新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（学生版）(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

新高考新题型第 19 题新定义压轴解答题全归纳
【目录】
考点一：集合新定义
考点二：函数与导数新定义
考点三：立体几何新定义
考点四：三角函数新定义
考点五：平面向量与解三角形新定义
考点六：数列新定义
考点七：圆锥曲线新定义
考点八：概率与统计新定义
考点九：高等数学背景下新定义
创新意识与创新应用是新时代的主旋律，也是高中数学教学与学习中需要不断渗透与培养的一种基本精神
与能力！借助“新定义”，可以巧妙进行数学知识中的概念类比、公式设置、性质应用、知识拓展与创新应用等的
交汇与融合，很好地融入创新意识与创新应用.
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求同
学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。
考点要求 考题统计 考情分析
集合新定义 2018年北京卷第20题，14分 【命题预测】
2024年九省联考之后，第19题将考查新定义问题。现在
2023年北京卷第21题，15分
也有部分地区考试采用该结构考试，比如安徽合肥一中省
数列新定义 2022年北京卷第21题，15分
十联考等。预测2024年新高考试卷第19题结构考查新定
2021年北京卷第21题，15分
义问题，压轴题，难度比较大．
1. 代数型新定义问题的常见考查形式
(1)概念中的新定义；
(2)运算中的新定义；
1(3)规则的新定义等．
2. 解决“新定义”问题的方法
在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定
义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决
方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决！
1 (2018•北京)设n为正整数，集合A={α|α=(t ，t ，⋯t )，t ∈{0，1}，k=1，2，⋯，n}，对于集合A
1 2 n k
1
中的任意元素α=(x ，x ，⋯，x )和β=(y ，y ，⋯y )，记M(α，β)= [(x+y-|x-y|)+(x +y -|x -y
1 2 n 1 2 n 2 1 1 1 1 2 2 2 2
|)+⋯(x +y -|x -y |)]．
n n n n
(Ⅰ)当n=3时，若α=(1，1，0)，β=(0，1，1)，求M(α,α)和M(α,β)的值；
(Ⅱ)当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M(α,β)是奇数；当α，
β不同时，M(α,β)是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
(Ⅲ)给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M(α,β)=0，写出
一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
2 (2023•北京)数列{a }，{b }的项数均为m(m>2)，且a ，b ∈{1，2，⋯，m}，{a }，{b }的前n项和
n n n n n n
分别为A ，B ，并规定A =B =0．对于k∈{0，1，2，⋯，m}，定义r =max{i|B≤A ，i∈{0，1，2，⋯，m}
n n 0 0 k i k
}，其中，maxM表示数集M中最大的数．
(Ⅰ)若a=2，a =1，a =3，b=1，b =3，b =3，求r ，r ，r ，r 的值；
1 2 3 1 2 3 0 1 2 3
(Ⅱ)若a≥b ，且2r≤r +r ，j=1，2，⋯，m-1，求r ；
1 1 j j+1 j-1 n
(Ⅲ)证明：存在0≤p<q≤m，0≤r<s≤m，使得A +B=A +B ．
p s q r
23 (2022•北京)已知Q:a ，a ，⋯，a 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1，2，⋯，m}，
1 2 k
在Q中存在a，a ，a ，⋯，a (j≥0)，使得a+a +a +⋯+a =n，则称Q为m-连续可表数列．
i i+1 i+2 i+j i i+1 i+2 i+j
(Ⅰ)判断Q:2，1，4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；
(Ⅱ)若Q:a ，a ，⋯，a 为8-连续可表数列，求证：k的最小值为4；
1 2 k
(Ⅲ)若Q:a ，a ，⋯，a 为20-连续可表数列，且a+a +⋯+a <20，求证：k≥7．
1 2 k 1 2 k
4 (2021•北京)设p为实数．若无穷数列{a }满足如下三个性质，则称{a } 为ℜ 数列：
n n p
①a+p≥0，且a +p=0；
1 2
②a <a (n=1，2，⋯)；
4n-1 4n
③a ∈{a +a +p，a +a +p+1}(m=1，2，⋯；n=1，2，⋯)．
m+n m n m n
(Ⅰ)如果数列{a }的前四项为2，-2，-2，-1，那么{a }是否可能为ℜ 数列？说明理由；
n n 2
(Ⅱ)若数列{a }是ℜ 数列，求a ；
n 0 5
(Ⅲ)设数列{a }的前n项和为S ，是否存在ℜ 数列{a }，使得S ≥S 恒成立？如果存在，求出所有的p；如
n n p n n 10
果不存在，说明理由．
3考点一：集合新定义
1 (2024·北京顺义·高三统考期末)给定正整数n≥3，设集合A=a,a ,⋯,a
1 2 n
4
 ．若对任意i，j∈{1,2,
⋯,n}，a+a ，a-a 两数中至少有一个属于A，则称集合A具有性质P．
i j i j
(1)分别判断集合1,2,3  与-1,0,1,2  是否具有性质P；
(2)若集合A={1,a,b}具有性质P，求a+b的值；
(3)若具有性质P的集合B中包含6个元素，且1∈B，求集合B．
2 (2024·北京·高三北京四中校考期末)已知集合S=a,a ,⋯,a 1 2 n  n≥3  ，集合T⊆
x,y    x∈S,y∈S,x≠y   ，且满足，∀a i ,a j ∈Si,j=1,2,⋯,n,i≠j  ，a,a i j  ∈T与a,a j i  ∈T恰有一个成
立.对于T定义d Ta,b 
1,a,b
=
 ∈T
0,b,a 

