江苏省泰州市 2025 届高三下学期开学调研测试数学试题❖
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 ⃗ ， ⃗ 若 ⃗ ⃗ ，则 ⃗
AB=(x,2) BC=(2,1). AB//BC |AC|=
A. 4 B. 2√ 5 C. 5 D. 3√ 5
2.已知集合 ， { |5−x }，则
A={x|x2−2x−8<0} B= x ≥0 (∁ A)∩B=( )
x+1 R
A. [4,5] B. (−2,−1]
C. (−1,4) D. (−∞,−2]∪(5,+∞)
z−2
3.已知复数z满足 =i(i为虚数单位)，则z的虚部为
3z−4
1 1 7 7
A. i B. C. i D.
5 5 5 5
4.已知随机变量 服从二项分布 ( 1) 若 ，则
ξ B n, . D(3ξ+2)=36 n=
2
A. 144 B. 48 C. 24 D. 16
5.已知函数 (1 π)，则“ 2π， ”是“ 的图像关于点 对称”的
f(x)=tan x− x =2kπ+ k∈Z f(x) (x ,0)
2 3 0 3 0
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线 ，单位圆O分别相切于A，B两点，当
x2=2p y(p>0)
|AB|最小时，p=
A. 2√ 3 B. 2√ 2 C. √ 3 D. √ 2
7.对一排8个相邻的格子进行染色．每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求不能有相邻的格子
都染红色，则满足要求的染色方法共有
A. 89种 B. 55种 C. 54种 D. 34种
ax+1
8.已知a∈R，a≠−1，函数f(x)=ln ，则
x−1
A. 当a>0时，函数f(x)在其定义域上单调递减
B. 当a<0时，函数f(x)在其定义域上单调递增
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学科网（北京）股份有限公司 1 1C. 存在实数a，使函数f(x)的图像是轴对称图形
D. 当a≠0时，函数f(x)的图像恒为中心对称图形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，
部分选对的得2分，有选错的得0分。
x y
9.已知正数x，y满足 + =1，则下列选项中正确的是
4 3
12
A. x y≤3 B. √ x2+ y2≥
5
C. (x+4)y的最大值为12 D. 8x+16y的最小值为128
10.假设某种细胞分裂和死亡的概率相同，每次分裂都是一个细胞分裂成两个．如果一个种群从这样一个
细胞开始变化，假设A为种群灭绝事件，S为第一个细胞成功分裂事件，F为第一个细胞分裂失败事件．
若P(A)=p，则
1
A. P(S)=P(F)= B. P(A|F)≠1
2
C. D.
P(A|S)=p2 p≠1
11.若球C在四棱锥的内部，且与四棱锥的四个侧面和底面均相切，则称球C为四棱锥的“Q”球．在四棱
锥P−ABCD中，AB=a，四边形ABCD为矩形，△PAD是边长为1的正三角形．若二面角
P−AD−B的大小为60∘，则
A. 当a变化时，平面PAB与平面PAD的夹角不变
B. 当a变化时，PB与平面PAD所成角的最大值为60∘
C. 当a=1时，四棱锥P−ABCD不存在“Q”球
√ 13−2
D. 存在a，使得四棱锥P−ABCD有半径为 的“Q”球
6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列
{a }
为等差数列，
a =10
，公差
d=−3.
若
c =
a
n+1
，则
c
的最小值为________.
n 1 n a n
n
13.已知 ，函数 ( π)在区间[ π]上单调递减，则 的最大值为________.
ω>0 f(x)=cos 2ωx+ 0, ω
6 3
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学科网（北京）股份有限公司 2 1x2
14.已知O为坐标原点，点A，B，C为椭圆 + y2=1上三个不同的点(A,B,C依次逆时针排列).若
2
16
∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘，则|OA|2+|OB|2+ |OC|2的最小值为________.
