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河北省 2024 届高三年级大数据应用调研联合测评（Ⅷ）
数学
班级__________姓名__________
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1.已知复数 （ 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.抛物线 过点 ，则其准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知集合 ，则
（ ）
A. B.
C. D.
4.在 中， ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A.-9 B. C.9 D.18
5.设 ，若函数 是偶函数，则 （ ）
A. B. C.2 D.3
6.在正三棱锥 中， 分别是 的中点， ，则三棱锥 的体
积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过 向圆 引切线交椭圆
于点 为坐标原点，若 ，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 有两个零点 ，且 ，则下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知函数 的图象向左平移 个单位后得到 的图象，则下列结论正确的是（
学科网（北京）股份有限公司）
A.
B. 的图象关于 对称
C. 的图象关于 对称
D. 在 上单调递增
10.已知 ，动点 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A.点 的轨迹围成的图形面积为
B. 的最小值为
C. 是 的任意两个位置点，则
D.过点 的直线与点 的轨迹交于点 ，则 的最小值为
11.已知数列 是公差为 的等差数列，若它的前 项的和 ，则下列结论正确
的是（ ）
A.若 ，使 的最大 的值为
B. 是 的最小值
C.
D.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题第一空2分，第二空3分）
12.已知 ，则 __________.
13.已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 且 ，则数列 的公
比为__________.
学科网（北京）股份有限公司14.一个1，两个2，三个3组成一个六位数，则相同数字不相邻的个数为__________.相同数字不相邻的概
率为__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）某公司招聘大学生的笔试测试题有一道6分的不定项选择题，共有A､B､ 三个选
项，该不定项选择题正确答案最少一个选项，最多三个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，即若
有三个选项正确，某同学选择了两个正确选项，可得4分，选择一个正确选项可得2分，有选错的得0分，
若有两个正确选项，选择一个正确选项可得3分，有选错的得0分.某同学三个选项均不会做，只能靠运气
猜，每个选项选与不选的概率均占 .已知该同学对该题选择了若干个答案，不会不选.
（1）求该同学对该题选择两个答案的概率；
（2）若该题正确答案是 ，求该同学得分 的分布列和数学期望.
16.（本小题满分15分）在棱长均相等的正三棱柱 中， 是 的中点， 是 的三等
分点，且 .
（1）在棱 上找一点 ，使 平面 ；
（2）在（1）的条件下，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17.（本小题满分15分）如图，在平面四边形 中， ，设
.
（1）若 ，求 的长；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求 .
18.（本小题满分17分）已知圆 ，过 的直线与圆 交于 两点，过
作 的平行线交直线 于 点.
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）过 作两条互相垂直的直线 交曲线 于 交曲线 于 ，连接弦 的中点和
的中点交曲线 于 ，若 ，求 的斜率.
19.（本小题满分17分）过点 可以作曲线 的两条切线，切点为 .
（1）证明： ；
（2）设线段 中点坐标为 ，证明： .
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