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2024 届高三年级第二学期期初测试
数 学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。共4页，总分150分，考试时间120
分钟。
第I卷(选择题共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1． 已知集合A＝{x∈R|x2－2x－3＜0}，集合B＝{x∈R|log (x＋2)＜1}，则A∩B＝
2
A.(－3,2) B.(－2,3) C.(－2,0) D.(－1,0)
2． 已知复数z满足(1－i)z＝3－i，则复数| |＝
A.2 B. C.2 D.
3． 在∆ABC中，“A＝B”是“cos A＋sin A＝cos B＋sin B”的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4． 我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，在西方，最早提出
并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角
三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在 3,4,5,6,8,10,12,13这8个数中任取
3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为
A. B. C. D.
5． 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为 ，则该圆
台的体积为
A. B. C. D.
6． 若(2－x)10的展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，一次项系数为C，则A
＋B＋C＝
A.4095 B.4097 C.－4095 D.－4097
7． 已知正实数x，y满足x＋y＝1，则 的最大值为
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
8． 若x，x 是关于x的方程3sin2x－cos2x＝a在［0, ］内的两根，则tan(x＋x)的值为
1 2 1 2
A.－3 B.3 D.－ D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9． 已知向量a＝(1，－2)，b＝(1,3)，则下列结论正确的是
A.b在a上的投影向量是(1，－2) B.|2a＋b|＝|b|
C.a与b的夹角为 D.(a＋b)⊥a
10．以下四个命题表述正确的是
A.直线(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0(x∈R)恒过定点(－2,3)
B.圆x2＋y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x－y＋ ＝0的距离都等于1
C.曲线C ：x2＋y2＋2x＝0与曲线C ：x2＋y2－4x－8y＋m＝0恰有三条公切线，则m＝
1 2
4
D.若双曲线 ＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆x2＋y2－6x＝0截得的弦长为2
，则双曲线的离心率为
11．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f＇(x)，若满足xf(x)＋x2f(x)＝1，且
f(1)＝0，则下列说法正确的是
A.f(2)＞f(3) B.若f(x)＝f(x)，且x≠x，则x＋x＝2e
1 2 1 2 1 2
C.f(x)的最大值为 D.若xf(（x）≥eλ，则λ≤0
第II卷(非选择题共92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知等比数列{a}的公比为2，前n项和为S ，且7，a ，a 成等差数列，则S ＝ ▲
n n 2 6 6
.
13．为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了 100个苹果．经整理分
析后发现，苹果的重量x(单位：kg)近似服从正态分布N(0.4，σ2)，已知P(x＜0.1)＝
学科网（北京）股份有限公司0.1，P(x＞0.5)＝0.3．若从该苹果园中随机采摘 1 个苹果，则该苹果的重量在
(0.5,0.7］内的概率为 ▲ .
14．在正三棱锥A－BCD中，底面∆BCD的边长为4，E为AD的中点，AB⊥CE，则以AD
为直径的球截该棱锥各面所得交线长为 ▲ .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)
在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos A＝ .
(1)求 的值；
(2)若a＝2 ，∆ABC的面积为 ，求b的值．
16．(15分)
篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动.
喜爱篮球运动 不喜爱篮球运动 合计
男性 60 40 100
女性 20 80 100
80
合计 120 200
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各 100名观众进行调
查，得到如上2×2列联表，判断是否有99.9％ 把握认为喜爱篮球运动与性别有关；
(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第 1次由甲将球传出，每次传
球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定
每次传球都能被接到，记开始传球的人为第 1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为
P，即P＝1．
n 1
①求P(直接写出结果即可)；
3
②证明：数列{P－ }为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小．
n
P 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
x 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
0
附：χ2＝ ,n＝a＋b＋c＋d.
学科网（北京）股份有限公司17．(15分)
已知函数f(x)＝xex－kx2，k∈R.
(1)当k＝0时，求函数f(x)在［－2,2］上的值域；
(2)若函数f(x)在(0,＋∞)上仅有两个零点，求实数k的取值范围．
18．(17分)
已知矩形ABCD中，点E在边CD上，且AD＝DE＝2CE＝ ．现将∆ADE沿AE向上
翻折，使点D到点P的位置，构成如图所示的四棱锥P－ABCE.
(1)若点F在线段AP上，且EF//平面PBC，求 的值；
(2)若PB＝ ，求锐二面角P－EC－A的余弦值.
19．(17分)
在平面直角坐标系xOy中，若在曲线E 的方程F(x，y)＝0中，以(λx，λy)(λ为非零的
1
正实数)代替(x，y)得到曲线E 的方程F(λx，λy)＝0，则称曲线E 、E 关于原点“伸缩”，
2 1 2
变换(x，y)→(λx，λy)称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.
(1)已知曲线E 的方程为 ＝1，伸缩比λ＝ ，求E 关于原点“伸缩变换”后
1 1
所得曲线E 的方程；
2
(2)射线l的方程y＝ x(x≥0)，如果椭圆E ： ＝1经“伸缩变换”后得到椭
1
学科网（北京）股份有限公司圆E，若射线l与椭圆E、E 分别交于两点A、B，且|AB|＝ ，求椭圆E 的方程；
2 1 2 2
(3)对抛物线E ：x2＝2py，作变换(x，y)→(λx，λy)，得抛物线E ：x2＝2py；对E
1 1 1 1 2 2 2
作变换(x，y)→(λx，λy)，得抛物线E ：x3＝2py；如此进行下去，对抛物线E ：x2＝2py
2 2 3 3 n n
作变换(x，y)→(λx，λy)， 得抛物线E ：x2＝2p y，…．若p ＝1，λ ＝2n，求数列
n n n＋1 n＋1 1 n
{p}的通项公式p.
n n
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