49
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若点D在边BC上，∠ADB=2B，
sin(A−B) √ 2b
+ =1.
sinC c
(1)求角A的大小；
(2)若tanC=2，c=2，
(ⅰ)求cosB的值；
(ⅱ)求AD的长．
16.(本小题15分)
在三棱锥P−ABC中，△ABC与△PAC都是边长为6的等边三角形，PB=9.点D为PB的中点，点E
在线段AB上，BE=2EA.
(1)求证：PB⊥AC；
(2)求DE的长
(3)求直线DE与平面PAC所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知a∈R，f(x)=ln(x+1)，g(x)=ax.
(1)若a=−2，曲线y=f(x)上一点P处的切线与直线y=g(x)垂直，求点P坐标；
(2)若g(x)≥f(x)恒成立，求a的值．
18.(本小题17分)
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学科网（北京）股份有限公司 3 1在平面直角坐标系中，点M到定点F(4,0)的距离与点M到直线l：x=1的距离之比为2，点M的轨迹为
曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点P(1,m)，m≠0，A，B为曲线C的左、右顶点．若直线PA，PB与曲线C的右支分别交于点
D，E.
(ⅰ)求实数m2的取值范围；
⃗ ⃗
|PA||PB|
(ⅱ)求 的最大值．
⃗ ⃗
|PD||PE|
19.(本小题17分)
设数列 的前n项和为 ，
{a } S 2S =n2+5n.
n n n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2) 设 b
=n⋅2n，求数列{S
n
+4}的前n项和
T ；
n a b n
n n
设 1 ，求证： 3
(3) c = c +c +c +…+c >2√ n− .
n √ a −2 1 2 3 n 2
n
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学科网（北京）股份有限公司 4 1答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为 ⃗ ⃗ ， ⃗ ， ⃗
AB//BC AB=(x,2) BC=(2,1)
所以x=4，
所以 ⃗ ⃗ ⃗ ，
AC=AB+BC=(4,2)+(2,1)=(6,3)
⃗
|AC|=√ 62+32=3√ 5.
故选D.
2.【答案】A
【解析】解： ， { |5−x } ，
∵A={x|x2−2x−8<0}={x|−2<x<4} B= x ≥0 ={x|−1<x≤5}
x+1
∴∁ A={x|x≤−2或x≥4}，(∁ A)∩B={x|4≤x≤5}.
R R
故选A.
3.【答案】B
z−2
【解析】解：已知 =i，等式两边同时乘以3z−4，
3z−4
可得z−2=i(3z−4)
整理得z−3iz=2−4i，得z(1−3i)=2−4i，
2−4i (2−4i)(1+3i) 14+2i 7 1
所以z= = = = + i.
1−3i (1−3i)(1+3i) 10 5 5
1
则z的虚部为 .
5
故选B.
4.【答案】D
1
【解析】解：因为ξ∽B(n, )，
2
1 1 1
所以D(ξ)=n⋅ ⋅(1− )= n，
2 2 4
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学科网（北京）股份有限公司 5 11
D(3ξ+2)=9⋅ n=36，
4
∴n=16，
故选D.
5.【答案】A
1 π
【解析】解：f(x)=tan( x− )，
2 3
1 π kπ 2π
令 x− = ，即x= +kπ，k∈Z，
2 3 2 3
2π
即f(x)的对称中心( +kπ,0)，k∈Z，
3
2π
∴"x =2kπ+ ，k∈Z"是“f(x)的图象关于点(x ,0)对称的”充分不必要条件，
0 3 0
故选A.
6.【答案】C
【解析】解：令 ，则 ，
A(x ,y ) |AB|=√ x2+ y2−1=√ y2+2p y −1
0 0 0 0 0 0
x2 x x x
y= ，y′= ，则k= 0，切线为y−y = 0 (x−x )即2x x−2p y−x2=0，
2p p p 0 p 0 0 0
x2 2y
直线又与单位圆相切，则 0 =1即p= 0 ，
√ 4x2+4 p2 y2−1
0 0
则 |AB|= √ y2+ 4 y2 0 −1= √ y2−1+ 4 +4≥√ 4+4=2√ 2 ，
0 y2−1 0 y2−1
0 0
当且仅当 y2−1= 4 即 y2=3 ，即 y =√ 3 ， p=√ 3 时取“ =n 。
0 y2−1 0 0
0
故选C.
