文档内容
2024 年高考数学第一次模拟考试（七省新高考）
数学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1．设i为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】先求出复数 ，再求 .
【详解】∵ ，∴ .
故选：A
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接解一元二次不等式得集合 ，解一元一次不等式的集合 ，从而可得并集 .【详解】因为 ，解得 或 ，所以 或 ，
又 ，所以 或 ．
故选：B.
3．“ ”是“方程 表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由椭圆的标准方程结合充分必要条件的定义即得.
【详解】若 ，则方程 表示焦点在 轴上的椭圆；
反之，若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ；
所以“ ”是“方程 表示焦点在x轴上的椭圆”的充要条件.
故选：A.
4．某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布 ．估计该校高三年级
本次考试学生数学成绩在120分以上的有（ ）
参考数据：若 ，则 ，
．
A．75人 B．77人 C．79人 D．81人
【答案】C
【分析】 ， ，由概率计算人数即可.
【详解】 ， ， ，
因为 ，
所以 ，所以数学成绩在 分以上的人数约为 人.
故选：C．
5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个有
趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再
回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 ，河岸
线所在直线方程为 ，若将军从点 处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回
到军营，则“将军饮马”的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得 关于直线 的对称点，根据点和圆的位置关系求得正确答案.
【详解】设 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
所以“将军饮马”的最短路程为 .
故选：D
6．已知函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】复合函数利用“同增异减”求解函数的单调性，求出函数在 上单调递减，从而
得到集合的包含关系，求出 的取值范围.
【详解】令 ，则 .由 在 上单调递减，则 在 上单调递减.
所以 .
所以 ，解得 .故选：D.
7．如图，在棱长为2的正方体 中， ， ， ， ， 均为所在棱的中点，则
下列结论正确的是（ ）
A．棱 上一定存在点 ，使得
B．设点 在平面 内，且 平面 ，则 与平面 所成角的余弦值的
最大值为
C．过点 ， ， 作正方体的截面，则截面面积为
D．三棱锥 的外接球的体积为
【答案】C
【分析】对于A，建立空间直角坐标系，由数量积判定即可；对于B，先确定M的位置，由空间
中的线面关系计算即可；对于C，由平面的性质确定截面图象，计算正六边形的面积即可；对于
D，确定球心及球半径计算即可.【详解】
如图所示建立空间直角坐标系，
对于A项，可设 ，而 ，
∴ ，
令 ，故A错误；
如图所示，取 中点T、S，连接 ，易证面 面 ，则M在线段ST
上，连接 ，
由正方体特征可知 与平面 所成角为 ,
且 ，显然 越大 越大，
，故B错误；如图所示，取 中点Y，顺次连接EPGSFY，易知面EPGSFY为该截面，且是正六边形，
如图，设正六边形的中心为O，连接OS、OG、OP、OE、OY、OF，则将正六边形分割为六个正
三角形，
故 ，故C正确；
对于D项，易证 为等腰直角三角形，则其外接圆圆心为EH的中点Z，过Z作ZN⊥面
EPH，
交面 于N，则N为 的中心，三棱锥F-EPH的外接球球心Q在直线ZN上，
设球半径为 ， ，
则 ，故 .
故选：C
8．定义在区间 上的函数 满足： 对 恒成立，其中
为 的导函数，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分别构造函数 ， ， ， ，利用导数研究其单调
性即可得出．
【详解】令 ， ，
，
， 恒成立，
， ，
， 函数 在 上单调递增，
， ．
令 ， ， ，
， 恒成立，， 函数 在 上单调递减，
， ．综上可得： ，
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知一组样本数据 ，其中 （ ，2，…，15），由这组数据得到另一组新的
样本数据 ， ，…， ，其中 ，则（ ）
A．两组样本数据的样本方差相同
B．两组样本数据的样本平均数相同
C． ， ，…， 样本数据的第30百分位数为
D．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为5
【答案】AC
【分析】根据一组数据加减一个数以及乘以一个数时，平均数以及方差的性质可判断ABD；根据
百分位数的计算可判断C；
【详解】由题意可得： ，
∵ ，则 ， ，故A正确，B错误；
由于求 第30百分位数：15×0.3=4.5，故为第5个数，
的排列为： ，
因此，第30百分位数为 ，C正确；
将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，
新样本的平均数为 ，D错误，
故选：AC．
10．若函数 （ ， ， ）的图象如图，且 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的周期为5
B．函数 的对称轴为 ，
C．函数 在 内没有单调性
D．若将 的图象向左平移 （ ）个单位长度，得到的函数图象关于 轴对称，则
的最小值为1
【答案】BD
【分析】根据给定的函数及图象，结合“五点法”作图，求出函数 的解析式，再逐项分析、
计算判断作答.
【详解】观察图象知， ，而 ，解得 ，又 ，则 ，
因为 ，由“五点法”作图知， ，解得 ，于是 ，
对于A，函数 的周期 ，A错误；
对于B，由 ，得 ，函数 图象的对称轴为 ，
B正确；
对于C，当 时， ，因此函数 在 上单调递增，C错误；
对于D，将 的图象向左平移 （ ）个单位长度，得到函数 的图象，
依题意， ，解得 ，因此 ，D正确.
