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一模答案：
当 时， ， ，
1.B 2.B. 3．B 4.D 5．A 6．A. 7．C 8．D 9．ACD 10.AC
11.BCD因为 .
此时 ，函数 在 上单调递减，
对于B，因为 ，
所以当 时， ，
令 ，可得 ，其图象开口向上，对称轴为 ，
又因为 ，则 ，
可知 在 内单调递增，且 在 内单调递增，
所以 在 上是单调函数，故B正确；
则函数 的值域为 ，故D正确.故选：BCD.
对于D，因为
12. 13．
14．设粒子运动到 (其中 表示横坐标，纵坐标一样时的粒子坐标)时所用的时间
，
所以函数 为周期函数，且 是函数 的一个周期，
分别为 ，则
只需求出函数 在 上的值域，即为函数 在 上的值域，
由 ，
相加得 ,所以 ，
则 ，
又 ，故运动1980秒时它到点 ，
又由运动规律知 中,奇数点处向下运动，偶数点处向左运动.
当 时， ，故 ，
故到达 时向左运动39秒到达 ，即运动2019秒时,这个粒子所处的位置的坐
此时 ，函数 在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司又因为折叠前后均有 ， ，所以
标.故答案为 .
平面 .----------3分
15．（1）若选择①②，
（2）由（1）知 平面 ，所以二面角
由 可知， 或 ，因此 或 ，
的平面角为 .---4分
结合 可知，选择①②时， 不存在；----------1分 又 平面 ， 平面 ，所以 .
若选择②③ 依题意 .因为 ，所以 .----------5分
由 利用正弦定理可得 ，
设 ，则 .
又 ，可得 ，显然不成立，--------1分-
依题意 ，所以 ，即 .
即选择②③， 也不存在-----------------3分
若选择①③，利用正弦定理可得 ，即 ，
解得 ，故 ， ， .----------8分
又 ，可得 ，此时 存在；------------5分
（3）法1：如图所示，建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ，
所以可得 ；--7分（若直接选择了1,3，直接到7
， ，所以 ， .
分）
由（1）知平面 的法向量 .------------10分
（2）由 可得 ，
设平面 的法向量
由 可得 ；------------10分
由 得
所以 的面积为 .-----------13分
令 ，得 ， ，所以 .------12分
16．（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ，
又 ，所以 平面 .---------1分
所以 .所以二面角 的余弦值为 .—---------15分
因为 平面 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司法2：因为 平面 ，过点 作 交 于 ，则 平面 .
所以 ，则 ，则 ，-----11分
因为 平面 ，所以 .
过点 作 于 ，连接 ，所以 平面 ，因
由 ，得 ，----13分
此 .
所以二面角 的平面角为 .---------12分
所以 ，则 ，又因为直线 交两支两点，故直线 的斜率 ，所以
由平面几何知识求得 ， ，
所以 .所以 .
.------15分
所以二面角 的余弦值为 .------------15分
18（1）由题意得，将五进制数 转化为十进制数为 ，
17．（1）设等轴双曲线 的方程为 ，其渐近线方程为 ，
∵ ，∴ ，
故 ，解得 ，所以双曲线E的方程为 .-------3分
∴五进制数 转化成三进制数为 ------------2分
（2）由题意，过点 的直线 斜率存在且不为0，可设其方程为 ， （2）①若 ，则 位的二进制数有 ， ，
设 ，由 ，得 ，-------4分
， ， ， ， ， ，共 个，从 个数中任选2个，共有
联立 ，整理得 ，
种情况.--------3分
∵ ，∴ 的所有可能取值为 .-------4分
由韦达定理得： ， ，-----------6分
当 时，若选择 ，可以从 ， ， 中任选1个，共有3种情况,
联立解得 ，经验证均满足题意，所以直线 的斜率为 .--------8分
若选择 ，可以从 ， ， 中任选1个，共有3种情况,
（3）点 在第三象限，如图所示，故直线 的斜率是正数，
由 ，得 ，---------9分 若选择 ，可以从 ， 中任选1个，共有2种情况,
学科网（北京）股份有限公司若选择 ，可以从 ， 中任选1个，共有2种情况,
由于 ，故共有 种情况，---------12分
若选择 ，可以从 ， 中任选1个，共有2种情况，
∴ ，--------13分
共有 种情况，故 .------6分
当 时， 和 ， 和 ， 和 ， 和 满足要求， ∴随机变量 的分布列为
1 2 3
共有4种情况，故 ，-------7分
∴ ，--------8分
∵ ，---14分
∴随机变量 的分布列为
1 2 3
∴
，∴ .---------17分
∴ .-----------9分
19．(1)解：法一：由 ，且 化简得 ，即
②∵ 位二进制数 的 ，
，
根据二进制数中0的个数可得， 位二进制数一共有 个，--10分
令 ，可知 在 上单调递增，------1分
∵ ，∴ 的可能取值为 .
则 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
当 时，二进制数 ， 有 位取值不同，有
令 ，显然 在 上单调递减，
位取值相同，
除去 ，从剩余的 位中选择 位，二进制数 ， 在这 位
所以 ，即 ，故实数 的取值范围为 .--------3分
上数字不同，其余 位，两者均在同一位置数字相同，
法二：由拉格朗日中值定理可知， ，使得 ，
学科网（北京）股份有限公司故问题转化为 恒成立.--------1分 有2个根.---------10分
又 ，则 恒成立，即 恒成立， 令 ，
因为 ， 所以 在 上单调递增，且 ，即方程 有2个根，------11分
故令 ，显然 在 上单调递减， 且这两根即为方程 的根，
所以 ，所以 ，故实数 的取值范围为 .-----3分
所以 ，则 ，则由 ，得
（ii）证明：要证 ，即证 ，
，
即证 ，---------4分
所以 ，则 ，
又 ，
要证 ，即证 ，---------13分
由拉格朗日中值定理可知，存在 ，
又 ，令 ，
，--------5分
令 ，
.--------6分
又 ，所以 ，故 在 上单调递增，
由题意知 ，当 时， 在 上单调递增，
所以 ，
则 ，故 ，
所以 ，故 在 上单调递减，所以 ，-----16分
即 ，所以命题得证.-----9分
即 ，
（2）函数 有两个零点，即方程 有两个根，即方程
即 ，所以不等式得证.------17分
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