文档内容
2024年新高考改革适应性练习（九省联考题型）
数学参考答案
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C A A D C
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）
题号 9 10 11
答案 ABD BD ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
题号 12 13 14
答案 5或6
1
�− ,0� �√5−1,√5+1�
2
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.（13分）
（1）设 ，则有 ，则 ，因为 是 的中点，所以 ，
2 𝑥𝑥0
𝐴𝐴(𝑥𝑥0,𝑦𝑦0) 𝑦𝑦0 = 2𝑥𝑥0 𝐵𝐵(0,𝑦𝑦0) 𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑃𝑃�2 ,𝑦𝑦0�
则 ，即 ，故点 在抛物线 的上运动．
2 𝑥𝑥0 2 2
𝑦𝑦0 = 2𝑥𝑥0 = 4�2� 𝑦𝑦𝑃𝑃 = 4𝑥𝑥𝑃𝑃 𝑃𝑃 𝛤𝛤1:𝑦𝑦 =4𝑥𝑥(𝑦𝑦 > 0) （4分）
（2）因为 与 平行，所以四边形 是梯形，
其上底为 𝐴𝐴𝑃𝑃 𝐹𝐹1𝐹𝐹2 ，下底为 𝐴𝐴𝑃𝑃𝐹𝐹1𝐹𝐹2 ，高为 ，
1 1 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2
𝐴𝐴𝑃𝑃 = 2𝑥𝑥𝐴𝐴 = 2𝑥𝑥0 𝐹𝐹1𝐹𝐹2 = 2 − 2 = 2−1 =1 𝑦𝑦𝐴𝐴 = 𝑦𝑦0
所以其面积 ，又 ，所以
2
𝑦𝑦0 1 2 𝑦𝑦0 𝑦𝑦0 1 3 𝑦𝑦0
𝑆𝑆 = 2 �2𝑥𝑥0+1� 𝑦𝑦0 = 2𝑥𝑥0 𝑆𝑆 = 2 �4 +1�= 8𝑦𝑦0 + 2 (𝑦𝑦0 > 0) （8分）
令 ，则 ，所以 即 关于 单调递增，
1 3 𝑦𝑦0 ′ 3 2 1
𝑓𝑓(𝑦𝑦0)= 8𝑦𝑦0 + 2 (𝑦𝑦0 > 0) 𝑓𝑓 (𝑦𝑦0)= 8𝑦𝑦0 +2 > 0 𝑓𝑓(𝑦𝑦0) 𝑆𝑆 𝑦𝑦0
数学参考答案 第1页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司（10分）
又当 时， ； 时， ，所以 在 上没有最值．
𝑦𝑦0 →0 𝑆𝑆 →0 𝑦𝑦0 → +∞ 𝑆𝑆 → +∞ 𝑆𝑆 𝑦𝑦0 ∈ (0,+∞) （13分）
16.（15分）
（1）如答图，取 中点 ，连接 ， ，
因为 ， 分别为 𝑃𝑃𝐴𝐴 ， 𝐹𝐹 的中点， 𝐸𝐸𝐹𝐹所 以𝐵𝐵𝐹𝐹 ， ．
1
因为 𝐹𝐹 𝐸𝐸 ， 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝑃𝑃， 所以 𝐸𝐸，𝐹𝐹//𝐴𝐴𝑃𝑃 𝐸𝐸，𝐹𝐹 = 2𝐴𝐴𝑃𝑃
所以 四𝐴𝐴𝑃𝑃边/形/𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝑃𝑃为=平2行𝐵𝐵𝐵𝐵四 边形， 𝐹𝐹𝐸𝐸//𝐵𝐵𝐵𝐵 ， 𝐸𝐸𝐹𝐹 = 𝐵𝐵𝐵𝐵
因为 平 𝐸𝐸面𝐹𝐹𝐵𝐵𝐵𝐵 ， 平面 𝐵𝐵𝐹𝐹/，/𝐵𝐵所𝐸𝐸 以 平面 ． （6分）
（2） 𝐵𝐵过𝐹𝐹点⊂ 作 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐸𝐸于⊄点 ， 𝑃𝑃𝐴𝐴连𝐵𝐵接 ． 𝐵𝐵 𝐸𝐸// 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐵𝐵
因为 𝐵𝐵 ， 𝐵𝐵所𝐵𝐵以⊥直𝐴𝐴线𝐵𝐵 与 𝐵𝐵平 面 𝐹𝐹𝐵𝐵所 成角和直线 与平面 所成角相等，