7.【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司 6 1【解析】解：8个格子涂色，相邻都不涂红色，包含的情形如下：
1∘，8个格子都涂蓝色，共1个结果;
，8个格子有7个格子涂蓝色有 个结果;
2∘ C7=8
8
，8个格子有6个格子涂蓝色，2个涂红色，红色不相邻，插空 个结果;
3∘ C2=21
7
，8个格子有5个格子涂蓝色，3个涂红色，红色不相邻，插空 个结果;
4∘ C3=20
6
，8个格子有4个格子涂蓝色，4个涂红色，红色不相邻，插空 个结果.
5∘ C4=5
5
所以1+8+21+20+5=55.
故选B.
8.【答案】D
【解析】解：
a(2m−x)+1 ax+1 (2am−ax+1)(ax+1) −a2x2+2a2mx+2am+1
f(2m−x)+f(x)=ln +ln =ln =ln
2m−x−1 x−1 (2m−x−1)(x−1) −x2+2mx−2m+1
2am+1 a−1 a−1
当 =a2，即m= 时，f(2m−x)+f(x)为定值lna2，则f(x)关于( ,lna)对称.
−2m+1 2a 2a
故选D.
9.【答案】ABD
x y √x y x y
【解析】解：1= + ≥2 ⇒1≥ ⇒3≥x y，A对；
4 3 12 3
x y
√ x2+ y2表示直线 + −1=0上的点与原点的距离，
4 3
1 12
d= =
则距离的最小值 √ 1 1 5 ，B对；
( )
2+(
)
2
4 3
4 4 4 4
x+ y=4，x=4− y，(x+4)y=(8− y)y=− y2+8 y，当y=3时，(x+4)y取最大值12，此时
3 3 3 3
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学科网（北京）股份有限公司 7 1x=0矛盾，C错；
{x=2
，当且仅当{3x+4 y=12即 时，等号成立，D对.
8x+16y≥2√ 23x ⋅24y=2√ 23x+4y=2√ 212=128 3
3x=4 y y=
2
故选ABD.
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，显然正确.
1
P(AF) 2
对于B，P(A|F)= = =1，或由第一个细胞分裂失败，后面不会有新的细胞产生，故必然种族
P(F) 1
2
灭绝， B错.
1
对于D，一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p，则从一个细胞开始，它有 的概率分裂成两个
2
细胞，
1 1
在这两个细胞中每个细胞灭绝的概率均为p，∴P= + p2 ⇒p2−2p+1=0，p=1，D错.
2 2
1
p2
P(AS) 2
对于C，P(A|S)= = =p2，C正确.
P(S) 1
2
故选：AC.