故选：BD11．已知定义在 上的函数 满足 ，且 为偶函数，则下列说法
一定正确的是（ ）
A．函数 的周期为2 B．函数 的图象关于 对称
C．函数 为偶函数 D．函数 的图象关于 对称
【答案】BC
【分析】根据给定的信息，推理论证周期性、对称性判断AB；借助变量替换的方法，结合偶函数
的定义及对称性意义判断CD作答.
【详解】依题意， 上的函数 ， ，则 ，函数
的周期为4，A错误；
因为函数 是偶函数，则 ，函数 的图象关于 对称，
且 ，即 ，函数 图象关于 对称，B正确；
由 得 ，则函数 为偶函数，C正确；
由 得 ，由 得 ，
因此 ，函数 的图象关于 对称，D错误.
故选：BC
12．已知 是抛物线 的焦点，点 在抛物线 上，过点 的两条互相垂直
的直线 ， 分别与抛物线 交于 ， 和 ， ，过点 分别作 ， 的垂线，垂足分别为 ，
，则（ ）
A．四边形 面积的最大值为2
B．四边形 周长的最大值为C． 为定值
D．四边形 面积的最小值为32
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出抛物线 的方程，确定四边形 形状，利用勾股定理及均值不
等式计算判断A，B；设出直线 的方程，与抛物线方程联立，求出弦 长即可计算推理判断
C，D作答.
【详解】依题意， ，解得 ，即抛物线 ： ，焦点 ，准线方程为：
，直线 ， 与坐标轴不垂直，
因为 ， ，则四边形 为矩形，有
，
当且仅当 时取等号， ，即四边形 面积的最大值为2，
A正确；
因为 ，则 ，
当且仅当 时取等号，因此四边形 周长 的最大值为 ，B
正确；设直线 方程为： ， ，由 消去y得： ，则
，
，同理 ，
因此 ，C错误；
四边形 面积 ，
当且仅当 时取等号，所以四边形 面积的最小值为32，D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知向量 是单位向量，且 与 垂直， 与 的夹角为135°，则 ．
【答案】
【分析】根据数量积定义与运算律求解．
【详解】由题意 ，∴ ，
故答案为： ．
14．已知正四棱台 中， ， ，则其体积为 .
【答案】
【分析】作出正四棱台的直观图，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于
点 ，利用勾股定理求出棱台的高，最后根据棱台的体积公式计算可得.
【详解】如图正四棱台 中 ，则 ， ，过点 作 交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，
则 ，又 ，所以 ，
即正四棱台 的高 ，
所以棱台的体积 .
故答案为：
15．试写出曲线 与曲线 的一条公切线方程 .
【答案】 或 （写出一个即可）
【分析】设出切点坐标，根据切线斜率相等，建立等式，解出即可.
【详解】设公切线 与曲线 切于点 ，
与曲线 切于点 .
由 ，得 .由 ，得 .
令 ，即 ，则 ，
且 ，即 ，
化为 ，
所以 ，解得 或 .
当 时， ， ，
此时切线 的方程为 ，即 .
当 时， ， ，
此时切线 的方程为 ，即 .
综上可知，切线 的方程为 或 ，写出任意一个即可.
故答案为： 或 ，写出任意一个即可.
16．已知各项都不为0的数列 的前 项和 满足 ，其中 ，设数列 的前
项和为 ，若对一切 ，恒有 成立，则 能取到的最大整数是 .
【答案】
【分析】根据题意推得 ，利用等差数列的通项公式，求得 的通项公式为 ，
得到 ，令 ，结合 ，求得 最小
时为 ，根据 恒成立，求得 ，即可求解.
【详解】因为 ，当 时， ，
两式相减可得 ，即 ，因为数列 的各项都不为0，所以 ，
因为 ，所以 ，
数列 的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列，所以 ；
数列 的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以 ，
故数列 的通项公式为 ，可得 ，所以 ，
令 ，
，
，则 ，
所以 随着 的增大而增大，即 在 处取最小值， ，
又因为对一切 ，恒有 成立，所以 ，解得 ，
故 能取到的最大整数是 .
故答案为： .
三、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c， ．
(1)求cosB；
(2)若b＝3，a＞c，△ABC的面积为 ，求a．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得 ，再利用 可得答案；（1）利用 可得 由余弦定理得 ，再由a，c可看作一元二次方程
的两不等实根可得答案.
(1)
因为 ，由正弦定理得
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，可得 .
(2)
，∵ ，可得
在△ABC中，由余弦定理得 ，∴ ，
， ，∴a，c可看作一元二次方程 的两不等实根，
∵ ∴ .
18．设同时满足条件：① ；② ， 是常数）的无穷数列 叫做 数
列，已知数列 的前 项和 满足 为常数，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若数列 为等比数列，求 的值；并证明数列 为 数列．
【答案】(1)(2) ，证明见解析
【分析】(1)根据关系 ，结合条件求数列 的通项公式；
(2)根据等比数列性质求 的值；根据 数列的定义证明结论.
