2024-2025 学年江苏省南京市六校联合体高一下学期 3 月调研考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量⃗
a=(1,2)
，⃗
b=(x,−1)
，若向量⃗
a//
⃗
b
，则 x=( )
1 1
A. 2 B. C. − D. −2
2 2
π 4
2.若cos( −α)= ，则sin2α=( )
4 5
7 18 7 24
A. − B. C. D.
25 25 25 25
3π
|⃗| |⃗|
3.已知向量⃗a， 满足 a =1 ， b =2 ，⃗a， 夹角为 ，则 在⃗a上的投影向量为( )
4
⃗ ⃗
A. −√2 B. C. D.
√2a −√2a
4.在▵ABC中，若sin(A−B)+sinC=0，则▵ABC是( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
1 1 tanα
5.已知sin(α+β)= ，sin(α−β)= ，则 =( )
5 3 tanβ
1 1
A. 1 B. C. − D. −4
4 4
6.一艘船在A处，灯塔S在船正北方向，船以100海里/小时的速度向北偏东30°航行，30分钟后船航行到
B处，从B处看灯塔S位于船南偏西75°方向上．此时灯塔S与船B之间的距离为( )海里
A. 25(√6−√2) B. 25(√6+√2) C. 50(√6−√2) D. 50(√6+√2)
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1 17.如图，在直角▵ABC，∠ACB=90 ∘，AC=1,BC=3，点E，F是边BC上两个三等分点，则
cos∠EAF=( )
√10 3√10 √5 2√5
A. B. C. D.
10 10 5 5
√3
8.在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若asinBcosC+csinBcosA=
2
b，且
B
⃗
A⋅A
⃗
C>0
，
则sinA+sinC的取值范围是( )
A. 3 B. √3 3 C. 1 3 D. (1 3]
(1, ) ( , ) ( , ) ,
2 2 2 2 2 2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
9.下列化简结果是 的选项为( )
2
√2 √2
A. sin105 ∘+ cos105 ∘ B. 2sin15 ∘ cos15 ∘
2 2
C. D. tan22.5
∘
sin21
∘
cos81
∘
−sin69
∘
cos9
∘
1−tan22.5
∘
10.下列命题正确的是( )
A. 在▵ABC中，A<B是sinA<sinB的充要条件
π 2√3 π
B. 在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=2,B= ,b= ，则A=
6 3 3
π
C. 在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A= ,b=2，若三角形有两解，则a的取值范围为
3
(√3,2)
D. 在▵ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，则▵ABC为锐角三角形
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2 1⃗ ⃗ ⃗ ⃗
11.在▵ABC中，点D,M分别满足
AB=3AD,BC=2MC,AM
与CD相交于点F，则下列说法中正确的
是( )
⃗ 1 ⃗
A. AF= AM
2
π
B. 若AB=4,AC=2,∠BAC= ，则AM=√5+2√3
3
C. S :S =1:3
▵AFD ▵MFC
D. 若 ▵ABC 外接圆的半径为 2 ，且 BC=2 ，则
A
⃗
B⋅A
⃗
C
的取值范围为 (0,6+4√3]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量
⃗a
，⃗b 满足|⃗
a
|
=1
，|⃗
b
|
=3
，且⃗
a⋅(
⃗
a−3
⃗
b)=3
，则
⃗a
，⃗b 夹角的余弦值为 ．
13.cos10 ∘ (1+√3tan10 ∘ ) ．
=
1−2cos265 ∘
14.如图所示，已知点G是▵ABC的重心，过点G作直线MN与AB、AC两边分别交于M、N两点，且
A ⃗ B=x A ⃗ M ， A ⃗ C= y A ⃗ N ，则x+ y= ；
x2
+
y2
的最小值为 ．
x+1 y+2
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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3 115.(本小题12分)
π
已知|⃗
a
|
=4
，|⃗
b
|
=2
，且⃗a与⃗b的夹角为 ．
3
(1)
求|⃗
a+2
⃗
b
|；
(2) 若向量(
2