11.【答案】ACD
【解析】解：取AD中点为E，BC中点为F，连接PE、EF、PF，
则EF//AB，EF⊥AD，
因为△PAD是等边三角形，所以PE⊥AD，
则∠PEF即为二面角P−AD−B的平面角，∠PEF=60∘，
以点E为坐标原点，直线EF、ED分别为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司 8 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (√ 3 3)
则A 0,− ,0 ，B a,− ,0 ，C a, ,0 ，D 0, ,0 ，P ,0, ，
2 2 2 2 4 4
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (√ 3 1 3) ⃗ (√ 3 1 3)
AB=(a,0,0) ，AD=BC=(0,1,0) ，AP= , , ，BP= −a, , ，
4 2 4 4 2 4
⃗
设平面PAB的法向量为n =(x ,y ,z )，
1 1 1 1
{ ⃗ ⃗ √ 3 1 3
n ⋅AP= x + y + z =0
1 4 1 2 1 4 1
则 ，
⃗ ⃗
n ⋅AB=ax =0
1 1
可取z
1
=2，则x
1
=0，y
1
=−3，n ⃗ =(0,−3,2)，
1
⃗
设平面PAD的法向量为n =(x ,y ,z )，
2 2 2 2
{ ⃗ ⃗ √ 3 1 3
n ⋅AP= x + y + z =0
2 4 2 2 2 4 2
则 ，
⃗ ⃗
n ⋅AD= y =0
2 2
可取z
2
=1，则y
2
=0，x
2
=−√ 3，n ⃗ =(−√ 3,0,1)，
2
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学科网（北京）股份有限公司 9 1⃗ ⃗
⟨⃗ ⃗ ⟩ n ⋅n 2 √ 13
cos n ,n = 1 2 = = ，
1 2 |⃗| |⃗| √ 13×2 13
n ⋅n
1 2
√ 13
可知平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值不变，为 ，
13
则当a变化时，平面PAB与平面PAD的夹角不变，故A正确；
设PB与平面PAD所成角为θ，
|⃗ ⃗ |
| ⟨⃗ ⃗ ⟩| n ⋅BP √ 3a
sinθ= cos n ,BP = 2 =
则 2 | n ⃗| ⋅ | B ⃗ P | 2 √ (√ 3 −a ) 2 + 1 + 9
2
4 4 16
√ 3a √ 3 1 √ 3 1
= = ⋅ = ⋅
2 √ a2− √ 3 a+1 2 √ 1 − √ 3 ⋅ 1 +1 2 √ (1 − √ 3) 2 + 13 ，
2 a2 2 a a 4 16
1 √ 3 √ 3 4 √ 3
则当 = 时，sinθ取得最大值 × > ，
a 4 2 √ 13 2
显然θ的最大值大于60∘，故B错误；
若四棱锥P−ABCD存在“Q”球，设球心为H，
可知平面PAB与平面PCD关于平面PEF对称，
根据对称性，球心H在平面PEF内，
因为AD⊥平面PEF，AD⊂平面PAD，AD⊂平面ABCD，
所以平面PEF⊥平面PAD，平面PEF⊥平面ABCD，
又平面PEF∩平面PAD=PE，平面PEF∩平面ABCD=EF，
则点H到直线PE、PF的距离即为点H到平面PAD、平面ABCD的距离，
可知点H在∠PEF的角平分线上，又∠PEF=60∘，则∠H Ex=30∘，
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学科网（北京）股份有限公司 10 1设H(√ 3m,0,m)，m>0，B
⃗
H=
(
√ 3m−a,
1
,m
)
，
2
⃗
设平面PBC的法向量为n =(x ,y ,z )，
3 3 3 3
{⃗ ⃗ (√ 3 ) 1 3
n ⋅BP= −a x + y + z =0
3 4 3 2 3 4 3
则 ，
⃗ ⃗
n ⋅BC= y =0
3 3
可取x
3
=3，则y
3
=0，z
3
=4a−√ 3，n
⃗
=(3,0,4a−√ 3)，
3
则点H到平面PAD和平面ABCD的距离为m，球的半径也为m，
| 3|
|⃗ ⃗ | 2m−
n ⋅BH 2
点H到平面PAB的距离为d = 1 = ，
1 |⃗| √ 13
n
1
|⃗ ⃗ |
n ⋅BH |2√ 3m−3a+4am|
点H到平面PBC的距离为d = 3 = ，
2 |⃗| √ 9+(4a−√ 3) 2
n
3
| 3|
2m− √ 13−2
由 2 ，解得m= (舍负)，
d = =m 6
1
√ 13
|2√ 3m−3a+4am|
由d = =m，
2 √ 9+(4a−√ 3) 2
可得(8m−3)a=4√ 3m(2m−1)(*)，
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学科网（北京）股份有限公司 11 1√ 13−2
显然a=1和m= 不同时满足等式(*)，
6
即当a=1时，四棱锥P−ABCD不存在“Q”球，故C正确；
√ 13−2
而当m= 时，8m−3<0，2m−1<0，
6
4√ 3m(2m−1)
则a= >0，
8m−3
√ 13−2
即当m= 时，存在正实数a满足等式(*)，
6
√ 13−2
故存在a，使得四棱锥P−ABCD有半径为 的“Q”球，故D正确.