 ∈T ，以及l Ta i 
n
= d a,a T i j
j=1,j≠i
  ，其中i=1,2,⋯,n.
例如l Ta 2  =d Ta 2 ,a 1  +d Ta 2 ,a 3  +d Ta 2 ,a 4  +⋯+d Ta 2 ,a n  .
(1)若n=4，a 1 ,a 2  ,a 3 ,a 2  ,a 2 ,a 4  ∈T，求l Ta 2  的值及l Ta 4  的最大值；
(2)从l Ta 1  ,⋯,l Ta n  中任意删去两个数，记剩下的数的和为M，求M的最小值(用n表示)；
(3)对于满足l Ta i  <n-1i=1,2,⋯,n  的每一个集合T，集合S中是否都存在三个不同的元素e，f，g，使
得d Te,f  +d Tf,g  +d Tg,e  =3恒成立？请说明理由.3 (2024·北京·高三景山学校校考期末)设集合A ={1,2,3,⋯,2n}(n∈N∗,n≥3)，如果对于A 的每一
2n 2n
个含有m(m≥4)个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于4n+1，称正整数m为集合A 的一个“相关
2n
数”.
(1)当n=3时，判断5和6是否为集合A 的“相关数”，说明理由；
6
(2)若m为集合A 的“相关数”，证明：m-n-3≥0；
2n
(3)给定正整数n，求集合A 的“相关数”m的最小值.
2n
4 (2024·北京·101中学校考模拟预测)设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意x∈A，都有x-
1∈A或x+1∈A，则称A为自邻集.记集合A ={1,2⋯,n}(n>2,n∈N)的所有子集中的自邻集的个数
n
为a .
n
(1)直接写出A 的所有自邻集；
4
(2)若n为偶数且n>6，求证：A 的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
n
(3)若n≥4，求证：a ≤2a .
n n-1
5考点二：函数与导数新定义
1 (2024·广东茂名·统考一模)若函数fx
6
 在a,b  上有定义，且对于任意不同的x 1 ,x 2 ∈a,b  ，都有
fx 1  -fx 2    <kx 1 -x 2  ，则称fx  为a,b  上的“k类函数”.
(1)若fx 
x2
= +x，判断fx
2
 是否为1,2  上的“3类函数”；
(2)若fx  =ax-1 
x2
ex- -xlnx为1,e
2
 上的“2类函数”，求实数a的取值范围；
(3)若fx  为1,2  上的“2类函数”，且f1  =f2  ，证明：∀x 1 ，x 2 ∈1,2  ，fx 1  -fx 2    <1.
2 (2024·山东·高三校联考阶段练习)定义函数f nx 
x2 x3
=1-x+ - +⋯+-1
2 3

xn
n n∈N*
n
 ．
(1)求曲线y=f nx  在x=-2处的切线斜率；
(2)若f 2x  -2≥kex对任意x∈R恒成立，求k的取值范围；
(3)讨论函数f nx  的零点个数，并判断f nx  是否有最小值．若f nx  有最小值m﹐证明：m>1-ln2；若
f nx  没有最小值，说明理由．
(注：e=2.71828⋯是自然对数的底数)3 (2024·上海嘉定·统考一模)对于函数y=f(x)，把f(x)称为函数y=f(x)的一阶导，令f(x)=g(x)，则
将g(x)称为函数y=f(x)的二阶导，以此类推⋯得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用[f(x)] 表
n
示.
(1)已知函数f(x)=ex+alnx-x2，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.
(2)现定义一个新的数列：在y=f(x)取a=f(1)作为数列的首项，并将[f(1+n)] ,n≥1作为数列的第n+
1 n
1项.我们称该数列为y=f(x)的“n阶导数列”
①若函数g(x)=xn(n>1)，数列{a }是y=g(x)的“n阶导数列”，取Tn为{a }的前n项积，求数列
n n
T
 n

