文档内容
参考答案：
1．A
【分析】利用余弦定理求出cosB的值，利用同角三角函数的基本关系求出sinB的值，再利用三角形的面积
公式可求得ABC的面积.
AB2+BC2−AC2 25+36−49 1
【详解】由余弦定理可得cosB= = = ，则B为锐角，
2AB⋅BC 2×5×6 5
2
1 2 6
故sinB= 1−cos2B = 1− = ，
5 5
1 1 2 6
因此，ABC的面积为S = AB⋅BCsinC = ×5×6× =6 6.
△ABC
2 2 5
故选：A.
2．A
【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断.
【详解】对于①：因为面面平行的判定定理要求m,n相交，若没有，则α,β可能相交，故①错误；
对于②：因为线面平行的判定定理要求m⊄α，若没有，则可能m⊂α，故②错误；
对于③：根据线、面位置关系可知：m//n，或m,n异面，故③错误；
对于④：根据线、面位置关系可知：m//n，或m,n异面，故④错误；
故选：A.
3．C
【分析】对A，根据二项分布的方差公式求解即可；对B，根据正态分布的对称性求解即可；对C，根据百
分位数的定义判断即可；对D，根据对立事件的概率公式，结合事件A与事件B相互独立事件满足
P(AB)=P(A)P(B)判断即可．
1 3 9
【详解】对A，D(η)=np(1− p)=12× × = ，故A错误；
4 4 4
对B，若随机变量ξ N ( 2,σ2) ，且P(ξ<4)=0.8，则P(2<ξ<4)=P(ξ<4)−P(ξ<2)=0.8−0.5=0.3，故
B错误；
18+20
对C，数据组共10个数据，故第80百分位数为从小到大第8，9个数据的平均数，即 =19，故C正
2
确；
2 1 1
对D，P(A)= ，P(B)= ，故P(A∩B)= ≠P(A)P(B)，故事件A与事件B不相互独立，故D错误；
3 3 9
故选：C．
4．C
答案第1页，共12页
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据数乘向量运算的定义判断各选项.
【详解】对于A，当λ>0时，a与λa方向相同，因此A不正确；
对于B，|λ|<1时， −λa < a ，因此B不正确；
对于C，因为λ2 >0，所以a与λ2a 同向，C正确；
对于D，|λa|是实数，|λ|a是向量，不可能相等．
故选：C．
5．B
1 1 24
【详解】sinα+cosα= ,0≤α≤π, 则sinα>0,cosα<0, (sinα+cosα)2 = ⇒2sinαcosα=− ，故
5 25 25
π 49 7
2sinα− =sinα−cosα= (sinα−cosα)2 = 1−2sinαcosα= =
4 25 5
选B
6．B
【分析】先排4位男生，再在他们形成的间隔(除两端)插入两个女生即可得解.
【详解】计算出场顺序的排法种数需要两步：第一步，排4位男生有A4种，第二步，在4位男生形成的中
4
间间隔中插入2位女生有A2种，
3
由分步乘法计算原理得A4A2 =24⋅6=144，
4 3
所以出场顺序的排法种数为144.
故选：B
7．A
【分析】通过对称性以及数量积与垂直的关系可得MFF′是直角三角形，OM =c，由题意可设出
3 4
M c, c，代入双曲线方程可得关于a,c的齐次式，进而可得结果.
5 5
【详解】设坐标原点为O，双曲线的另一个焦点为F′，连接MF′，NF′，
由对称性知OF = OF′ ，OM = ON ，所以四边形MFNF′是平行四边形，
又MF⋅NF =0，所以四边形MFNF′是矩形，
1
故MFF′是直角三角形，|OM |= FF′ =c.
2
不妨设点M 在第一象限，直线l的倾斜角为θ，
答案第2页，共12页4 4 3
则tanθ= ，sinθ= ，cosθ= ，
3 5 5
3 4
则点M(ccosθ,csinθ)，即M c, c.
5 5
9c2 16c2
又点M 在双曲线上，所以 − =1，即9e4−50e2+25=0，
25a2 25b2
即 ( e2−5 )( 9e2−5 ) =0，又e>1，所以 e2 =5，e= 5，
故选：A.
【点睛】本题是求解双曲线离心率的问题，解决本题的关键是由已知条件建立关于a，c的等式，解题时，
应善于从题目给出的条件中挖掘几何元素间的关系，然后将这种关系用含a，c的等式表示，即可求得离心
率.
8．B
1 a
【分析】根据题意求出a = ，判断出数列{a }递减，且00，
n
a
∴0< n+1 <1，即数列{a }递减，则00, f(x)单调递增，
e
1 1
∴f(x)的单调减区间为0, , f(x)的单调增区间为 ,+∞，
e e
1 1 1
f(x) = f = − .
min e 2 e
【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有根据切线方程确定参数的值，应用导数研究函
数的单调性和最值，属于简单题目.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）作辅助线连接CB，设CB 与CB的交点为E，连接DE，利用三角形中位线证明DE∥AC ，
1 1 1 1
根据线面平行的判定定理证明结论；
（2）证明BB ⊥CD，再证明CD⊥ AB，根据面面垂直的判定定理即可证明结论.