6
12.【答案】−2
【解析】解：由已知，得a =10+(n−1)(−3)=−3n+13，
n
则 a −3(n+1)+13 −3n+10，
c = n+1= =
n a −3n+13 −3n+13
n
c >0，c >0，c >0，c =−2，当n≥5时，c >0，
1 2 3 4 n
∴(c ) =−2.
n min
故答案为：−2.
5
13.【答案】
4
π 2πω π π 2πω π
【解析】解：已知x∈[0, ]，ω>0，那么2ωx∈[0, ]，所以2ωx+ ∈[ , + ].
3 3 6 6 3 6
因为函数y=cost在[0,π]上单调递减，
π π π 2πω π
而函数f(x)=cos(2ωx+ )在[0, ]上单调递减，所以[ , + ]⊆[0,π].
6 3 6 3 6
2πω π
{ + ≤π
由此可得不等式组 3 6 ，
π
≥0
6
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学科网（北京）股份有限公司 12 12πω π 2πω 5π 2π
可得 ≤π− ，即 ≤ ，两边同时除以
3 6 3 6 3
5π 3 5 5
得到ω≤ × = ，所以ω≤ .
6 2π 4 4
5
则ω的最大值为
4
5
故答案为： .
4
144
14.【答案】
49
【解析】解：设|OA|=ρ❑ ，|OB|=ρ❑ ，|OC|=ρ❑ ，
1 2 3
∴A(ρ❑ cosθ，ρ❑ sinθ)，B(ρ❑ cos(θ+120∘)，ρ❑ sin(θ+120∘))，
1 1 2 2
C(ρ❑ cos(θ+240∘)，ρ❑ sin(θ+240∘))，
3 3
ρ2cos2θ
{ 1 +ρ2sin2θ=1
2 1
ρ2cos2 (θ+120∘)
∴ 2 +ρ2sin2 (θ+120∘)=1，
2 2
ρ2cos2 (θ+240∘)
3 +ρ2sin2 (θ+240∘)=1
2 3
cos2θ+cos2 (θ+120∘)+cos2 (θ+240∘)
3
=cos2θ+cos2 (θ−60∘)+cos2 (θ+60∘)=
，
2
3
sin2θ+sin2 (θ+120∘)+sin2 (θ+240∘)=
，
2
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学科网（北京）股份有限公司 13 14 4
( ) 2 (1+1+ ) 2
1 1 1 3 3 9 12 12 7 7
∴ + + = + = = + + ≥ ，
ρ
1
2 ρ
2
2 ρ
3
2 4 2 4 ρ
1
2 ρ
2
2 16 ρ2 ρ2+ρ2+ 16 ρ2
49 3 1 2 49 3
16 324 4 144
⇒ρ2+ρ2+ ρ2≥ × = ，
1 2 49 3 49 9 49
16 16 144
∴|OA|2+|OB|2+ |OC|2=ρ2+ρ2+ ρ2≥
，
49 1 2 49 3 49
4
1 1 7
当且仅当 = = 时取“=”，
ρ 1 ρ 2 2 16 ρ2
49 3
8
即ρ2=ρ2= ，ρ2=2时取"="，可取"="，
1 2 7 3
144
应填： .