T
n-1
7
 的通项公式.
②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，
请写出它并证明此结论.(写出一个即可)
4 (2024·上海·高三上海市七宝中学校联考阶段练习)已知函数fx  =ex-x，gx  =e-x+x，其中e为自
然对数的底数，设函数Fx  =afx  -gx  ，
(1)若a=e，求函数y=Fx  的单调区间，并写出函数y=Fx  -m有三个零点时实数m的取值范围；
(2)当0<a<1时，x 1 、x 2 分别为函数y=Fx  的极大值点和极小值点，且不等式Fx 1  +tFx 2  >0对任
意a∈0,1  恒成立，求实数t的取值范围.
(3)对于函数y=fx  ，若实数x 0 满足fx 0  fx 0 +F  =D，其中F、D为非零实数，则x 0 称为函数fx  的“F
-D-笃志点”.
①已知函数fx 
ex, x>0

= 1 , x<0 ，且函数fx
x+a
 有且只有3个“1-1-笃志点”，求实数a的取值范围；
②定义在R上的函数fx  满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得fm+x  =fm-x  恒成立或
fm+x  =-fm-x  恒成立.对于有序实数对F,D  ，讨论函数fx  “F-D-笃志点”个数的奇偶性，并
说明理由考点三：立体几何新定义
1 (2024·安徽·校联考模拟预测)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果
坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条
数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°
  
坐标系”下向量的斜60°坐标：i,j,k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴､z轴)正方向的单位向
    
量，若向量n=xi +yj +zk，则n与有序实数组x,y,z
8

 
相对应，称向量n的斜60°坐标为[x,y,z]，记作n=
[x,y,z]．

(1)若a=1,2,3 
  
，b=[-1,1,2]，求a+b的斜60°坐标；
(2)在平行六面体ABCD-ABCD 中，AB=AD=2,AA=3，∠BAD=∠BAA=∠DAA=60°，N为线段
1 1 1 1 1
  
DC 的中点．如图，以AB,AD,AA
1 1  1
 为基底建立“空间斜60°坐标系”．

①求BN 的斜60°坐标；

②若AM =2,-2,0 
 
，求AM 与BN 夹角的余弦值．a a a
1 2 3

2 (2024·河南·高三校联考期末)三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：b b b
1 2 3
c c c
1 2 3
9

  
i j k
  
=ab c +a b c+a bc -a b c-a bc -ab c ．若a×b= x y z
1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2 1 1 1
x y z
2 2 2
    
，则称a×b为空间向量a与b的叉乘，
          
其中a=x i +y j +zk(x,y,z∈R)，b=x i +y j +z k(x ,y ,z ∈R)，i,j,k
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 
 为单位正交基底．以O为
  
坐标原点、分别以 i,j,k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A，B是空间直角坐标
系中异于O的不同两点．
(1)①若A1,2,1  ，B0,-1,1 
 
，求OA×OB；
    
②证明：OA×OB+OB×OA=0．
 
1
(2)记△AOB的面积为S ，证明：S = OA×OB
△AOB △AOB 2
 ．
 
(3)证明：OA×OB 
 
2的几何意义表示以△AOB为底面、OA×OB  为高的三棱锥体积的6倍．
3 (2024·上海普陀·高三校考期末)对于一个三维空间，如果一个平面与一个球只有一个交点，则称这个
平面是这个球的切平面.已知在空间直角坐标系O-xyz中，球O的半径为1，记平面xOy、平面zOx、平面
yOz分别为α、β、γ.
a
(1)若棱长为a的正方体、棱长为b的正四面体的内切球均为球O，求 的值；
b
1 1 1
(2)若球O在 , ,
6 3 2
 处有一切平面为λ ，求λ 与α的交线方程，并写出它的一个法向量；
0 0
(3)如果在球面上任意一点作切平面λ，记λ与α、β、γ的交线分别为m、n、p，求O到m、n、p距离乘积的最
小值.4 (2024·全国·高三专题练习)无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门
广场三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严⋯⋯171金帆合唱团，
这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典
礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称
之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱(图2)由上底面各棱向内切割为正六棱台(图3)，正
六棱柱的侧棱DH交A 1 D 1 的延长线于点H，经测量∠D 1 DH=12°，且AB=10,A 1 B 1 =8⋅sin12°≈0.2
10

(1)写出三条正六棱台的结构特征.
(2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，估
1
算金帆排练厅对应几何体体积.(棱台体积公式：V= hS+ SS+S
3
 )
(3)“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学.
学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数Sx  =sinx+
1
sin2xx∈R
2
 ，你看这多美妙!”
“小迷糊”：“.....”
亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下Sx  的最大值吧.考点四：三角函数新定义
1 对于定义域R上的函数f(x)，如果存在非零常数T，对任意x∈R，都有f(x+T)=Tf(x)成立，则称
f(x)为“T函数”．
(1)设函数f(x)=x，判断f(x)是否为“T函数”，说明理由；
(2)若函数g(x)=ax(a>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点，证明：gx
11
 为“T函数”；
(3)若函数h(x)=cosmx为“T函数”，求实数m的取值范围．
2 若对于定义在R上的连续函数f(x)，存在常数a(a∈R)，使得f(x+a)+af(x)=0对任意的实数x成
立，则称f(x)是回旋函数，且阶数为a.
(1)试判断函数f(x)=sinπx是否是一个阶数为1的回旋函数，并说明理由；
(2)已知f(x)=sinωx是回旋函数，求实数ω的值；
(3)若回旋函数f(x)=sinωx-1(ω>0)在0,1  恰有100个零点，求实数ω的值．考点五：平面向量与解三角形新定义

