文档内容
2023~2024 学年度第二学期高三期初试卷
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效。
3．本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则75%分位数是
（ ）
A．18 B．20 C．21 D．22
2．已知复数 满足 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．在 中， ，且 的面积为 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
4．已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．已知平面内的向量 在向量 上的投影向量为 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．等差数列 的首项为1，公差不为0．若 成等比数列，则 的前5项的和为（ ）
A． B． C．5 D．257．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
8．已知过坐标原点 且异于坐标轴的直线交椭圆 于 两点， 为 中点，过
作 轴垂线，垂足为 ，直线 交椭圆于另一点 ，直线 的斜率分别为 ，若 ，
则粗圆离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知 ，下列命题正确的是（ ）
A．命题“ ”的否定是“ ，使得 成立”
B．若命题“ 恒成立”为真命题，则
C．“ ”是“方程 有实数解”的充分不必要条件
D．若命题“ ”为真命题，则
10．正方体 的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定一个四面体，所有这些四面体构成集
合 ，则（ ）
A． 中元素的个数为58
B． 中每个四面体的体积值构成集合 ，则 中的元素个数为2
C． 中每个四面体的外接球构成集合 ，则 中只有1个元素
D． 中不存在四个表面都是直角三角形的四面体
11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）A． 是 的一个周期
B． 的最小值是
C．存在唯一实数 ，使得 是偶函数
D． 在 上有3个极大值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．与圆 和圆 都相切的直线方程是______．
13．已知 是圆锥 的底面直径， 是底面圆周上的一点， ，则二面角
的余弦值为______．
14．如果函数 在区间 上为增函数，则记为 ，函数 在区间 上为减函数，则记
为 ．已知 ，则实数 的最小值为______；函数 ，且
，则实数 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在如图所示的圆台中， 是下底面圆 的直径， 是上底面圆 的直径， ，
为圆 的内接正三角形．
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．16．（15分）
为了释放学生压力，某校进行了一个投篮游戏．甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛每人各投一次为一轮．
每人投一次篮，两人中只有1人命中，命中者得1分，未命中者得 分；两人都命中或都未命中，两人均得
0分．设甲每次投篮命中的概率为 ，乙每次投篮命中的概率为 ，且各次投篮结果互不影响．
（1）经过1轮投篮，记甲的得分为 ，求 的分布列及数学期望；
（2）用 表示经过第 轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，求 ．
17．（15分）
已知函数 ．
（1）判断函数 在区间 上极值点和零点的个数，并给出证明；
（2）若 恒成立，求实数 ．
18．（17分）
已知双曲线 的两条渐近线分别为 上一点 到 的距离之积为
．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设双曲线 的左、右两个顶点分别为 为直线 上的动点，且 不在 轴上，直线 与
的另一个交点为 ，直线 与 的另一个交点为 ，直线 与 轴的交点为 ，直线 与 的交
点为 ，证明 ．
19．（17分）
对 于 数 列 ， 记 ， 称 数 列 为 数 列 的 一 阶 差 分 数 列 ； 记
，称数列 为数列 的二阶差分数列，…，一般地，对于 ，记
，规定： ，称 为数列 的 阶差分数列．对于数列 ，如果 （ 为常数），则称数列 为 阶等差数列．
（1）数列 是否为 阶等差数列，如果是，求 值，如果不是，请说明为什么？
（2）请用 表示 ，并归纳出表示 的正确结论（不要求证明）；
（3）请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列 为 阶等差数列，则其前 项和为
；
（4）某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，
第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的
“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？高三数学期初考试评分标准
一、选择题
题 答案 出处 考查知识 能力素养
号
1 B 课本题改编 百分位数 运算求解
2 C 课本题改编 复数模的运算及性质 运算求解
3 B 课本题改编 余弦定理，面积公式 运算求解
4 D 复习题改编 排列组合 分类讨论思想，数学抽象
5 A 复习题改编 投影向量，向量的模 运算求解
6 A 复习题改编 等差、等比数列基本量运算 运算求解
