文档内容
2024 年高考数学第一次模拟考试
高三数学（新高考 I 卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1．已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．1
2．已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．某戏曲学院图书馆藏有四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏
曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍（其他三部数量保持不
变）若干本．若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取
到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书
籍（ ）
A．25本 B．30本 C．35本 D．40本
4．某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过该设备过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量 （单位： ）与过滤时间 （单位： ）的关
系为 （ ， 是正常数）.若经过 过滤后减少了 的污染物，在此之后为了使得
污染物减少到原来的 还需要的时长大约为（参考数据： ）（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 中， ， ，P为 上一点，且满足 ，若
， ，则 的值为（ ）
A． B．3 C． D．
6．法国数学家傅里叶用三角函数诠释美妙音乐，代表任何周期性声音和震动的函数表达式都是形
如 的简单正弦型函数之和，这些正弦型函数各项的频率是最低频率的正整数倍（频率
是指单位时间内完成周期性变化的次数，是描述周期运动频繁程度的量），其中频率最低的一项所
代表的声音称为第一泛音，第二泛音的频率是第一泛音的2倍，第三泛音的频率是第一泛音的3
倍…….例如，某小提琴演奏时发出声音对应的震动模型可以用如下函数表达：
，（其中自变量 表示时间），每一项从左至右依
次称为第一泛音､第二泛音､第三泛音.若一个复合音的数学模型是函数
（从左至右依次为第一泛音､第二泛音），给出下列结论：
① 的一个周期为 ；
② 的图象关于直线 对称；③ 的极小值为 ；
④ 在区间 上有2个零点.
其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知正三棱柱 的底面边长为 ，高为3，截去该三棱柱的三个角（如图1所示，
D，E，F分别是 三边的中点），得到几何体如图2所示，则所得几何体外接球的表面积是
（ ）
A． B． C． D．
8．设 ， ， ，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．如图，在棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点，则下列说法正确的是
（ ）
A．四面体 的体积为B．向量 在 方向上的投影向量为
C．直线 与直线 垂直
D．直线 与平面 所成角的正弦值为
10．已知函数 ，其中e是自然对数的底数，则下列说法中正确的有（ ）
A． 为周期函数
B． 的图像关于点 对称
C． 在区间 上是减函数
D．关于x的方程 有实数解
11．已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过点 的直线交抛物线
于 两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线 的准线方程为 B．直线 与抛物线 相切
C． 为定值 D．
12．定义在 上的函数 的导函数为 ，对于任意实数 ，都有 ，且满
足 ，则（ ）
A．函数 为奇函数
B．不等式 的解集为
C．若方程 有两个根 ， ，则
D． 在 处的切线方程为
第 II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 的展开式中 的系数为 ，则 ．
14．已知 ，点 在圆 上，且 ，则 的取值范围为 ．
15．已知曲线 与曲线 （ ）相交，且在交点处有相同的切线，则
.
16．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 两点，连接 并延长，交抛物
线 于点 ，若 中点的纵坐标为 ，则当 最大时， ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知数列 满足： ，数列 为等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求和： ．
18．（12分）已知 中，内角 所对的边分别为 ，且满足 .
(1)若 ，求 ；
(2)求 的取值范围.
19．（12分）如图， 是四棱柱，侧棱 底面 ，底面 是梯形，
， ．(1)求证：平面 平面 ；
(2)E是底面 所在平面上一个动点，是否存在点E使得 与平面 夹角的正弦值为
？若存在，求点E到平面 距离的最小值；若不存在，请说明理由．
20．（12分）已知函数 ．
(1)试判断函数 的单调性；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
21．（12分）某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并
对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：
速度
性别 合计
快 慢
男生 65
女生 55
合计 110 200
(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？
(2)现有n 根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳
头打结完毕视为结束.（i）当 ，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；
（ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为
附：
0.100 0.050 0.025 0.010
k 2.706 3.841 5.024 6.635
22．（12分）已知点 是圆 ： 上一动点（ 为圆心），点 的坐标为 ，线
段 的垂直平分线交线段 于点 ，动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2) ， 是曲线 上的两个动点， 为坐标原点，直线 、 的斜率分别为 和 ，且
，则 的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)设 为曲线 上任意一点，延长 至 ，使 ，点 的轨迹为曲线 ，过点 的直线
交曲线 于 、 两点，求 面积的最大值．