1 已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx，称向量OM =(a,b)为函数f(x)的相伴特征向

量，同时称函数f(x)为向量OM 的相伴函数．

8 π π
(1)记向量ON =(1, 3)的相伴函数为f(x)，若当f(x)= 且x∈- ,
5 3 6
12
 时，求sinx的值；

π
(2)已知A(-2,3)，B(2,6)，OT=(- 3,1)为h(x)=msinx-
6

x π
的相伴特征向量，φ(x)=h -
2 3
 ，请
 
问在y=φ(x)的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由；

(3)记向量ON =(1, 3)的相伴函数为f(x)，若当x∈ 0, 11π
 12
 π 时不等式f(x)+kfx+
2
 >0恒成立，求实
数k的取值范围．
2 如图，半圆O的直径为2cm，A为直径延长线上的点，OA=2cm，B为半圆上任意一点，以AB为一
边作等边三角形ABC.设∠AOB=α.
π
(1)当α= 时，求四边形OACB的周长；
3
(2)克罗狄斯⋅托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四
边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当
线段OC的长取最大值时，求∠AOC.
(3)问：B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值．3 将平面直角坐标系中的一列点A 11,a 1
13
 、A 22,a 2  、⋯、A nn,a n  、⋯，记为A n  ，设fn 

=A A ⋅ n n+1
 
j，其中 j 为与y轴方向相同的单位向量．若对任意的正整数n，都有fn+1  >fn  ，则称A n  为T点列．
(1)判断A 11,1 
1
、A 2, 2 2 
1
、A 3, 3 3 
1
、⋯、A n, n n  、⋯是否为T点列，并说明理由；
(2)若A
n
 为T点列，且a >a.任取其中连续三点A 、A 、A ，证明△A A A 为钝角三角形；
2 1 k k+1 k+2 k k+1 k+2
(3)若A n  为T点列，对于正整数k、l、mk<l<m 
   
，比较AA ⋅ j 与A A ⋅ j 的大小，并说明理由． l m+k l-k m
  
4 对于给定的正整数n，记集合Rn={α|α=(x,x ,x ,⋅⋅⋅,x ),x∈R,j=1,2,3,⋅⋅⋅,n}，其中元素α称为一
1 2 3 n j

个n维向量．特别地，0=(0,0,⋅⋅⋅,0)称为零向量．
   
设k∈R，α=(a ,a ,⋅⋅⋅,a )∈Rn，β=(b ,b ,⋅⋅⋅,b )∈Rn，定义加法和数乘：α+β=(a +b ,a +b ,⋅⋅⋅,a +b )，
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n

kα=(ka,ka ,⋅⋅⋅,ka ).
1 2 n
    
对一组向量α ，α ，⋯，α(s∈N ,s≥2)，若存在一组不全为零的实数k ，k ，⋯，k ，使得k α +k α +⋅⋅⋅+k
1 2 s + 1 2 s 1 1 2 2 s
 
α =0，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
s
(Ⅰ)对n=3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
 
①α=(1,1,1)，β=(2,2,2)；
  
②α=(1,1,1)，β=(2,2,2)，γ=(5,1,4)；
   
③α=(1,1,0)，β=(1,0,1)，γ=(0,1,1)，δ=(1,1,1).
        
(Ⅱ)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量α+β，β+γ，α+γ是线性相关还是线性无关，并说明理由．
  
(Ⅲ)已知m(m≥2)个向量α ，α ，⋯，α 线性相关，但其中任意m-1个都线性无关，证明下列结论：
1 2 m
   
(ⅰ)如果存在等式k α +k α +⋅⋅⋅+k α =0(k∈R,i=1,2,3,⋅⋅⋅,m)，则这些系数k ，k ，⋯，k 或者全为零，
1 1 2 2 m m i 1 2 m
或者全不为零；
       
(ⅱ)如果两个等式k α +k α +⋅⋅⋅+k α =0，l α +l α +⋅⋅⋅+l α =0(k∈R,l∈R,i=1,2,3,⋅⋅⋅,m)同时成
1 1 2 2 m m 1 1 2 2 m m i i
k k k
立，其中l≠0，则 1 = 2 =⋅⋅⋅= m.
1 l l l
1 2 m考点六：数列新定义
1 (2024·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习)若数列a
n
14
 满足：a ∈0,1
n
 ,n∈N*，且a=1，则称
1
a
n
 为一个X数列. 对于一个X数列a
n
 ，若数列b
n