【详解】（1）当 时， ， ．
当 时， ，
整理得 ，又 ，
所以 ，
即数列 是以 为首项、 为公比的等比数列，
；
（2）由（1）知， ， ，
所以 ， ， ，
由数列 是等比数列，则 ，
故 ，解得 ，
再将 代入 式，得 ．
因为 ，所以数列 为等比数列，故 满足要求；
由于 ，满足条件①；
又由于 ，故存在 满足条件②．故数列 为 数列．
19．四棱锥 中，四边形 为梯形，其中 ， ，
，平面 平面 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，且 与平面 所成角的正弦值为 ，点 在线段 上且满足 ，
求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）由题设可得 ，利用面面垂直的性质可得 面 ，再由线面垂直的性
质证 ；
（2）若 为 中点，连接 ，首先求证 ， 两两垂直，构建空间直角坐标系，确定
相关点坐标并令 且 ，根据线面角及向量夹角的坐标表示求参数m，进而可得
，再求面 、面 的法向量，应用向量夹角的坐标运算求二面角余弦值.
（1）
由题设，△ 为等边三角形，则 ，
又四边形 为梯形， ，则 ，
在△ 中， ，即 ，
面 面 ，面 面 ， 面 ，则 面 ，
又 面 ，故 .（2）
若 为 中点， ，则 ，
面 面 ，面 面 ， 面 ，则 面 ，
连接 ，则 ，且 面 ，故 ，
综上， ， 两两垂直，
构建以 为原点， 为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，
所以 ， ， ， ，若 且 ，则 ，
而面 的一个法向量为 ， ，
所以 ，可得 ，故 ，
所以 ， ， ，
若 是面 的一个法向量，则 ，
取 ，若 是面 的一个法向量，则 ，取 ，
所以 ，
由图知：锐二面角 的余弦值 .
20．击鼓传花，也称传彩球，是中国古代传统民间酒宴上的助兴游戏，属于酒令的一种，又称“击
鼓催花”，在唐代时就已出现．杜牧《羊栏浦夜陪宴会》诗句中有“球来香袖依稀暖，酒凸觥心泛
艳光”，可以得知唐代酒宴上击鼓传花助兴的情景．游戏规则为：鼓响时，开始传花(或一小物件)，
鼓响时众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中(或其序位前)，谁就上台表演节目(多是唱
歌、跳舞、说笑话：或回答问题、猜谜、按纸条规定行事等)．某单位组织团建活动，9人一组，
共9组，玩击鼓传花，组号 （前五组）与组内女性人数 统计结果如表：
x 1 2 3 4 5
y 2 2 3 4 4
若女性人数 与组号 (组号变量 依次为1，2，3，4，5，…)具有线性相关关系．
(1)请求出女性人数 关于组号 的回归直线方程；（参考公式 ， ）
(2)从前5组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于3人的有 组，求 的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）利用已知条件求解回归直线方程的系数, 然后求解回归直线方程（2）由题可知 的
所有可能取值为 ,求出概率得到 的分布列,然后求解期望即可.
(1)
解：由题可得
．，
则
所以
(2)
解：由题可知 的所有可能取值为 ， ， ， ，
， ，
则X的分布列为
∴ ．
21．已知双曲线 ： 的离心率为 ，直线 ： 与双曲线C仅有一
个公共点.
(1)求双曲线 的方程
(2)设双曲线 的左顶点为 ，直线 平行于 ，且交双曲线C于M，N两点，求证： 的垂心
在双曲线C上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由离心率为 可得 ，再联立直线与双曲线利用判别式可得 的方程；（2）设 方程，及 的坐标，由过A引 的垂线交C于另一点H，可得点H为 .
再证 即可.
【详解】（1）因为双曲线 的离心率为 ，所以 ，即 ，
所以双曲线 的方程为 ，
联立直线 与双曲线 的方程 ，消去 得 ，
即 ，
因为 与双曲线C仅有一个公共点，
所以 ，
解得 ,
故双曲线 的方程为 .
（2）设 ， ， 则 满足
消去 得 ，
所以 ， ，
如图所示，过A引 的垂线交C于另一点H，则AH的方程为 .
代入 得 ，即 （舍去）或 .
所以点H为 .
所以
，
所以 ，
故 为 的垂心，得证.
22．已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明：当 时， 恒成立．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）对参数 分类讨论，在不同情况下利用导数判断函数单调性，即可求得结果；
（2）将问题转化为证明 ，构造函数 ，利用导数判断其单调
性，结合题意，即可证明.
【详解】（1） 的定义域是 ， ，① 时， ， 在 单调递增，
② 时， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
故 在 递减，在 递增，
综上：
时， 在 单调递增， 时， 在 递减，在 递增.
（2）要证 ，即证 ， ，
①当 时， ， ，该不等式恒成立；
②当 时， ，结合 ，得 ，
只需证明： ，即证 ，
令 ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
又 ， ，所以存在 ，使得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ， ， ， ，
所以当 时， ；当 时， ，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，问题得证，
即当 时， 恒成立．
综上所述，当 时， 恒成立．
