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数学
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若复数 满足 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.2
3.圆 被直线 所截线段的长度为（ ）
A.2 B.4 C. D.
4.某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有
植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡.假如不加控制，它的总
数量每经过一年就增长一倍.则该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要（ ）（参考数据：
）
A.40年 B.30年 C.20年 D.10年
5.已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
6.在二项式 的展开式中，记各项的系数和为 ，则 被5除所得的余数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
7.在 中， 为线段 的中点，过 的直线分别与线段 交于 ，且
，则 （ ）
A. B. C. D.
8.将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为 ，则 的概率为（ ）A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分.
9.已知函数 ，则（ ）
A. 最小正周期为
B. 是 图象的一条对称轴
C. 是 图象的一个对称中心
D. 在 上单调
10.已知正实数 满足 （ 是自然对数的底数， ），则（ ）
A. B.
C. 的最大值为 D.方程 无实数解
11.如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体 ）放置在水平面 的上方，
点 恰在平面 内，点 到平面 的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面 的交线与
的夹角为0，记水面到平面 的距离为 ，则（ ）
A.平面 平面
B.点 到平面 的距离为8
C.当 时，水面的形状是四边形D.当 时，所装的水的体积为
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在 中，内角 的对边分别是 .若 ，则 __________.
13.已知双曲线 的左､右焦点分别是 ，若双曲线左支上存在点 ，使得
，则该双曲线离心率的最大值为__________.
14.对于有穷数列 ，从数列 中选取第 项､第 项､ ､第 项 ，顺次排列构成数
列 ，其中 ，则称新数列 为 的一个子列，称 各项之和为 的一个子
列和.规定：数列 的任意一项都是 的子列.则数列 的所有子列和的和为__________.
四､解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知各项均为正数的数列 前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： .
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥 中，底面 是等腰梯形， ，点 在 上，
点 在 上，平面 平面 .
（1）求证： 是 的中点；（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
扬州是国家历史文化名城，“烟花三月下扬州”“春风十里扬州路”传诵千年.为了给来扬州的客人提供最
好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App平台10天预订票销售情况：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
销售量 （万
1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 0.5
张）
经计算可得： .
（1）因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数
据，求 关于 的线性回归方程（结果中的数值用分数表示）；
（2）该景点推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中 张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品），
的分布列如下：
2 3 4
今从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票，求该份团体票中共有3张有奖门票的概率.
附：对于一组数据 ，其回归线 的斜率和截距的最小二乘估计分别
为：
18.（本小题满分17分）
已知函数 .
（1）求函数 的极值；
（2）函数 .
（i）讨论函数 的单调性；
（ii）函数 ，求实数 的取值范围.
19.（本小题满分17分）己知椭圆 短轴长为2，椭圆 上一点 到 距离的最大值为3.
（1）求 的取值范围；
（2）当椭圆 的离心率达到最大时，过原点 斜率为 的直线 与 交于 两点， 分
别与椭圆 的另一个交点为 .
（i）是否存在实数 ，使得 的斜率 等于 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由；
（ii）记 与 交于点 ，求线段 长度的取值范围.
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数学参考答案
1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.D 7.B 8.D
9.BC 10.ACD 11.ABD
12. 13.3 14.2016
15.【解析】（1）因为 ①，所以 ②， ③，
由③得： ，所以 ，
②-①得： ，整理得： ，又因为 各项均为正数，所以 ，
所以 是公差 的等差数列， .
（2）证明：由（1）， ，
所以 ，
所以 .
16.【解析】
（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 .所以 ，
又由梯形 可得 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，所以 是 的中点.
（2）连接 ，由（1）知 是 的中点， ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 与 全等，
所以 ，即 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
以 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系 ，则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，则 ，于是 ，
由平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 .
得 ，又 是 的中点，所以 是 的中点， .
设直线 与平面 所成角为 ，
所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
17.【解析】（1）设 关于 的线性回归方程： ，
则 ，
，
所以 ，
所以 关于 的线性回归方程是 .
（2）记“从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票”为事件A，“该份团体票中共有 张有奖门票”为事件 ，则 ，
，所以 ，
，所以
.
所以 .
答：所求概率是 .
18.【解析】（1）函数 ，导函数 ，
令 或
+ 0 - 0 +
极大 极小
由上表，函数 极大值为 ，极小值为
（2）（i）
记 ，
则
时， ，所以 时， ，所以 ，所以 是 上的增函数.
（ii）
当 时， 恒成立；
当 时，
令
当 时，令 在 单调递增，
即
因为 ，所以 ，不满足题意，
所以 不成立.
时，
记
由（i）知 时， ，
所以
，
所以 .所以 成立.
综上所述： .19.【解析】（1）设 ，由题知， ，即 ，
则 ，即 记
，
则 在 上的最大值为9，对称轴为
①当 ，即 时， ，成立；
②当 ，即 时，
，当且仅当
，即 时等号成立，不成立；
综上， .
（2）由（1）得， ，所以当 时，离心率达到最大，此时，椭圆
（i）设 ，则 ，其中 即 ，
由 得：
即 ，所以 ，所以 ，同理可得：
所以， 的斜率
（ii）由（i）知，
由 .， ，即 ，将 代入椭圆方程得： ，
所以， 的轨迹方程为 ，
所以，线段 长度的取值范围为 .