a
满足：b=1，且b =a - n+1
1 n+1 n 2
 b ,n∈N*，则称b
n n

为a
n
 的伴随数列.
(1)若X数列a
n
 中，a =1，a =0，a =1，写出其伴随数列b
2 3 4 n
 中b ,b ,b 的值；
2 3 4
(2)若a
n
 为一个X数列，b
n
 为a
n
 的伴随数列.
①证明：“a
n
 为常数列”是“b
n
 为等比数列”的充要条件；
②求b 的最大值.
2019
2 (2024·北京西城·北京师大附中校考模拟预测)已知A为有限个实数构成的非空集合，设A+A=
  a i +a j a i ,a j ∈A  ，A-A=  a i -a j a i ,a j ∈A  ，记集合A+A和A-A其元素个数分别为A+A  ，A-A  .
设nA  =A+A  -A-A  .例如当A=1,2  时，A+A=2,3,4  ，A-A=-1,0,1  ，A+A  =A-A  ，
所以nA  =0.
(1)若A=1,3,5  ，求nA  的值；
(2)设A是由3个正实数组成的集合且A+A  ∩A=∅,A=A∪0  ，证明：nA  -nA  为定值；
(3)若a n  是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意n∈N*，设A =a,a ,⋅⋅⋅,a n 1 2 n  ，b n =nA n  .
已知a=1,a =2，且对任意n∈N*,b ≥0，求数列a
1 2 n n
 的通项公式.3 (2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)已知数列{a }：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，
n
k个
(k-1)k k(k+1)
-4，⋅⋅⋅，(-1)k-1k,⋅⋅⋅,(-1)k-1k，即当 <n≤ (k∈N*)时，a =(-1)k-1k，记S =a+a +⋅⋅⋅
2 2 n n 1 2
+a (n∈N*).
n
(1)求S 的值；
2020
k(k+1) (k+1)(k+2)
(2)求当 <n≤ (k∈N*)，试用n、k的代数式表示S (n∈N*)；
2 2 n
(3)对于t∈N*，定义集合P={n|S 是a 的整数倍，n∈N*，且1≤n≤t}，求集合P 中元素的个数.
t n n 2020
4 (2024·全国·高三专题练习)对于无穷数列a
n
15
 ，若存在正整数T，使得a =a 对一切正整数n都成
n+T n
立，则称无穷数列a
n
 是周期为T的周期数列.
(1)已知无穷数列a
n
 是周期为2的周期数列，且a=3，a =1，S 是数列a
1 2 n n

S
的前n项和，若 n ≤t对一
n
切正整数n恒成立，求常数t的取值范围；
(2)若无穷数列a
n
 和b
n
 满足b =a -a ，求证：“a
n n+1 n n
 是周期为T的周期数列”的充要条件是“b
n
 是周
T
期为T的周期数列，且b =0”；
i
i=1
(3)若无穷数列a n  和b n 
b=1,b =a
1 2
满足b n =a n+1 -a n ，且 b n+2 = b b n+1n≥1,n∈N
n


 ，是否存在非零常数a，使得a n 
是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数a；若不存在，请说明理由.考点七：圆锥曲线新定义
1 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体．如：方程y=kx+1中，当k取给定的实数时，表示一条
直线；当k在实数范围内变化时，表示过点0,1
16
 的直线族(不含y轴).记直线族2(a-2)x+4y-4a+a2=0
(其中a∈R)为Ψ，直线族y=3t2x-2t3(其中t>0)为Ω.
(1)分别判断点A0,1  ，B(1,2)是否在Ψ的某条直线上，并说明理由；
(2)对于给定的正实数x ，点P(x ,y )不在Ω的任意一条直线上，求y 的取值范围(用x 表示)；
0 0 0 0 0
(3)直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上
每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．求Ω的包络和Ψ的包络．2 (2024·贵州贵阳·高三统考期末)阅读材料：
在平面直角坐标系中，若点Mx,y
17
 与定点Fc,0  (或F -c,0 
a2
的距离和它到定直线l:x= (或l:x=
c
a2 c (x-c)2+y2 c x2 y2
- )的距离之比是常数 (0<c<a)，则 = ，化简可得 + =1，设b2=a2-c2(b>
c a a2
-x
a a2 a2-c2
c
x2 y2
0)，则得到方程 + =1(a>b>0)，所以点M的轨迹是一个椭圆，这是从另一个角度给出了椭圆的定
a2 b2
义.这里定点Fc,0 
a2
是椭圆的一个焦点，直线l:x= 称为相应于焦点F的准线；定点F -c,0
c
 是椭圆的
a2
另一个焦点，直线l:x=- 称为相应于焦点F的准线.
c
根据椭圆的这个定义，我们可以把到焦点的距离转化为到准线的距离.若点Mx,y 
x2 y2
在椭圆 + =1(a
a2 b2
>b>0)上，Fc,0 
c
是椭圆的右焦点，椭圆的离心率e= ，则点Mx,y
a

