文档内容
2024 年高考数学第一次模拟考试
高三数学（新高考Ⅱ卷）·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1．若复数 满足 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【解析】 ， ，
.故选：A．
2．设集合 ， ，且 ，则 （ ）
A．6 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】 ，
∵ ，∴ ，∴ ，故选D.3．已知等差数列 的前5项和 ，且满足 ，则等差数列 的公差为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】D
【解析】 ； ，解得 ， .故选：D
4．从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以点 为例，以点 为其中一个顶点的三角形有
，共10个，
其中直角三角形为 ，共6个，
故所得三角形是直角三角形的概率为 .
故选：C
5．龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近
似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm，盆口直径40cm，盆底直径20cm．现往盆内倒入水，当
水深6cm时，盆内水的体积近似为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长 与 于点 .根据题意， ， ， ， ，
设 ，
所以 ， 解得 ， ，
所以 ，故选：B.
6．已知 ， 是方程 的两个实数根，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， 是方程 的两个实数根，
所以 ， ，
因为
.
故选：D
7．已知直线 与圆 相切，与抛物线 相交于 两点，以 为直径的圆过坐标
原点，则直线 的方程为（ ）
A． 或 B． 或C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】若直线 的斜率不存在，又直线 与圆 相切，则直线 的方程为 或
，
又直线与抛物线 相交于 两点，则直线 的方程为 ，此时可设 ，
，且 ，
所以 ，不符合题题意；
若直线 的斜率存在，设直线 得方程为 ，由直线 与圆 相切，
则圆心 到直线的距离为 ，所以 ①，
设 ，则联立抛物线与直线方程 得 ，
得 ，
所以 ，
则
，
整理得： ②，联立①②解得 或 ，
所以直线 的方程为 或 .故选：B.
8．设 ， ， ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，
令 ，所以 ，
令 得 ，
时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
所以 ，所以 ，
令 ，
所以 ，
所以 在 单调递增，
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据
（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）A．频率分布直方图中 的值为0.04
B．这100名学生中体重不低于60千克的人数为20
C．这100名学生体重的众数约为52.5
D．据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25
【答案】ACD
【解析】由 ，解得 ，故选项A正确；
体重不低于60千克的频率为 ，
所以这100名学生中体重不低于60千克的人数为 人，故选项B错误；
100名学生体重的众数约为 ，故选项C正确；
因为体重不低于60千克的频率为0.3，而体重在 ， 的频率为 ，
所以计该校学生体重的 分位数约为 ，故选项D正确．
故选：ACD．
10．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上，直线 交 于另一点 ，则（ ）
A． 的准线方程为 B．直线 的斜率为
C． D．线段 的中点的横坐标为
【答案】BD
【解析】对A：∵点 在抛物线 上，则 ，解得 ，
故抛物线 的方程为 ，焦点 ，准线 ，A错误；对B：直线 的斜率 ，B正确；
对C：直线 的方程 ，
联立方程 ，解得 或 ，
即 ，故 ，C错误；
对D：线段 的中点的横坐标为 ，D正确；
故选：BD.
11．如图，棱长为2的正方体 中，点E，F，G分别是棱 的中点，则
（ ）
A．直线 为异面直线
B．
C．直线 与平面 所成角的正切值为
D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9
【答案】BC
【解析】对于A，连接 ，由题意可知 ，因为 ，所以 ，所以 共面，
故选项A错误；
对于B，连接 ，
由题意可知 ，
所以 ，故选项B正确；
对于C，连接 ，
由正方体的性质可知 平面 ，所以 即为直线 与平面 所成的角，则
，故选项C正确；对于D，连接 ，
根据正方体的性质可得 ，且 ，
所以平面 即为过点B，E，F的平面截正方体的截面，该四边形为梯形，其上底 ，下底
为 ，高为 ，所以截面面积为 ，故选项D错误；
故选：BC
12．已知函数 的部分图象如图1所示， 分别为图象的最高
点和最低点，过 作 轴的垂线，交 轴于 ，点 为该部分图象与 轴的交点.将绘有该图象的纸
片沿 轴折成直二面角，如图2所示，此时 ，则下列四个结论正确的有（ ）
A．
B．
C．图2中，D．图2中， 是 及其内部的点构成的集合.设集合 ，则 表示的区域的
面积大于
【答案】AC
【解析】函数 的最小正周期为 ，
在图2中，以点 为坐标原点， 、 的方向分别为 、 轴的正方向建立如下图所示的空间
直角坐标系 ，
设点 ，则点 、 ，
，因为 ，解得 ，故A正确；
所以， ，则 ，可得 ，
又因为函数 在 附近单调递减，且 ，所以， ，故B错误；
因为 ，可得 ，
又因为点 是函数 的图象在 轴左侧距离 轴最近的最高点，则 ，可得 ，
所以， ，
因为点 是函数 在 轴右侧的第一个对称中心，所以， ，可得 ，翻折后，则有 、 、 、 ，
所以， ， ，
所以，在图2中， ，故C正确；
在图2中，设点 ， ，
可得 ，
， ， ，
易知 为锐角，则 ，
所以，区域 是坐标平面 内以点 为圆心，半径为 ，且圆心角为 的扇形及其
内部，
故区域 的面积 ，故D错误.
故选：AC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量 ， ，若 与 共线，则 .
