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2022—2023 衡水中学下学期高三年级一调考试
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考
试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
A={x∈Ν|−2<x≤1} B=¿ ¿ A∩B=
1．设集合 ， ，则
{−1,0,1} {0,1} {−1,1} {−1}
A． B． C． D．
|z−5|=|z−1|=|z+i| |z|=
2．已知复数z满足 ，则
√10 √13 3√2
A． B． C． D．5
(π )
α∈ ,π
3．已知
2
，且
3cos2α−sinα=2
，则
2 √2
cos(π−α)= tan(π−α)=
3 4
A． B．
(π ) √5 (π ) √5
sin −α = cos −α =
2 3 2 4
C． D．
4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，
他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差
成等差数列．现有一高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该
数列的第100项为
A．4 923 B．4 933 C．4 941 D．4 951
5．已知抛物线 C: y2 =2x 的焦点为F，点M 在 C 上，点 N 在准线 l 上，满足 MN//OF
O |NF|=|MN| ΔMNF
( 为坐标原点）， ，则 的面积为
学科网（北京）股份有限公司5√3 3√3
√3 2√3
A． B． 4 C． 2 D．
6．碳达峰，是指在某一个时点，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；碳中
和，是指企业、团体或个人测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通
过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零
排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值。亿吨后开始下降，其二氧化碳的排放量 S
（单位：亿吨）与时间基（单位：年）满足函数关系式
S=abt
，已知经过5年，该地
4a
5
区二氧化碳的排放量为 亿吨．若该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自
a
4
身产生的二氧化碳排放量为 亿吨，则该地区要实现“碳中和”至少需要经过(lg
2≈0.3)
A．28年 B．29年 C．30年 D．31年
7．从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数，这两个数一个比m大，一个比m小的概
5
(m∈
率为
14 Ν∗)
. 已知m为上述数据中的x%分位数，则x的取值可能为
A．50 B．60 C．70 D．80
x f(x)=x+1−ln(x+2) x g(x)=x2 −2ax+4a+4
8．已知 1是函数 的零点， 2是函数 的
|x −x |≤1
零点，且满足 1 2 ，则实数a的最小值是
A．−1 B．−2 C． 2−2√2 D． 1−√2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
a=(1,0) b=(1,2√3)
9．已知向量 ， ，则
学科网（北京）股份有限公司|a+b|=4
A．
(a+b)⋅a=2
B．
π
C．向量 a+b 与a的夹角为 6
D．向量 a+b 在向量a上的投影向量为 2a
f(x)=Acos(2x+ϕ)−1(A>0,0<ϕ<π) y=|f (x)|
10．已知函数 ，若函数 的部分图象
g(x)=Asin(Ax−ϕ)
如图所示，则关于函数 ，下列结论正确的是
π
x=
g(x) 12
A． 的图象关于直线 对称
(π )
,0
g(x) 3
B． 的图象关于点 对称
[ π] [ π ]
0, 0,
g(x) 2 12
C． 在区间 上的单调递减区间为
π
g(x) y=f (x)+1 6
D． 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到
11．已知
A，B
分别为圆
C
1
:x2 +y2 −2x+8 y+16=0
与圆
C
2
:x2 +y2 −6x+5=0
上
的两个动点，P为直线 l:x−y+2=0 上的一点，则
|PA|+|PB| 3√10−3
A． 的最小值为
学科网（北京）股份有限公司|PA|+|PB| √13+√37−3
B． 的最小值为
|PA|−|PB| 2√5+3
C． 的最大值为
|PA|−|PB| −2√5−3
D． 的最小值为
12．已知正四面体 ABCD 的棱长为 2√2 ，其所有顶点均在球 O 的球面上．已知点E满足
⃗AE=λ⃗AB(0<λ<1)
，
C⃗F=μC⃗D(0<μ<1)
，过点E作平面α平行于 AC 和 BD ，
平面α 分别与该正四面体的棱 BC，CD，AD 相交于点 M，G，H ，则
EMGH
A．四边形 的周长是变化的
64
B．四棱锥
A−EMGH
体积的最大值为
81
1
λ=
C．当 4 时，平面α 截球 O 所得截面的周长为 √11π
1
λ=μ=
2 ABCD EF
D．当 时，将正四面体 绕 旋转90°后与原四面体的公共部分的
4
3
体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
∃x∈[1,3],x2 +ax+1>0
13．若命题“ ”是假命题，则实数a的最大值为 .
f (x) f (2−x)=f (x) f (x) [−1,0]
14．定义在R上的奇函数 满足 ，且 在区间 上是增函数，
给出下列三个命题：
f (x) f (x) [1,2] f (50)=2
① 的图象关于点(2，0)对称；② 在区间 上是减函数；③ 其
中所有真命题的序号是 ．
15．为检测出某病毒的感染者，医学上可采用“二分检测法”：假设待检测的总人数是
学科网（北京）股份有限公司2m （m∈Ν¿)
，将2m个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一次），如果检测结
果为阴性，可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将
这批人平均分为两组，每组2m-1人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次……
依此类推，每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组
再平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过检测来确
定）．若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4轮共7次检测后确定
了所有感染者，则感染者人数的所有可能值为 ；若待检测的总人数为
2m (m≥3)
，且假设其中有不超过2名感染者，采用“二分检测法”所需的检测总次
数记为n，则n的最大值为 .
x2 y2
16．已知椭圆
C:
4
+
3
=1
的左、右焦点分别为
F
1
，F
2，P为 C 上任意一点（异于左、
右顶点），点
(m,n)
为
ΔPF
1
F
2的内心，则m+n的最大值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
4 4a 1
已知数列
{a
n
}
的首项
a 1 = 5
，且满足
a n +1= a
n
+3 n
，设
b n = a
n
−1
.