a2 a2
到准线l:x= 的距离为 -x，
c c
所以MF 
c a2
= × -x
a c

c
=a- x=a-ex，我们把这个公式称为椭圆的焦半径公式.
a
结合阅读材料回答下面的问题：
x2 y2
已知椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F，点P是该椭圆上第一象限的点，且PF⊥x轴，若直线l:x
a2 b2
=9是椭圆右准线方程，点P到直线l的距离为8.
(1)求点P的坐标；
(2)若点M,N也在椭圆C上且△MNP的重心为F，判断FM  ,FP  ,FN  是否能构成等差数列？如果能，求
出该等差数列的公差，如果不能，说明理由.3 (2024·重庆·高三重庆八中校考阶段练习)类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，
可以定义曲面(含平面)S的方程，若曲面S和三元方程Fx,y,z
18
 =0之间满足：①曲面S上任意一点的坐标
均为三元方程Fx,y,z  =0的解；②以三元方程Fx,y,z  =0的任意解x 0 ,y 0 ,z 0  为坐标的点均在曲面S
上，则称曲面S的方程为Fx,y,z  =0，方程Fx,y,z 
x2 y2 z2
=0的曲面为S.已知曲面C的方程为 + -
1 1 4
=1.
(1)已知直线l过曲面C上一点Q1,1,2 

，以d=-2,0,-4  为方向向量，求证：直线l在曲面C上(即l上任
意一点均在曲面C上)；
(2)已知曲面C可视为平面xOz中某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面C上任意一
点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C上.设直线l在曲面C上，且过点T 2,0,2  ，求异面直线l与l
所成角的余弦值.4 (2024·广东中山·高三统考期末)类比平面解析几何的观点，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适
合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系O-xyz中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程
Fx,y,z
19
 =0．
(1)类比平面解析几何中直线的方程，直接写出：
①过点Px 0 ,y 0 ,z 0 

，法向量为n=A,B,C  的平面的方程；
②平面的一般方程；
③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程(abc≠0)；(不需要说明理由)
(2)设F 1 ,F 2 为空间中的两个定点，F 1 F 2  =2c>0，我们将曲面Γ定义为满足PF 1  +PF 2  =2aa>c  的动
点P的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系O-xyz，并推导出曲面Γ的方程．
x2 y2
5 (2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)定义：一般地，当λ>0且λ≠1时，我们把方程 +
a2 b2
x2 y2
=λ(a>b>0)表示的椭圆C 称为椭圆 + =1(a>b>0)的相似椭圆.
λ a2 b2
(1)如图，已知F 1- 3,0  ,F 2 3,0  ,M为⊙O:x2+y2=4上的动点，延长F 1 M至点N，使得MN  =MF 1  ,FN 1
的垂直平分线与FN交于点P，记点P的轨迹为曲线C，求C的方程；
2
(2)在条件(1)下，已知椭圆C 是椭圆C的相似椭圆，M,N 是椭圆C 的左､右顶点.点Q是C 上异于四个顶
λ 1 1 λ λ
点的任意一点，当λ=e2(e为曲线C的离心率)时，设直线QM 与椭圆C交于点A,B，直线QN 与椭圆C交
1 1
于点D,E，求AB  +DE  的值.6 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中，定义dA,B
20
 =max x 1 -x 2  ,y 1 -y 2    为两点
Ax 1 ,y 1  、Bx 2 ,y 2  的“切比雪夫距离”，例如：点P 11,2  ，点P 23,5  ，因为1-3  <2-5  ，所以点P与点P 1 2
的“切比雪夫距离”为2-5  =3，记为dP 1 ,P 2  =3．
1
(1)已知点A0,
2
 ，B为x轴上的一个动点，
①若dA,B  =3，写出点B的坐标；
②直接写出dA,B  的最小值
(2)求证：对任意三点A，B，C，都有dA,C  +dC,B  ≥dA,B  ；
(3)定点Cx 0 ,y 0  ，动点Px,y  满足dC,P  =rr>0  ，若动点P所在的曲线所围成图形的面积是36，求r
的值．
x2 y2
7 (2024·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试)定义：若椭圆C: + =1(a>b>0)上的两个点
a2 b2
Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2 
xx yy
满足 1 2 + 1 2 =0，则称A,B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作A,B a2 b2  .已知椭圆C的
一个焦点坐标为F 1-2 2,0  ，且椭圆C过点A3,1  .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求“共轭点对”A,B  中点B所在直线l的方程；
(3)设O为坐标原点，点P,Q在椭圆C上，且PQ⎳OA，(2)中的直线l与椭圆C交于两点B,B ，且B 点的
1 2 1
纵坐标大于0，设四点B,P,B ,Q在椭圆C上逆时针排列.证明：四边形BPB Q的面积小于8 3.
1 2 1 2考点八：概率与统计新定义
1 在平面直角坐标系xOy中，设点集A ={(0,0),(1,0),(2,0),⋯，(n,0)}，B ={(0,1),(n,1)}，C ={(0,
n n n
2),(1,2),(2,2),⋯⋯，(n,2)}，n∈N*.令M =A ∪B ∪C .从集合M 中任取两个不同的点，用随机变量X
n n n n n
表示它们之间的距离．
(1)当n=1时，求X的概率分布；
(2)对给定的正整数n(n≥3)，求概率P(X≤n)(用n表示).
2 (2024·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末)在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含
的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样
本或特征.(熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大)来自信源的另
一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于
一些其他的原因，把信息(熵)定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的
信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值(即期望)就是这个分布产生的信息量的平均值(即熵).
熵的单位通常为比特，但也用Sh、nat、Hart计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信
息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1Sh的信息，而掷m次就为m位.更一般地，你需要
用log n位来表示一个可以取n个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息
2
论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明
违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量ξ所有取值为1,2,⋯,n，定义ξ
n n
的信息熵H(ξ)=-Plog P，P=1，i=1,2,⋯,n
i 2 i i
i=1 i=1
21
 .
(1)若n=2，试探索ξ的信息熵关于P的解析式，并求其最大值；
1
1
(2)若P=P= ，P =2P(k=2,3,⋯,n)，求此时的信息熵.
1 2 2n-1 k+1 k3 (2024·北京·高三阶段练习)设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为
PX=a
k
22
 =x ，PY=a
k k

