 C2角形的面积 P( 为 x0, ， y0试 )(x 判0断 ≠ ± 是 a) 否为 C1定值 若是，请求出该定值 若不是，请 C 说2 明理由．
S S ? ;
19．（17 分）已知 a1,1 a1,2 ⋯ a1,m 是 个正整数组成的 行 列的数
a2,1 a2,2 ⋯ a2,m 2
Am = � �(m ≥ 2) m m m
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
表，当 am,1 am时,2，记⋯ am,m 设 ，若
∗
满足如1下≤两i个<性s ≤质m：,1 ≤ j < t ≤ m d(ai,j,as,t) = |ai,j −as,j|+|as,j −as,t|. n ∈ N Am
；
①ai,j ∈ {1,2,3;⋯,n}(i = 1,2,⋯,m;j = 1,2,⋯,m)
对任意 ，存在 使得 ，则称 为 数表．
② k ∈ {1,2,3,⋯,n} i ∈ {1,2,⋯,m},j ∈ {1,2,⋯,m} ai,j = k Am Γn
判断 是否为 数表，并求 的值；
1 2 3
(1) A3 = �2 3 1� Γ3 d�a1,1,a2,2�+d�a2,2,a3,3�
若 数表 满足 ，求 中各数之和的最小值；
3 1 2
(2) Γ2 A4 d�ai,j,ai+1,j+1� = 1(i = 1,2,3;j = 1,2,3) A4
证明：对任意 数表 ，存在 ，使得 ．
(3) Γ4 A10 1 ≤ i < s ≤ 10,1 ≤ j < t ≤ 10 d�ai,j,as,t� = 0
数学试题 • 第 4 页（共 4 页）
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