49
sin(A−B) √ 2sinB
15.【答案】解：(1)由条件得 + =1⇒sin(A−B)+√ 2sinB=sin(A+B)，
sinC sinC
√ 2 π
∴√ 2sinB=2cosAsinB，∵sinB>0，∴cosA= ，A= ；
2 4
2√ 5 √ 5
(2)(i)∵tanC=2，∴sinC= ，cosC= ，
5 5
π √ 2 √ 5 √ 2 2√ 5 √ 10
∴cosB=−cos(A+C)=−cos( +C)=−( × − × )= ；
4 2 5 2 5 10
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学科网（北京）股份有限公司 14 13√ 10 √ 10 3
(ii)如图所示：由已知，sin∠ADB=sin2B=2sinBcosB=2× × = ，
10 10 5
2 AD
在△ABD中，由正弦定理⇒ = ⇒AD=√ 10.
5 5
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：(1)(1)取AC中点M，连接BM，PM，
∵PC=PA，BC=BA，
∴AC⊥PM，AC⊥BM，
又∵PM∩BM=M，PM、BM⊂平面PBM，
∴AC⊥平面PBM，
∵PB⊂平面PBM，
∴AC⊥PB，即PB⊥AC.
(2)PM=BM=3√ 3，
∵PB=9，∴∠PMB=120∘，
如图建立空间直角坐标系.
3√ 3 9
∴P(− ,0, )，B(√ 3,0,0)，
2 2
3√ 3 9
∴D( ,0, )，E(√ 3,2,0)，
4 4
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 15 1√ √ 3 9 √ 37
∴DE= ( ) 2+4+( ) 2= .
4 4 2
(3)A(0,3,0)，C(0,−3,0)，
⃗ √ 3 9 ⃗ ⃗ √ 3 9
∴PA=( ,3,− )，AC=(0,−6,0) ，DE=( ,2,− )，
2 2 4 4
⃗
设平面PAC的一个法向量n=(x,y,z) ，
{3√ 3 9
x+3 y− z=0 ⃗
∴ 2 2 ⇒n=(√ 3,0,1)，
−6 y=0
设直线DE与平面PAC所成角为θ，
3 9
⃗ ⃗ | − |
|DE⋅n| 4 4 3√ 37
∴sinθ= = = .
⃗ ⃗ √ 37 74
|DE|⋅|n| ×2
2
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
1
17.【答案】解：(1)因为f ′(x)= ，设点P(x ,ln(x +1))，
x+1 0 0
1
则点P处切线的斜率k= ，
x +1
0
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学科网（北京）股份有限公司 16 1因为a=−2，
1
由曲线y=f(x)上一点P处的切线与直线y=g(x)垂直，得 ×(−2)=−1，
x +1
0
所以x =1，
0
即点P坐标为(1,ln2)；
(2)设h(x)=g(x)−f(x)=ax−ln(x+1)，x>−1，
因为g(x)≥f(x)恒成立，
所以h(x)≥0恒成立，x>−1，且h(0)=0，
1
因为h′(x)=a− ，
x+1
若a≤0，则h′(x)<0，故h(x)在区间(−1,+∞)上单调递减，
当x∈(0,+∞)时，h(x)<h(0)=0，与h(x)≥0恒成立矛盾，
1
a(x− +1)
若a>0，则 a ，
h′(x)=
x+1
1
令h′(x)=0得x= −1，
a
1 1
所以h(x)在区间(−1, −1)上单调递减，h(x)在区间( −1,+∞)上单调递增，
a a
1
当 −1<0，即a>1时，
a
1
当x∈( −1,0)时，h(x)<h(0)=0，与h(x)≥0恒成立矛盾，
a
1 1
当 −1>0，即0<a<1时，当x∈(0, −1)时，h(x)<h(0)=0，与h(x)≥0恒成立矛盾，
a a
1 1
当 −1=0，即a=1时，h(x) =h( −1)=h(0)=0，
a min a
所以h(x)≥0恒成立，x>−1，即g(x)≥f(x)恒成立，
综上所述：a=1.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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学科网（北京）股份有限公司 17 118.【答案】解：(1)设M(x,y)，由题意知√ (x−4) 2+ y2=2|x−1|，
x2 y2
化简得C方程为 − =1.