因为 𝐵𝐵𝐹𝐹//平𝐵𝐵𝐸𝐸面 ， 𝐵𝐵𝐸𝐸 平面 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐵𝐵 ，所以 𝐵𝐵𝐹𝐹， 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐵𝐵
因为 𝑃𝑃𝐴𝐴 ⊥ 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵，𝑃𝑃 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⊂ 平面 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝑃𝑃， 所以 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⊥平𝑃𝑃面𝐴𝐴 ，
所以 𝑃𝑃𝐴𝐴∩𝐴𝐴为𝐵𝐵 直=线𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐴𝐴与 ,平𝐴𝐴𝐵𝐵面⊂ 所 𝑃𝑃𝐴𝐴成𝐵𝐵角 ， 𝐵𝐵 𝐵𝐵 ⊥ 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐵𝐵 （11分）
∠𝐵𝐵𝐹𝐹𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐹𝐹， 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐵𝐵 ， ，所以
2 2 2 2
1×2 2√5
𝐵𝐵𝐹𝐹 = √2 +1 = √5 𝐴𝐴𝐵𝐵 = √2 +1 = √5 𝐵𝐵𝐵𝐵 = √5 = 5
2√5
𝐵𝐵𝐵𝐵 2
5
sin∠𝐵𝐵𝐹𝐹𝐵𝐵 = = =
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 𝐵𝐵𝐹𝐹 √ 5 5 （15分）
2
𝐵𝐵𝐸𝐸 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐵𝐵 5
17.（15分）
（1）若5、7在所抽取的数里，由于其是质数，且无法找到其他被其整除的数，故5、7不能被抽取到．
①若抽取的数有1，
（I）若抽取三个数，设其他两个数为 ，则 ，符合条件的 只能为 和
2
两组，此时所抽取的数为 和 𝑎𝑎,𝑏𝑏 (𝑎𝑎，<共𝑏𝑏两) 组； 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 (𝑎𝑎,𝑏𝑏) (2,4) (3,9)
（II）若所抽取的数的个数 (1大,2于,4)3 ， (记1,此3,9等) 比数列的公比为 ，则 ．若 ，则所抽取的数为
；若 ，则该等比数列的最大一项大于等于 𝑞𝑞 𝑞𝑞，≥明2显 不符 𝑞𝑞合=题2 意，故该情况仅有
3
(1,2,4,8) 1组符 𝑞𝑞合≥条3 件． 3 =27
②(1若,2,抽4,8取) 的数无1，则抽取的数应在 中．该等比数列公比 ，因此若最小的一项为3，
则最大一项 ，矛盾，所 {2以,3最,4,小6,8的,9一} 项应为2．易知符合 𝑞𝑞条≥件2的 仅有 1组．
2
≥ 3×2 = 12 (2,4,8)
数学参考答案 第2页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司综合上述情况，仅有 ， ， ， 共4组符合条件． （4分）
而抽取的所有结果共 有(1,2,4) (1,3,9)种 ，(1故,2概,4,率8) (2,4,8．) （6分）
9 4
（2）①当抽取的数有3 2项时−1，（= I）51若1 该等差数列的 𝑃𝑃公=差511 ，则有 ， ，…， 共
7 组符合条件．（II）若该等差数列的公差 ，则有 𝑑𝑑 = 1 ， (1,2，,3…) ，(2,3,4) 共 5 (组7,符8,9合) 条