7 A 复习题改编 两角和与差的正余弦公式 转化思想，运算求解
8 D 原创 椭圆第三定义，离心率 转化思想，运算求解
二、选择题（有错误答案，该题得0分，如果有两个答案，该题分值为3分和6分；如果有三
个答案，该题分值为2分、4分、6分）
题号 答案 出处 考查知识 能力素养
9 BCD 高一试卷 逻辑，恒成立有解问题 逻辑推理
10 ABC 期末零模 立体几何 空间想象，分类讨论
11 ACD 原创 三角函数图象与性质 数形结合，分类讨论
三、填空题
题
答案 出处 考查知识 能力素养
号
12 复习题 公切线，两圆位置关系 转化思想，数形结合
13 期末零模 二面角 空间想象，数学转化
14 第一空2，第二空3 原创 新定义的理解，函数单调性 数学转化
四、解答题
15．（13分）
证明：（1）记 与 交于点 ，连接 ，
因为 是下底面圆 的直径，且 为圆 的内接正三角形，
所以 垂直平分 ，则 ，
中， ．
因为 ，则 ，
所以 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 ．
（2）【法一】由（1）知， ，则 面 ，又 ，
分别以 为 轴建立如图所示空间直角坐标系：
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，则 ．
记直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【法二】因为 平面 ，
由（1） 是正三角形且边长为 ，
所以 ．
在 中， ，
在 中， ，，取 中点 则
所以 ．
设点 到平面 距离为
设直线 与平面 所成角为 ，则 ．
【法三】因为 平面 平面 ，所以 ．
过 作 交 于 ，连结 ，如图
因为 ，
平面 ，则 平面 ，
在 中，作 ，
因为 ，
平面 ，所以 平面 ，在 中， ，则 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ．
（注意：一、下列情况之一，本题得0分：图中没有辅助线；法一图中没有建立坐标系，有坐标轴，但对应
轴字母没有表明．二、用综合法，逻辑段主要条件缺少的，该逻辑段不得分，非主要条件缺少的，少一个扣
0.5分，扣满15分为止）
【说明】本题改编于期末零模．考查平面几何、解三角形应用；考查线面位置关系判断；考查空间想象能力、
逻辑推理能力、运算能力、叙述表达能力．
16．（15分）
解：（1） 的可能取值为 ．
； ；
．
所以 的分布列为：
0 1
则 的数学期望为 ．
（2）设每轮比赛甲乙得分分别为 ，则 ，
如果经过两轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，则 ，
代入 ，即 ，
而 的可能取值为 ．
所以 ，或者 ．
此时有二种情况：一是甲两轮都得1分；二是两轮中有一轮甲得1分而另一轮甲得0分．所以 ．
如果经过三轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，同理有得 ，
同理 有四种情况： ．
所以 ．
【说明】本题源于专题复习资源改编．考查独立事件的概率，考查分布列和数学期望，考查分类讨论思想；
考查仔细、细致冷静的心理应试素养．
17．（15分）
解：（1）令 ，
因为 ，所以 ，则 ．
所以 在 上单调递减．
，且 和 在 上连续，
由零点存在定理： ，使 ．
所以 时， 在 单调递增；
时， 在 单调递减，
所以 在 上只有一个极值点，且为极大值点．
因为 时， ，则 时， 无零点．
又因为 ，且 ，因为 在 单调递减，则存在唯一零点 ，使 ．
所以 在 上只有一个零点，只有有一个极大值点．
（2）令 ，
由 恒成立，得 ．
因为 图象在定义域上连续不间断，
只需 是 的一个极大值点．
因为 ，则 ，解得 ．
下证：当 时， 恒成立．
因为 ．
（1）当 时， 在 上单调递增，
所以 ．
（2）当 时，
令 ，
则 在 单调递减，
则 ．又因为
所以当 时，
综上，当 时， 恒成立．
【说明】本题改编．考查函数的单调性、最值、极值、零点；考查导数的应用；考查恒成立题型解决方法；
考查运算能力、叙述表达能力、分析思维能力、转化能力；考查思维的方法途径策略；考查应试方法．18．（17分）
（1）因为 在 上，则 ①．
因为 的方程分别为 ．
到 的距离之积为 ，则 ，
化简得： ②，
由①②解得 ，
所以双曲线 的方程为 ③．
（2）因为 ，设
则 ，
所以 ④，
因为 ，
且 在双曲线上，则 ，代入上式得： ，
把④代入上式得： ⑤．
设直线 ，代入①得：
，则： ⑥， ⑦，
由⑤得： ，即： ，
把⑥⑦代入上式得： ，因为 ，所以 ，
则 ．
则 ，所以 点坐标为 ．
不妨设 ，显然 ，
因 ，同理 ，
令 ，则 ，
同理： ，
要证明 ，只需证明： ，
即证明： ，
将 和⑥⑦代入上式显然成立，所以 ．
19．解：（1）因为 ，
而 ，
所以 ，数列 是二阶等差数列．
（2）因为数列 为 阶等差数列，则 ，
则 ，
则 ，
，．
归纳得一般结论： ①．
（3）设数列： ，因为 ，
所以数列 为 阶等差数列，
由（2）中①得： ，因为
所以 ．
（4）由（1）知数列 为二阶等差数列，
且 ，
则由（3）得：
②．
（注意：如果没有证明上面结论，此处扣2分．证明方法不限）
设共堆积了 层，第 层共有 个球，第1层有1个球，因为每层的“边”比上一层多1个球，所以第 层
的“边”共有 个球，则第 层的球数为 ．
则这 层所有球的个数为 ．
【法一】由②式得：
．
解得： ．
答：这位同学共堆积了22层．（注意：答案正确，但没有“答”扣1分，下同）
【法二】
．
解得： ．
答：这位同学共堆积了22层．
【说明】本题原创．考查等差数列定义、通项、求和以及组合数性质；考查阅读理解能力、字母符号识别理
解能力、归纳能力、转化能力、运算能力；考查后继学习能力．命题意图：探索从解题到解“问题”的方法
途径；考查应试策略．