⃗
a−λ
⃗
b
)
⊥
(
λ
⃗
a+3
⃗
b
)，求实数 λ 的值．
16.(本小题12分)
π 1 π π π π
已知tan( +α)=3,tan(α−β)= ,α∈(− , ),β∈(− , )．
4 3 2 2 2 2
(1)求tanα的值；
1
(2)求 的值；
2sinαcosα+cos2α
(3)求2α−β的值．
17.(本小题12分)
π
如图，在▵ABC中，已知B= ，D是边BC上一点，AD=10，AC=14，DC=6．
4
(1)求cos∠ADC的值；
(2)求AB的长；
(3)求▵ABC的面积．
18.(本小题12分)
已知函数 ( π) √3．
f (x)=2sinx⋅sin x+ −
6 2
π
(1)求f(x)的周期及在(0, )上的值域；
2
√3
(2)已知锐角▵ABC中，BC=2√2，且▵ABC的面积为√3，f(A)= ，求BC边上的中线AT的长．
2
19.(本小题12分)
我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利
在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，该
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4 1点T即称为托里拆利点(以下简称“T点”).通过研究发现三角形中的“T点”满足到三角形三个顶点的距
离和 最小 当 的三个内角均小于 时，使得 的点
TA+TB+TC . ▵ABC 120 ∘ ∠AOB=∠BOC=∠COA=120 ∘
即为“ 点”；当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为“ 点” 试用以上知识解决
O T ▵ABC 120 ∘ T .
下面问题：已知▵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．
(1)若√3b−csin A=√3acosC，则
①求A；
若 ，设点 为 的“ 点”，求 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ；
② bc=4 P ▵ABC T PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA
(2) 若 acosB−bcosA=c ，设 P 点为 ▵ABC 的“ T 点”，|
P
⃗
B
|
+
|
P
⃗
C
|
=2t
|
P
⃗
A
|，求实数 t 的最小值．
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5 1参考答案
1.C
2.C
3.C
4.C
5.D
6.A
7.B
8.B
9.AB
10.AC
11.AC
2
12.−
9
13.2
3
14.3 ；
2
⃗ ⃗ |⃗| |⃗| 1
15.(1)a⋅b= a × b ×cos60 ∘=4×2× =4，
2
(⃗ ⃗) 2 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，
∴ a+2b =a2+2×a⋅2b+4b2=16+4×4+16=48
所以|⃗ ⃗| ．
a+2b =√48=4√3
(2) 由(
2
⃗
a−λ
⃗
b
)
⊥
(
λ
⃗
a+3
⃗
b
)，则(
2
⃗
a−λ
⃗
b
)
⋅
(
λ
⃗
a+3
⃗
b
)
=0
，
即 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，
2λa2+(6−λ2)a⋅b−3λb2=0
，即 ，
∴32λ+4×(6−λ2)−12λ=0 λ2−5λ−6=0
∴λ=−1或λ=6．
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6 1(π ) π
tan +α −tan
16. 由 (π ) ，得 ((π ) π) 4 4 3−1 1．
(1) tan +α =3 tanα=tan +α − = = =
4 4 4 (π ) π 1+3 2
1+tan +α ⋅tan
4 4
(1) 2
+1
1 sin2α+cos2α tan2α+1 2 5
(2)由(1)得 = = = = ．
2sinαcosα+cos2α 2sinαcosα+cos2α 2tanα+1 1 8
2× +1
2
1 1
+
tanα+tan(α−β) 2 3
(3)依题意，tan(2α−β)=tan(α+(α−β))= = =1，
1−tanαtan(α−β) 1 1
1− ×
2 3
1 π π π π π π π
由tanα= ，α∈(− , )，得α∈(0, )，2α∈(0, )，而β∈(− , )，则2α−β∈(− ,π)，
2 2 2 4 2 2 2 2
π
所以2α−β= ．
4
17.(1)在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，
102+62−142 1