件．（III）若该等差数列的公差 ，则 有𝑑𝑑 = 2 ， (1,3,5，) (2,4,6共) 3组符(合5,条7,9件) ．（IV）若该等
差数列的公差 ，则仅有 𝑑𝑑 = 3 1 组符合 (1条,4件,7)． （(V2）,5,若8)该 等(3差,6数,9)列 的公差 ，则没有满足条
件的选取组合 ．𝑑𝑑 = 4 (1,5,9) 𝑑𝑑 ≥ 5
故此情况共有 组符合条件． （8分）
②当抽取的数 有7+45项+时3，（+1I）=若1该6 等差数列的公差 ，则有 ， ，…， 共
6 组符合条件．（II）若该等差数列的公差 ， 𝑑𝑑则=有1 (，1,2,3,4) (，2,3,4,5) 共 3(6组,7,符8,9合) 条
件．（III）若该等差数列的公差 ，则 𝑑𝑑没=有2满 足条件 (的1,选3,5取,7组) 合(．2,4 ,6,8) (3,5,7,9)
故此情况共有 组符合 条𝑑𝑑 件≥．3 （10分）
③当抽取的数 有6+53项=时9，（ I）若该等差数列的公差 ，则有 ， ，…，
共 5 组符合条件．（II）若该等差数列的公差 𝑑𝑑，=则1 仅有 (1,2,3,4,51) 组(符2,3合,4条,5件,6)． （III）(5若,6该,7,等8,9差)
数列的公差 ，则没有满足条件的选取组 𝑑𝑑合=．2 (1,3,5,7,9)
故此情况共 有𝑑𝑑 ≥ 3 组符合条件． （12分）
以此类推， 5当+抽1 =取66 、7、8、9 项时，都当且仅当公差为 1 时有符合条件的选取组合，分别有4、
3、2、1组，
综上所述，满足条件的选取组合共有 组， （14分）
由（1），抽取的所有结果共有 16种+，9故+概6+率4+3+2．+ 1 = 41 （15分）
9 41
2 −1 = 511 𝑃𝑃2 = 511
18.（17分）
（1） ， ， （2分）
观察得𝑓𝑓(𝑥𝑥)= 𝑎𝑎𝑥𝑥−，(即𝑥𝑥+2)ln为(𝑥𝑥其+零1)点 ，𝑥𝑥 ∈(− 1,+ ∞) （4分）
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𝑓𝑓(0) = 0 𝑥𝑥 = 0
′ 1
所以 ，即 𝑓𝑓．(故𝑥𝑥)=的𝑎𝑎值−为1−2． − ln( 𝑥𝑥+1 ) （6分）
𝑥𝑥+1
′
（2） 𝑓𝑓由(0（)1=）𝑎𝑎得−2 = 0 必 𝑎𝑎经=过2原 点， 𝑎𝑎若 需使 经过四个象限，则 需在区间 和
上均至少 𝑦𝑦存=在𝑓𝑓一(𝑥𝑥个) 零点， 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) (−1,0)
(0,+∞)
数学参考答案 第3页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司令 在 和 上均有根．
(𝑥𝑥+2)ln(𝑥𝑥+1)
𝑓𝑓(𝑥𝑥)= 𝑎𝑎𝑥𝑥−(𝑥𝑥+2)ln(𝑥𝑥+1)= 0 ⟹ 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 (𝑥𝑥 ≠ 0) (−1,0) (0,+∞)
设函数 ， ，
2
(𝑥𝑥+2)ln(𝑥𝑥+1) ′ 𝑥𝑥 +2𝑥𝑥−2(𝑥𝑥+1)ln(𝑥𝑥+1)
令 𝑔𝑔(𝑥𝑥)= 𝑔𝑔 (𝑥𝑥，)= 2 ，
𝑥𝑥 (𝑥𝑥+1)𝑥𝑥
2 ′
令 ℎ(𝑥𝑥)= 𝑥𝑥 +2𝑥𝑥−2(𝑥𝑥，+1)ln(𝑥𝑥+1)， 当ℎ (𝑥𝑥)= 2[𝑥𝑥−时l，n(𝑥𝑥+1)] ， 单调递减；当
′ 𝑥𝑥 ′
时 ，𝜑𝜑(𝑥𝑥)= 𝑥𝑥−l，n(𝑥𝑥+1单) 调𝜑𝜑递(𝑥𝑥增)．=所𝑥𝑥+以1 𝑥𝑥 ∈是(−1,0)的 极小𝜑𝜑值(𝑥𝑥点)<，0 𝜑𝜑(𝑥𝑥) ． 𝑥𝑥 ∈ (0,+∞)
′
所以𝜑𝜑 (𝑥𝑥)> 0 恒成𝜑𝜑(立𝑥𝑥)， 即 ， 故𝑥𝑥 = 0 单 𝜑𝜑调(𝑥𝑥递) 增．又 𝜑𝜑(𝑥𝑥，)m所in以=当𝜑𝜑(0) = 0 时，
′