{b }
(1)证明：数列 n 为等比数列；
1 1 1 1
+ + +⋯+ >140
a a a a
(2)若 1 2 3 n ，求满足条件的最小正整数n.
18．（12分）
5π
A=
记 ΔABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 6 ，D是边 BC 上的一点，
学科网（北京）股份有限公司sin∠BAD sin∠CAD 3
+ =
b c 2a
且 .
1
AD= a
3
(1)证明： ；
(2)若
CD=2BD
，求
cos∠ADC
.
19．(12分)
2022年全国羽毛球锦标赛于12月16日在厦门举办，受此鼓舞，由一名羽毛球专业运
动员甲组成的专业队，与羽毛球业余爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制
如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场，则专业队获胜；若甲连
续输两场，则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各
3
4
场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为 ；甲与丙比赛，
1 3
<p<
甲赢的概率为p，其中 2 4
.
(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请
分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：第一场业余队
应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金13万元，负
队获奖金3万元；若平局，两队各获奖金4万元，在比赛前，已知业余队采用了(1)中的最
优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望E(X)
的取值范围．
20．(12分)
如图，圆锥的高 PO=2 ，底面圆 O 的半径为R，延长直径 AB 到点 C ，使得
学科网（北京）股份有限公司BC=R
，分别过点
A,C
作底面圆
O
的切线，两切线相交于点
E,D
是切线
CE
与圆
O
的
切点．
(1)证明：平面
PDE⊥¿¿平面 POD
；
√105
(2)若直线 PE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 35 ，求点A到平面 PDE 的距离．
21．(12分)
x2 y2
已知双曲线 E: a 2 − b 2 =1(a>0,b>0) 的左焦点为 F(−2,0) ，点 M(3,√2) 是E上
的点．
(1)求E的方程；
(2)已知过坐标原点且斜率为 k(k>0) 的直线 l 交E于 A,B 两点，连接 FA 交E于另一
点 C ，连接 FB 交E于另一点D . 若直线 CD 经过点 N(0,−1) ，求直线 l 的斜率 k .
22．(12分)
f(x)=ex +xsinx+cosx−ax−2(a∈R)
已知函数 .
(1)若
a=2
，求曲线
y=f (x)
在点
(0,f(0))
处的切线方程；
f (x)≥0 x∈[0,+∞)
(2)若 对任意 恒成立，求a的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司数学参考答案
一、选择题
A={0,1}B=¿ ¿10 ¿=¿
1 ， B 【 解 析 】 由 题 意 得 ， 所 以
A∩B={0,1}
.
z=a+bi(a,b∈R) (a−5) 2 +
2 ． C 【 解 析 】 设 ， 由 题 意 得
b2 =(a−1) 2 +b2 =a2 +(b+1) 2
， 解 得
a=3
，
b=−3
， 所 以
|z|= √32 +(−3) 2 =3√2
.
1 1
sinα=− sinα=
3(1−2sin2α)−sina=2
2 3
3．B【解析】由题意得 ，解得 或 ．又
(π ) 1 2√2 sinα
α∈ ,π cosα=− √1−sin2α=− tanα =
2
， 所 以
sinα= 3
， 则 3 ，
cosα
学科网（北京）股份有限公司√2
−
4 ，
2√2
√2
cos(π−α)=−cosα=
3 tan(π−α)=
−tanα=
所以 ， 4 ，
sin (π −α ) =cosα=− 2√2 cos (π −α ) =sinα= 1
2 3 2 3
， ，故ACD错误、B正确．
{a } {a }
4．D【解析】设该高阶等差数列为 n ，则 n 的前7项分别为1，2，4，7，11，16，
b =a −a {b } {b }
22.令 n n+1 n，则数列 n 为1，2，3，4，5，6，…，所以数列 n 是首项为
b =n a −a =n
1 ， 公 差 为 1 的 等 差 数 列 ， 所 以 n ， 即 n+1 n ， 故
a =(a −a )+(a −a )+
100 100 99 99 98
99×(99+1)
+1=
(a −a )+⋯+(a −a )+a =(99+98+97.+⋯+1)+1= 2
98 97 2 1 1
4951
.
(1 ) 1
,0 x=−
5．A【解析】由题意得抛物线 C 的焦点F的坐标为 2 ，准线 l 的方程为 2 ，设
准线 l 与x轴的交点为E如图，由题知 MN⊥l . 由抛物线的定义知 |MN|=|MF| ．又
|NF|=|MN| ΔMNF MN//OF
， 所 以 是 等 边 三 角 形 ， 因 为 ， 所 以
∠EFN=∠MNF=
1
|NF| 2sin60°=√3
60° |NF|=2|EF|=2p=2 ΔMNF 2
，所以 ，所以 的面积为 .
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