由余弦定理可得：cos∠ADC= =− ．
2×10×6 2
1
(2)因为cos∠ADC=− ，∠ADC∈(0,π)
2
2π π
所以∠ADC= ，所以∠ADB=π−∠ADC= ，
3 3
π π
在▵ABD中，AD=10，B= ，∠ADB= ，
4 3
√3
10×
AD AB 2
由正弦定理 = 可得AB= =5√6．
sinB sin∠ADB √2
2
π π 5π
(3)在▵ABD中，B= ，∠ABD= ，所以∠BAD=π−B−∠ADB= ，
4 3 12
BD AB
在▵ABD中，由正弦定理 =
sin∠BAD sin∠ADB
√6+√2
5√6×
4
可得，BD= =5√3+5，
√3
2
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7 1所以BC=BD+DC=5√3+5+6=5√3+11，
1 75+55√3
S = AB×BC×sinB= ．
▵ABC 2 2
18. (1)f (x)=2sinxsin ( x+ π) − √3 =√3sin2x+sinxcosx− √3 =sin ( 2x− π)
6 2 2 3
2π
T= =π，
2
因为 ( π)，所以 π ( π 2π)，所以 √3 ( π) ，
x∈ 0, 2x− ∈ − , − <sin 2x− ≤1
2 3 3 3 2 3
所以 在( π)上的值域( √3 ]．
f (x) 0, − ,1
2 2
因为 为锐角三角形，所以 ( π)， π ( π 2π)，
(2) ▵ABC A∈ 0, 2A− ∈ − ,
2 3 3 3
又 ( π) √3，所以 π π，即 π，
f (A)=sin 2A− = 2A− = A=
3 2 3 3 3
1
因为S=√3= bcsin A，所以bc=4，
2
π
在▵ABC中，由余弦定理得8=b2+c2−2bccos ，所以b2+c2=12，
3
⃗ 1( ⃗ ⃗ )
因为AT为BC边上的中线，所以AT= AB+AC ，
2
⃗ 1( ⃗ ⃗ ) 2 1( ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ) 1
所以AT2= AB+AC = AB2+AC2+2AB⋅AC = (c2+b2+bc)=4，
4 4 4
所以| ⃗ | ．
AT =2
即BC边上的中线AT的长为2
19.(1)①在▵ABC中，由正弦定理得√3sinB−sinCsin A=√3sin AcosC，
∵B=π−(A+C)，有sinB=sin(A+C)，
√3(sin AcosC+cosAsinC)−sinCsin A=√3sin AcosC，
√3cosAsinC=sinCsin A，
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8 1∵sinC≠0，∴tan A=√3，又A∈(0,π)，
π
∴A= ；
3
π
②由①知A= ，则▵ABC的三个角都小于120∘，
3
由“T点”定义知：∠APB=∠BPC=∠APC=120∘，
设|⃗ | ，| ⃗ | ，| ⃗ | ，由S +S +S =S 得
PA =x PB = y PC =z ▵APB ▵BPC ▵APC ▵ABC
1 √3 1 √3 1 √3 1 √3
xy⋅ + yz⋅ + xz⋅ = ×4× ，整理得xy+ yz+xz=4，
2 2 2 2 2 2 2 2
所以 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC
( 1) ( 1) ( 1) 1 ．
=xy⋅ − + yz⋅ − +xz⋅ − =− ×4=−2
2 2 2 2
(2)由acosB−bcosA=c，结合正弦定理sinAcosC−sinBcosA=sinC，
有sin(A−B)=sinC，∵A,B,C均为三角形内角，∴A−B=C(舍)
π
或A−B+C=π，即A=B+C=π−A，∴A= ，
2
由点P为▵ABC的“T点”，得∠APB=∠BPC=∠APC=120∘，
设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，(m>0,n>0,x>0)，
由|PB|+|PC|=t|PA|，得m+n=t，由余弦定理得
2π
|AB| 2=x2+m2x2−2mx2cos =(m2+m+1)x2，
3
2π
|AC| 2=x2+n2x2−2nx2cos =(n2+n+1)x2，
3
2π
|BC| 2=m2x2+n2x2−2mnx2cos =(m2+n2+mn)x2，
3
相加得 ，得 ，
|AC| 2+|AB| 2=|BC| 2 (n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2
整理得m+n+2=mn，
于是 (m+n) 2，当且仅当 ，即 时取等号，
m+n+2=mn≤ m=n m=n=1+√3
2
又m+n=2t,因为t2−2t−2≥0,而t>0,解得t≥1+√3，所以实数t的最小值为1+√3．
第 页，共 页
9 1第 页，共 页
10 1