n n
=y ，x >0，y >0，k=1,2,⋯,n,x =y =1．指标D(X‖Y)可用来刻画
k k k k k
k=1 k=1
n x
X和Y的相似程度，其定义为D(X‖Y)=x ln k．设X~B(n,p),0<p<1．
k y
k=1 k
(1)若Y~B(n,q),0<q<1，求D(X‖Y)；
1
(2)若n=2,P(Y=k-1)= ,k=1,2,3，求D(X‖Y)的最小值；
3
(3)对任意与X有相同可能取值的随机变量Y，证明：D(X‖Y)≥0，并指出取等号的充要条件4 (2024·山西朔州·高三校考开学考试)某校20名学生的数学成绩x ii=1,2,⋅⋅⋅,20
23
 和知识竞赛成绩y i
i=1,2,⋅⋅⋅,20  如下表：
学生编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩x 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77
i
知识竞赛成绩y 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270
i
学生编号i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
数学成绩x 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35
i
知识竞赛成绩y 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5
i
  20 
计算可得数学成绩的平均值是x=75，知识竞赛成绩的平均值是y=90，并且 x-x
i
i=1
  2=6464，
20 
y-y
i
i=1

20 
 2=149450， x-x
i
i=1


 y-y
i
 =21650.
(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数(精确到0.01)；
(2)设N∈N*，变量x和变量y的一组样本数据为 x i ,y i   i=1,2,⋅⋅⋅,N  ，其中x ii=1,2,⋅⋅⋅,N  两两不相同，
y ii=1,2,⋅⋅⋅,N  两两不相同.记x i 在x nn=1,2,⋅⋅⋅,N  中的排名是第R i 位，y i 在y nn=1,2,⋅⋅⋅,N  中的排
名是第S 位，i=1,2,⋅⋅⋅,N.定义变量x和变量y的“斯皮尔曼相关系数”(记为ρ)为变量x的排名和变量y的
i
排名的样本相关系数.
6
(i)记d=R-S，i=1,2,⋅⋅⋅,N.证明：ρ=1-
i i i NN2-1

N
d2；
i
i=1
(ii)用(i)的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔
曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.
注：参考公式与参考数据.
n 
x-x
i
r= i=1