1
【详解】（1）证明：连接CB，设CB 与CB的交点为E，连接DE，则E为BC 中点，
1 1 1 1
因为点D是AB的中点，所以DE∥AC ，
1
因为DE⊂平面CDB,AC ⊄平面CDB ，所以AC 平面CDB .;
1 1 1 1 1
（2）证明：在三棱柱ABCABC 中，
1 1 1
因为BB ⊥平面ABC,CD⊂平面ABC，
1
所以BB ⊥CD，
1
答案第9页，共12页
学科网（北京）股份有限公司又AC =BC，点D是AB的中点，
所以CD⊥ AB.
因为BB ∩AB=B,BB,AB⊂平面BBAA，
1 1 1 1
所以CD⊥平面ABBA ，
1 1
又CD⊂平面CDB ，所以平面CDB ⊥平面ABBA .
1 1 1 1
17．有99.9%的把握认为黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病是有关系的．
n(ad−bc)2
【详解【】试题 分析】先依据题设中的22列联表中的数据，运用公式K2 =
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
1633×(30×1355−224×24)2
计算出 K2 = =68.033 ，再与参考数据表中的数据进行比对与分析进行
254×1379×54×1579
推断：
n(ad−bc)2 1633×(30×1355−224×24)2
解：根据公式，则有K2 = = =68.033 ．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
254×1379×54×1579
∵68.033>10.828，
∴说明有99.9%的把握认为黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病是有关系的．
5
18．（1）y=−2 ；（2） ae2
e
【分析】（1）把a=1代入函数解析式，求出函数在x=1出的导数，可得函数f(x)在点(1，−2)处的切线方程；
（2）求出原函数的导函数，分a≤0和a>0讨论，当a>0时由导函数在不同区间的符号得到原函数的单调
性，从而求出函数在区间
e−4,e
上的最小值点，由题意列出不等式组，可得a的取值范围.
1
【详解】（1）当a=1时， f (x)=x−lnx−3， f′(x)=1− ，∴ f′(1)=0，
x
∴函数 f(x)在点(1,−2)处的切线方程为：y=−2 ;
1
（2）由 f (x)=ax−lnx−3，得 f′(x)=a− ，
x
1
当a=0时， f′(x)=− 在x∈
e−4,e
上单调递减，不满足题意；
x
1
当a<0时， f′(x)=a− 在x∈
e−4,e
上恒小于0，函数在x∈
e−4,e
上单调递减，不满足题意；
x
1 ax1 1
当a>0，由 f (x)a 0可得x= ，
x x a
1 1
当 ≤e−4或 ≥e时， f′(x)≥0或 f′(x)≤0，函数 f (x)=ax−lnx−3在x∈
e−4,e
都是单调函数，
a a
答案第10页，共12页函数 f (x)在x∈
e−4,e
上的图象与直线yt(0t1)不可能两个不同交点，
1
故需e−4 < 0， f(x)单调递增；
a
∴函数 f(x)在x∈
e-4,e
上的图象与直线yt(0t1)恒有两个不同交点，
f(e−4)≥1
1 5
则需f( )＜0 ，可得 ae2，
a e
f(e)≥1
5
∴实数a的取值范围是( ,e2).
e
【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学
转化思想及分类讨论的思想，是中档题.解答时要注意将图象的交点问题转化为函数的最值问题进行解决.
19．(1)x=3k 或x=3k+1（k∈Z）．
tan(3n+1)−tan1
(2)①3036；② −n
tan3
【分析】（1）根据带除的定义求解，x(x−1)≡0（mod3），即x(x−1)能被3整除，从而得出x或x−1能被3
整除；
（2）①首先求出a （分奇偶项），确定出b ，用并项求和法求和；②求出c ，利用两角差的正切公式变形
n n n
通项，结合裂项相消法求和．
【详解】（1）由题意x(x−1)≡0（mod3），所以 x=3k 或x−1=3k（k∈Z），即 x=3k 或x=3k+1（k∈Z）．
3n−1
( n为奇数)
（2）由（1）可得{a }为{1,3,4,6,7,9,10,}，所以a = 2 ．
n n 3× n ( n为偶数)
2
2 ( n为奇数)
①因为b =a −a （n∈N*），所以b = ．
n n+1 n n
1
( n为偶数)
答案第11页，共12页
学科网（北京）股份有限公司S =b +b +b ++b =3×1012=3036．
2024 1 2 3 2024
②c =tana ⋅tana =tan(3n+1)⋅tan(3n−2)（n∈N*）．
n 2n+1 2n−1
tan(3n+1)−tan(3n−2)
因为tan(3n+1)⋅tan(3n−2)= −1，
tan3
tan4−tan1 tan7−tan4 tan(3n+1)−tan(3n−2)
所以T =c +c +c = −1+ −1++ −1
n 1 2 n tan3 tan3 tan3
tan(3n+1)−tan1
= −n．
tan3
【点睛】关键点点睛：本题考查学生的阅读理解能力，创新意识，解题关键是正确理解新概念并能应用解
题，本题中同余问题，实质就是除以一个质数后的余数相等，问题转化后可结合数列的求和方法，两角差
的正切公式等等知识才能顺利求解．
答案第12页，共12页
