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2024 届高三年级 TOP 二十名校猜题一
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.设集合 ，若 ，则 （ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.3
3.设角 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 轴非负半轴重合，则“
”是“ ”的（ ）
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
4.将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数图象关于 轴对称，则 的最小值
为（ ）
A. B. C. D.
5.在某电路上有 两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换 元件的概率为0.3，需要更换 元
件的概率为0.2，则在某次通电后 有且只有一个需要更换的条件下， 需要更换的概率是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6.已知椭圆 的左顶点､上顶点分别为 ，右焦点为 ，过 且与 轴垂直的
直线与直线 交于点 ，若直线 的斜率小于 为坐标原点，则直线 的斜率与直线 的
斜率的比值的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在圆锥 中，若轴截面为等边三角形 为底面圆周上一点，且 ，则直线
与直线 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知实数 满足 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.将正数 用科学记数法表示为 ，则把 分别叫做 的首数和尾数，分
别记为 ，下列说法正确的是（ ）
A.若 ，则
B.若 ，则
学科网（北京）股份有限公司C.若 ，则
D.若 ，则
10.已知 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为
2187，则下列说法正确的是（ ）
A.展开式中奇数项的二项式系数之和为64
B.展开式中存在常数项
C.展开式中含 项的系数为560
D.展开式中系数最大的项为
11.在平面直角坐标系 中，点 是拋物线 的焦点， 到 的准线 的距离为2，点
是 上的动点，过点 且与 相切的直线 与 轴交于点 是准线 上的一点，且 ，则下列
说法正确的是（ ）
A.
B.当点 的横坐标为2时，直线 的斜率为1
C.设 ，则 的最小值为
D. 成等差数列
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若向量 不共线，且 ，则 的值为__________.
13.若正数 满足 ，则 的最小值是__________.
14.记 是不小于 的最小整数，例如 ，则函数
的零点个数为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
学科网（北京）股份有限公司已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 ，求数列 的前 项和 .
16.（本小题满分15分）
在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小､形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸
箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量 为小张摸出白球的个数.
（1）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求 和 ；
（2）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求 的分布列.
17.（本小题满分15分）
如图，在正三棱杜 中， 为 的重心， 是棱 上的一点，且 平面 .
（1）证明： ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离.
18.（本小题满分17分）
动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是2，记动点 的轨迹为曲线 .
（1）求 的方程；
（2）过 的直线 与 交于 两点，且 ，若点 满足 ，证明：
点 在一条定直线上.
19.（本小题满分17分）
学科网（北京）股份有限公司已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时， ，数列 满足 ，且 ，证
明： .
2024 届高三年级 TOP 二十名校猜题一·数学
参考答案､提示及评分细则
1.B 因为复数 ，所以 对应的点为 ，位于第二象限.故选B.
2.C 由已知得，若 ，解得 ，此时 ，符合题意；若 ，解
得 -2，此时 ，不符合题意；若 ，解得 ，此时
，不符合题意.综上所述： .故选C.
3.C 当 （ ）时， ，所以 成立，所以“
学科网（北京）股份有限公司（ ）”是“ ”的充分条件；当 时，
，所以“ ”不是“ ”的必要条
件.故选C.
4.A 将函数 的图象向右平移 个单位长度得
，又 的图象关于 轴对称，所以
，解得 ，当 -1时， 取得最小值 .故选A.
5.A 记事件 为在某次通电后 有且只有一个需要更换，事件 为 需要更换，则
，由条件概率公式可得
.故选A.
6.D 由已知得，直线 的方程为 ，设椭圆的焦距为 ，由题意设点 ，则
，即 ，所以 ，又 ，所以
，即 .设直线 的斜率与直线 的斜率的比值为 ，则
，又 ，所以 .故选D
7.A 取 的中点为 ，连接 ，则 ，所以 为直线 与直线 所成的角或
学科网（北京）股份有限公司补角.取 的中点为 ，连接 ，因为 ， 为正三角形，所以 ，又
平面 ，所以 平面 .设 ，则 ，又
，所以 ，所以 ，所以
，即 ，又 ，所以 .故选A.
8.B 由 ，得 .令 ，易
得 在 上单调递增，又 ，所以 ，所以 ，所
以 .故选B.
9.AD 若 ，则
，所以
，故A正确；
若 ，则 ，
，所以 不成立，故B错误；
若 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司，所以 不成立，故C错误；若
，则 ，
，所以 ，所以D正确.故选AD.
10.ACD 由二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以 ，解得 ，又展开式
的各项系数之和为2187，即当 时， ，解得 .则二项式系数之和为 ，则
奇数项的二项式系数之和为 ，故A正确； 的展开式的通项
，令 ，解得 ，故展开式中不存在常数项，故B错
误；令 ，解得 ，所以展开式中含 项的系数为 ，故 正确；由
解得 ，又 ，所以 5，所以展开式中系数最大的项为
，故D正确.故选ACD.
11.BC 抛物线 化为标准方程为 ，因为 到 的准线 的距离为2，所以
，所以 ，故A错误；由 得， 的方程为 ，所以 ，所以直线 的斜
率 ，故B正确； ，当且仅当点 是线段
与 的交点时，等号成立，故C正确；
不妨设点 在第一象限，则点 ，所以 ，所以直线 的斜率 ，所以直线
学科网（北京）股份有限公司的方程为 ，化简可得， ，令 ，则 ，所以
，因为 ，所以 ，所以
，所以
，故D错误.故选BC.
12.1 因为 不共线，所以可设 为一组基向量，因为 ，所以 ，使得
，所以 ，所以 ，消去 ，得 .
13.4 因为 ，所以 ，因为 为正数，所以
，即 ，所以 ，当且仅当 ，即
时取等号，所以 的最小值是4.
14.3 令 ，则 ，令 ，则 与 的交点
个数即为 的零点个数.当 时， ，又
，所以 是周期为1的函数， 在 上单调递减，
且 ，所以可作出 与 的图象如图，
所以 与 有3个交点，故 的零点个数为3.
学科网（北京）股份有限公司15.解：（1）因为 ，
所以 ，所以数列 是公比为 的等比数列，
所以 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以 ，
相减得， ，
所以 .
16.解：（1）由已知得， ，
所以
.
（2）由已知得， 服从超几何分布，且 ，
所以 的分布列为
2 3 4
学科网（北京）股份有限公司17.（1）证明：连接 ，延长 交 于 ，连接 ，如图所示.
因为 为 的重心，所以 ，
因为 平面 平面 ，
平面 平面 ，
所以 ，
所以 .
（2）解：取 的中点为 ，连接 .
因为三棱柱 是正三棱柱，所以直线 两两垂直，
以 为坐标原点，直线 所在的直线分别为 轴建立空间坐标系，如图所示.
又 ，
则 ，
所以 .
设平面 的法向量 ，
所以 ，令 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以平面 的一个法向量 ，
所以 ，
即点 到平面 的距离为 .
18.（1）解：由题意知 ，所以 ，
所以 ，
化简得， 的方程为 .
（2）证明：依题意，设 ，
①当直线 的斜率为0时，不妨设 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，从而 ，
则 ，即 ，解得 ，即 .
②当直线 的斜率不为0时，设 的方程为 ，
由 消去 ，得 ，
则 且 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以
消去 ，得 ，
所以 ，
从而 ，
又 也在直线 上.
综上，点 在直线 上.
19.（1）解：由题意知 .
当 时，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递
增；
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）证明：当 时， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
因为 ，
要证 ，即证 ，
又 ，即证 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，且 ，
因为 ，
又 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 成立，证毕.
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