 y-y
i

n 
x-x
i
i=1

n 
 2 y-y
i
i=1

n nn+1
；k2=
 2 k=1
 2n+1 
； 6464×149450≈31000.
65 (2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一
定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用
中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个
取值x,x ,⋯,x 的随机变量，分别记作X和Y.条件概率PY=x∣X=x
1 2 n j i
24
 ,i,j=1,2,⋯,n，描述了输入信号
和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量X的平均信息量定义为：H(X)=
n
-pX=x i
i=1
 log 2 pX=x i 
2 2
.当n=2时，信道疑义度定义为H(Y∣X)=-pX=x,Y=x i j
i=1 j=1
 log 2
pY=x∣X=x j i  =- PX=x 1 ,Y=x 1  log 2 pY=x 1 ∣X=x 1   +PX=x 1 ,Y=x 2  log 2 pY=x 2 ∣X=x 1  +
PX=x 2 ,Y=x 1  log 2 pY=x 1 ∣X=x 2  +PX=x 2 ,Y=x 2  log 2 pY=x 2 ∣X=x 2  
(1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的
点数X的平均信息量log 2 3≈1.59,log 2 5≈2.32,log 2 7≈2.81  ；
(2)设某信道的输入变量X与输出变量Y均取值0，1.满足：PX=0  =ω,pY=1∣X=0  =
pY=0∣X=1  =p(0<ω<1,0<p<1).试回答以下问题：
①求PY=0  的值；
②求该信道的信道疑义度HY∣X  的最大值.
6 (2024·北京海淀·统考模拟预测)对于数组a,b,c  ，各项均为自然数，如下定义该数组的放缩值：三个
数最大值与最小值的差．如果放缩值m≥1，可进行如下操作：若a、b、c最大的数字是唯一的，把最大的数
减2，剩下的两个数一共加2，且每个数得到的相等；若a、b、c最大的数有两个，则把最大的数各减1，第三个
数加上最大数共减少的值．此为第一次操作，记为f 1a,b,c  放缩值记为t ，可继续对f(a,b,c)再次进行该操 1 1
作，操作n次以后的结果记为f (a,b,c)，放缩值记为t ．
n n
(1)若a,b,c  =1,3,14  ，求t,t ,t 的值 1 4 2021
(2)已知a,b,c  的放缩值记为t，且a<b<c．若n=1，2，3．．．．．．时，均有t =t，若t∈M，求集合M n
(3)设集合Q中的元素是以4为公比均为正整数的等比数列中的项，P=a,b,c  ，且P⊆Q，a,b,c在一个集
合P中有唯一确定的数．证明：存在k满足t =0．
k考点九：高等数学背景下新定义
1 (2024·河南·统考模拟预测)离散对数在密码学中有重要的应用．设p是素数，集合X=
1,2,⋯,p-1
25
 ，若u,v∈X,m∈N，记u⊗v为uv除以p的余数，um,⊗为um除以p的余数；设a∈X，1,a,
a2,⊗,⋯,ap-2,⊗两两不同，若an,⊗=b n∈0,1,⋯,p-2    ，则称n是以a为底b的离散对数，记为n=log(p) b． a
(1)若p=11,a=2，求ap-1,⊗；
(2)对m,m ∈0,1,⋯,p-2
1 2
 ，记m⊕m 为m+m 除以p-1的余数(当m+m 能被p-1整除时，m⊕m
1 2 1 2 1 2 1 2
=0)．证明：log(p) ab⊗c  =log(p) b⊕log(p) c，其中b,c∈X； a a
(3)已知n=log(p) b．对x∈X,k∈1,2,⋯,p-2
a
 ，令y=ak,⊗,y =x⊗bk,⊗．证明：x=y ⊗ynp-2
1 2 2
 ,⊗．
1
a a
2 (2024·北京海淀·高三中关村中学校考阶段练习)设数阵A = 11 12
0
a a
21 22
 ，其中a ,a ,a ,a ∈
11 12 21 22
1,2,3,4,5,6  ．设S=e,e ,⋯,e
1 2 l
 ⊆1,2,3,4,5,6  ，其中e<e <⋯<e,l∈N*且l≤6．定义变换φ 为“对
1 2 l k
于数阵的每一行，若其中有k或-k，则将这一行中每个数都乘以-1；若其中没有k且没有-k，则这一行中
所有数均保持不变”k=e 1 ,e 2 ,⋯,e l  .φ sA 0  表示“将A 经过φ 变换得到A ，再将A 经过φ 变换得到A , 0 e1 1 1 e2 2
⋯以此类推，最后将A l-1 经过φ e l 变换得到A l ．记数阵A l 中四个数的和为T sA 0  ．
1 3
(1)若A = 0
3 6
 ,S=1,3  ，写出A 0 经过φ 1 变换后得到的数阵A 1 ，并求T sA 0  的值；
1 3
(2)若A = 0
3 6
 ,S=e,e ,e 1 2 3  ，求T sA 0  的所有可能取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵A 0 ，证明：T sA 0  的所有可能取值的和不超过-4．3 (2024·山东济南·高三统考期末)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数
的方法．给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=
a +ax+⋯+a xm
0 1 m ，且满足：f(0)=R(0)，f(0)=R(0)，f(0)=R(0)⋯，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．已知f(x)
1+bx+⋯+b xn
1 n
ax
=ln(x+1)在x=0处的[1,1]阶帕德近似为R(x)= ．注：f(x)=f(x)
1+bx
26
 ,f(x)=f(x)  ,f(4)(x)=
f(x)  ,f(5)(x)=f(4)(x)  ,⋯
(1)求实数a，b的值；
1
(2)求证：(x+b)f
x
 >1；
1
(3)求不等式1+
x

x 1
<e<1+
x

x+1
2的解集，其中e=2.71828⋯．
4 (2024·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测)罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微
分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理．罗尔定理描述如下：如果 R上的函
数f(x)满足以下条件：①在闭区间[a,b]上连续，②在开区间(a,b)内可导，③f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ
∈(a,b)，使得f ξ  =0．据此，解决以下问题：
(1)证明方程4ax3+3bx2+2cx-a+b+c  =0在0,1  内至少有一个实根，其中a,b,c∈R；
(2)已知函数fx  =ex-ax2-e-a-1  x-1,a∈R在区间0,1  内有零点，求a的取值范围．