4 12
3
(2)(i)设直线PA方程为x=t y−2，t= ，
m
{ x=t y−2 12t
⇒(3t2−1)y2−12t y=0⇒y = ，
3x2−y2=12 D 3t2−1
∵D在右支上，
12mt 36
∴y ⋅y >0⇒ >0⇒ >0⇒0<m2<27
P D 9 27 ，
3⋅ −1 −1
m2 m2
1
设PB方程为x=n y+2，n=− ，
m
{ x=n y+2 −12n
⇒(3n2−1)y2+12n y=0⇒y = ，
3x2−y2=12 E 3n2−1
∵E在右支上，
−12mn
∴y ⋅y <0⇒ <0
P E 1
3 −1
m2
12
⇒
<0⇒m2>3⇒3<m2<27.
3
−1
m2
⃗ ⃗
|PA||PB| m m
(ii) =| |⋅| | ，
⃗ ⃗ y −m y −m
|PD||PE| 0 E
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学科网（北京）股份有限公司 18 13
12⋅
m 36m
y = =
D 9 27−m2
3⋅ −1
m2
1
−12⋅(− )
m 12m
y = = .
E 1 3−m2
3⋅ −1
m2
m m
=| |⋅| |
∴原式 36m 12
−m −m
27−m2 3−m2
27−m2 3−m2
=| ⋅ |，
m2+9 9+m2
令m2+9=λ，12<λ<36，
(36−λ)(λ−12)
∴上式=
λ2
48λ−36×12−λ2
=
λ2
432 48
=− + −1
λ2 λ
1 1
=−432( − )−1
λ2 9λ
1 1 1 1
=−432( − ) 2+ ≤ ，
λ 18 3 3
当且仅当λ=18，m=±3时取“=”.
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学科网（北京）股份有限公司 19 1【解析】详细解答和解析过程见【答案】
n2+5n (n−1) 2+5(n−1)
19.【答案】解：(1)n≥2时，a =S −S = − =n+2
n n n−1 2 2
而a =S =3也满足上式，∴a =n+2
1 1 n
n2+5n
(2)S = ，
n 2
n2+5n
+4
S +4 2 n2+5n+8
∴ n = =
a b (n+2)⋅n⋅2n (n+2)n⋅2n+1
n n
(n+2)n+3n+8 1 3n+8
= = +
(n+2)n⋅2n+1 2n+1 (n+2)n⋅2n+1
1 4(n+2)−n
= +
2n+1 (n+2)⋅n⋅2n+1
1 1 1
= + −
2n+1 n⋅2n−1 (n+2)⋅2n+1
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学科网（北京）股份有限公司 20 11 1
[−( ) n ]
4 2 1 1 1 1 1 1 1 1
∴T = + − + − + − +⋯+ −
n 1 1⋅20 3⋅22 2⋅21 4⋅23 3⋅22 5⋅24 n⋅2n−1 (n+2)⋅2n+1
1−
2
1 1 1 1 1 7 1 1 1
= −( ) n+1+1+ − − = − − −
2 2 4 (n+1)⋅2n (n+2)⋅2n+1 4 2n+1 (n+1)⋅2n (n+2)⋅2n+1
1 1 1 1 2
(3)c = ， ( + )≥ =2(√ k+1−√ k)
n √ n 2 √ k √ k+1 √ k+√ k+1
1 1 1 1 1 1 1 1
∴c +c +⋯+c = (1+ + + +⋯+ + )+ +
1 2 n 2 √ 2 √ 2 √ 3 √ n−1 √ n 2 2√ n
1 1
>2(√ 2−1+√ 3−√ 2+⋯+√ n−√ n−1)+ +
2 2√ n
1 1 3 1 3
=2(√ n−1)+ + =2√ n− + >2√ n− .
2 2√ n 2 2√ n 2
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