【答案】
【解析】 ， ，则 ，
，故 ，解得14．已知函数 是偶函数，则 ．
【答案】
【解析】由已知， ，因为 为偶函数，所以
，即 ，对 恒成立，
即 ，对 恒成立，解得 .
15． 的展开式中 的系数为 （用数字作答）.
【答案】
【解析】 ，
展开式的通项为 ，
取 得到 ；
取 得到 ；
取 得到 ；
故 的系数为 .
16．若存在 ，使得函数 与 的图象有公共点，且在公共点处
的切线也相同，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】 的定义域为 ， 的定义域为R，
设两函数图象的公共点横坐标为 ，则 ，， ，则 ，即 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 （舍去）， 满足要求，
且 ，即 ，
故 ， ，
令 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值，
故 ，所以 的最大值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（本小题满分10分）在① ，② 中任选一个作为已知条件，
补充在下列问题中，并作答．
问题：在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知______．
(1)求B；
(2)若 的外接圆半径为2，且 ，求ac．
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】（1）选择条件①：
因为 ，在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，则 ，
因为 ，所以 .选择条件②：
因为 ，在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，则 ，
即 ，又 ，
所以 .因为 的外接圆半径 ，
所以由正弦定理可得 ，所以 .
18．（本小题满分12分）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 .
【解析】（1）由 得 时，
两式相减得 ,整理得
因为 ，所以 ,所以数列 是以 为公差的等差数列
在 中令 解得
所以 .
（2）当 时，
又 ， ，...， 是首项为2，公差为2的等差数列，
所以 ，
故 ．所以
当 时
，
又 ， ，...， 是首项为2，公差为2的等差数列，
所以 ，
故 ．所以
当 为偶数时, ; 当 为奇数时, .
19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中 ，平面 平面 ，四边形
是矩形，四边形 是平行四边形，且 ， ， ，以 为直径的圆
经过点 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【解析】（1） 以 为直径的圆经过点 ， ，四边形 为矩形，所以 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ， ，
又 平面 ， 平面 ， ， ， 平面 ，
平面 ；
（2） 平面 ，又 平面 ， 平面 ，
， ，
又 ， ，则 、 、 两两互相垂直，
以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
， ， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
则点 ， ， ， ， ，
则 ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，平面 的法向为 ，
则得 ， ，
取 ， ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
20．（本小题满分12分）市教育局计划举办某知识竞赛，先在 ， ， ， 四个赛区举办预赛，
每位参赛选手先参加“赛区预赛”，预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛．赛区预赛的具体
规则如下：每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题．方式一：每轮必答2个问题，
共回答6轮，每轮答题只要不是2题都错，则该轮次中参赛选手得20分，否则得0分，各轮答题
的得分之和即为预赛得分；方式二：每轮必答3个问题，共回答4轮，在每一轮答题中，若答对不
少于2题，则该轮次中参赛选手得30分，如果仅答对1题，则得20分，否则得0分．各轮答题的
得分之和即为预赛得分．记某选手每个问题答对的概率均为 ．
（1）若 ，求该选手选择方式二答题晋级的概率；
（2）证明：该选手选择两种方式答题的得分期望相等．
【解析】（1）该选手选择方式二答题，记每轮得分为 ，
则 可取值为0，20，30，
且 ， ，
记预赛得分为 ，
∴该选手所以选择方式二答题晋级的概率为 ．
（2）该选手选择方式一答题：
设每轮得分为 ，则 可取值为0，20，
且 ，
∴ ，
设预赛得分为 ，则 ，．
该选手选择方式二答题：
设每轮得分为 ，则 可取值为0，20，30，且
，
，
，
∴ ．
设预赛得分为 ，则
，
因为 ，所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等．
21．（本小题满分12分）已知函数 ， .
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1） 的定义域为 ，当 时， ，
，
设 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，当 ， ， 单调递增.
所以， ，则 对任意的 恒成立，
所以，函数 的单调递增区间为 ，无递减区间.
（2）解：当 时， 恒成立等价于 在 上恒成立，
设 ，
则 ，
设 ，
则 图象为开口向上，对称轴为 的抛物线的一部分，
当 时， ， 在 单调递增，且 ，
所以， ，即 ，则函数 在 上单调递增，
又因为 ，所以 在 恒成立，满足题意；
当 时， ， ，
所以方程 有两相异实根，设为 、 ，且 ，则 ，
当 时， ， ， 在 上单调递减，
又因为 ，故当 时， ，
所以， 在 上不恒成立，不满足题意.
综上， 的取值范围为 .
22．（本小题满分12分）已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ，，离心率为 ， 是椭圆 上不同的两点，且点 在 轴上方， ，直线
， 交于点 .已知当 轴时， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求证：点 在以 ， 为焦点的定椭圆上.
【解析】（1）由题知， ，点 在椭圆C上，则 ，解得 ，
所以椭圆C的方程为 ；
（2）证明：∵ ，且点A在x轴上方
∴设 ， ， ， ，设直线 的方程为 ，则直线 的方程为
，
由 ，得 ，∴ 或
（舍），
∴
同理 ，所以 ，
由 ，得
∴∴
又点B在椭圆C上，∴ ，则
∴
同理： ，所以
∴
又 ，
∴
∴点P在以 ， 为焦点的定椭圆上.
