文档内容
2023—2024 学年第二学期浙江省 9+1 高中联盟 3 月高考模拟卷
数学
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答
题纸规定的位置上；
3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试
卷上的作答一律无效；
4．选择题一律使用 2B铅笔填涂答案，非选择题一律用 0.5毫米黑色字迹中性笔写在答题纸
上相应区域内；
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1．已知全集 ，则 （
）
A． B． C． D．
2．若复数 的实部大于0，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 是平面上两个不共线的单位向量，且 ，
则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
4．已知数列 满足： ，且数列 为等差数列，则 （ ）
A．10 B．40 C．100 D．103
5．如图，已知长方体 的体积为 是棱 的中点，平面 将长方体分割成两
部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）A． B． C． D．
6 ． 已 知 椭 圆 ， 直 线 与 交 于 两 点 ， 且
．则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混
双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（ ）
A．2025种 B．4050种 C．8100种 D．16200种
8．设函数 ．若实数 使得 对任意 恒成立，
则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
二、多项选择题（本题共 3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位
长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
10．高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有 4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全
部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是 ，记 为小明随机选择1个选项的得分，记 为小明随机选择2个选项的得分．则
A． B．
C． D．
11．对于 满足 ，且对于 ．恒有
．则（ ）
A． B． C． D ．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置
上）
12．已知 ．若 ，则
________．
13．应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以
很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中
心截口示意图）所示．其中，一个反射镜 弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜 弧所在的
曲线为双曲线一个分支．已知 是双曲线的两个焦点，其中 同时又是抛物线的焦点，且，
的面积为10， ，则抛物线方程为________．14．函数 的最小值是________．
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分13分）如图，已知正三棱柱 分别为棱 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值．
16．（本题满分15分）今年的《春节联欢晚会》上，魔术师刘谦表演的魔术《守岁共此时》精彩纷呈．节
目的第二部分是互动环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢
乐的气氛推向高潮．节目主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜．如果我们将 4张不同
数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．
（1）将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张，求翻开的两个半张的数
字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率；
（2）将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个
数记为 ，求 的分布列及数学期望．
17 ． （ 本 题 满 分 15 分 ） 如 图 ， 由 部 分 椭 圆 和 部 分 双 曲 线
，组成的曲线 称为“盆开线”．曲线 与 轴有 两个交点，且
椭圆与双曲线的离心率之积为 ．（1）设过点 的直线 与 相切于点 ，求点 的坐标及直线 的方程；
（2）过 的直线 与 相交于点 三点，求证： ．
18．（本题满分17分）已知函数 ．
（1）如果1和 是 的两个极值点，且 的极大值为3，求 的极小值；
（2）当 时，讨论 的单调性；
（3）当 时，且函数 在区间 上最大值为2，最小值为 ．求 的值．
19 ． （ 本 题 满 分 17 分 ） 已 知 实 数 ， 定 义 数 列 如 下 ： 如 果
， ，则 ．
（1）求 和 （用 表示）；
（2）令 ，证明： ；
（3）若 ，证明：对于任意正整数 ，存在正整数 ，使得 ．2023-2024 学年第二学期浙江省 9+1 高中联盟 3 月高考模拟卷
数学参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．）
1．【答案】C
【解析】因为集合 ．
2．【答案】D
【 解 析 】 令 ， 代 入 ， 得 ． 解 得 ：
．
3．【答案】C
【解析】因为 ，所以 三点共
线．
4．【答案】D
【解析】设数列 的公差为 ，则 ，所以 ．
5．【答案】A
【解析】设长方体的长、宽、高分别为 ，易知平面 与 交于中点
．
6．【答案】B
【解析】设 ，记 ，由题意可知， 中点 是直线 与直线
的交点，即 ．另一方面，联立 ，得 ．
由韦达定理得： ，解得 ，故离心率 ．7．【答案】B
【解析】先填考虑两对混双的组合有 种不同的方法，余下4名男选手和4名女选手各有3种不同
的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，故共有 ．
8．【答案】C
【解析】由条件可知： 对任意的 恒成立，
．
．
，由 知 或 ．
若 时，则由 知 ，这与 矛盾！
若 ，则 （舍去）， ，解得 ，所以， ．
二、多项选择题（本题共 3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．【答案】AD
【解析】 ，故答案A正确，B错误；
又由 ，故答案C错误，正确．
10．【答案】BC
【解析】 的分布列
0 2
由此可得
的分布列
0 2 6由此可得 ．
从而可知，BC正确．
11．【答案】ABD
【解析】令 代入 及 ，得 ，所
以 ， 令 代 入 ， 得
，答案 A 正确；由 ，得 ，进而得，
，所以，
BD正确，C错误．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置
上）
12．【答案】38
【解析】由题设可得 ．
13．【答案】
【解析】不妨设 ．由 ，所以，
，又 ．即 ，故抛物线方程为
．
14．【答案】3
【解析】 ，令 ，显然 在上单调增 ，存在 ，
使 ，且 ，故当 时， ，即
，所以 在区间 单调减，当 时， ，即 ，所以
在区间 单调增，所以 ．
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤．）
15．【解】取 中点 ，由正三棱柱性质得， 互相垂直，以 为原点，分别以
， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不 妨 设 ， 则 ， 则
．
（1）证明： ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
因为 平面 ，所以 平面 ．
（2）由（1）可知 为平面 的一个法向量，设 平面 的法向量，则 ，
令 ，得面 的一个法向量为 ，
设二面角 的值为 ，
则 ，所以，二面角 的正弦值为 ．
16．【解】（1）设翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的事件设为 ，则
．
答：翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率为 ．
（2） 的分布列
0 1 2 4
．
17．【解】由题设可得 ，
故椭圆方程为： ，双曲线方程为 ．
（1）由图可知，切点 在双曲线 上．
设 ，则切线 的方程为： ，
因为直线 过点 ，所以， ，
将 代入 ，得 ，所以， ，直线 的方程为： ．
（2）由题意得 方程为： ，
联立 ，整理得： ，
解得： ，或 ，即 ．
联立 ，整理得： ，
解得： ，或 ，即 ．
，
所以， ，所以 ．
18．【解】（1） ，因为1和 是 的两个极值点，所以，1和 是方程
的两根，故 ，即 ．
因为 时， 时， ，
所以 在区间 上单调增，在区间 上单调减，
所以 ，得 ，
．
（2）当 时， ．
令 ，得 ，或 ．若 ，则当 时， ；当 时， ．故 在
区间 单调递增，在 上单调递减；
若 在区间 单调递增；
若 ，则当 时， ；当 时， ．故 在
区间 单调递增，在 上单调递减．
（ 3 ） 当 时 ， ， 由 题 意 得 ： ， 即
，①
，即 ，②
由①、②可知， ．③
因 为 ， ， ，
，所以， 有两个实数根 ，且 ，
当 时， ，当 时， ，故 是 的极大值点， 是
的极小值点．
由题意得：
两式同向相加得： ，④
注意到， ，
代入④得： ，由 ③ 可 知 ， ， 所 以 ， 所 以
，
当且仅当 时成立．
所以 ，从而 ．
19．【解】（1）因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ．
（2）由数列 定义得： ；所以 ．
而 ，
所以 ．
（3）当 ，由（2）可知， 无上界，故对任意 ，存在 ，使得 ．
设 是满足 的最小正整数．下面证明 ．
①若 是偶数，设 ，
则 ，于是 ．
因为 ，所以 ．
②若 是奇数，设 ，
则 ．
所以 ．
综上所述，对于任意正整数 ，存在正整数 ，使得 ．