𝜑𝜑(𝑥𝑥)，≥即0 ， ℎ所(以𝑥𝑥)≥ 0 单调 ℎ递(𝑥𝑥减) ；当 ℎ(时0)，= 0 𝑥𝑥 ∈(，−1即,0) ℎ(𝑥𝑥)，<
′ ′ ′ ′
ℎ所(以0)= 0 单调 𝑔𝑔递(增𝑥𝑥)．< 0 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 ∈ (0,+∞) ℎ(𝑥𝑥)> ℎ (0)= 0 𝑔𝑔 (𝑥𝑥)> 0
又当 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 时， ，所以要使得 在 和 上均有根， 需满足 ．
综上 所𝑥𝑥述→，0 若 𝑔𝑔(𝑥𝑥)的→图2像 经过四个象 限𝑔𝑔(，𝑥𝑥)则= 𝑎𝑎 (−1,0) ． (0 ,+∞ ) （𝑎𝑎 17分） 𝑎𝑎 ∈(2,+∞)
（方法不唯一 ，𝑓𝑓(若𝑥𝑥)考 生从极值点等其他角度入 𝑎𝑎手∈，(2依,+据∞实) 际情况酌情赋分）
19.（17分）
（1）我们需证 在普通加法下可构成一个群，由题意，需从以下四个方面进行验证：
①封闭性：对 𝑅𝑅 ，则 ，封闭性成立． （1分）
②结合律：对 𝑎𝑎,𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅 ， 𝑎𝑎+𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅 ，结合律成立． （2分）
③恒等元：取 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 ∈𝑅𝑅 ，𝑎𝑎则+对(任𝑏𝑏+意𝑐𝑐) = (𝑎𝑎，+𝑏𝑏)+𝑐𝑐 ．符合恒等元要求． （3分）
④逆：对任意 𝑒𝑒 = 0 ∈，𝑅𝑅 ， 𝑎𝑎且∈ 𝑅𝑅 0+𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 ，满足逆的存在性．
𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 𝑏𝑏 = −𝑎𝑎 ∈𝑅𝑅 𝑎𝑎+𝑏𝑏 = 𝑎𝑎+(−𝑎𝑎)= 0 = 𝑒𝑒 （4分）
综上所述，所有实数在普通加法运算下可构成群 ．
+
（2）首先提出， 的“×”运算可以是复数的乘 𝑅𝑅法： ，理由如下．
𝐵𝐵 𝑧𝑧1𝑧𝑧2 (∀𝑧𝑧1,𝑧𝑧2 ∈ 𝐵𝐵) （6分）
即证明 在普通乘法下可构成一个群，同（1），需从四方面进行验证：
①封闭 性𝑆𝑆 ：设 ， ，其中 ，即 ．
2 2 2 2
则 𝑧𝑧1 = 𝑎𝑎+𝑏𝑏i 𝑧𝑧2 = 𝑐𝑐+𝑑𝑑i 𝑧𝑧1,𝑧𝑧2，∈ 𝐵𝐵 𝑎𝑎 +𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 +𝑑𝑑 = 1
所以 𝑧𝑧1𝑧𝑧2 = (𝑎𝑎+𝑏𝑏i)(𝑐𝑐+𝑑𝑑i)= (𝑎𝑎𝑐𝑐−𝑏𝑏𝑑𝑑)+(𝑎𝑎𝑑𝑑+𝑏𝑏𝑐𝑐)i
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
|𝑧𝑧1𝑧𝑧2|= �(𝑎𝑎𝑐𝑐−𝑏𝑏𝑑𝑑) +(𝑎𝑎𝑑𝑑+𝑏𝑏𝑐𝑐) = √𝑎𝑎 𝑐𝑐 +𝑏𝑏 𝑑𝑑 +𝑎𝑎 𝑑𝑑 +𝑏𝑏 𝑐𝑐
，即 ，封闭性成立． （7分）
2 2 2 2 2 2 2 2
=②结�𝑐𝑐合(律𝑎𝑎 ：+设𝑏𝑏 )+𝑑𝑑 (𝑎𝑎 +，𝑏𝑏 )=√𝑐𝑐 +，𝑑𝑑 = 1 𝑧𝑧1，𝑧𝑧2其∈中𝐵𝐵 ，
𝑧𝑧1 = 𝑎𝑎+𝑏𝑏i 𝑧𝑧2 = 𝑐𝑐+𝑑𝑑i 𝑧𝑧3 = 𝑒𝑒+𝑓𝑓i 𝑧𝑧1,𝑧𝑧2,𝑧𝑧3 ∈ 𝐵𝐵
数学参考答案 第4页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司𝑧𝑧1(𝑧𝑧2𝑧𝑧3)= (𝑎𝑎+𝑏𝑏i)[(𝑐𝑐𝑒𝑒−𝑑𝑑𝑓𝑓)+(𝑐𝑐𝑓𝑓+𝑑𝑑𝑒𝑒)i]
= [𝑎𝑎(𝑐𝑐𝑒𝑒−𝑑𝑑𝑓𝑓)−𝑏𝑏(𝑐𝑐𝑓𝑓+𝑑𝑑𝑒𝑒)]+[𝑎𝑎(𝑐𝑐𝑓𝑓+𝑑𝑑𝑒𝑒)+𝑏𝑏(𝑐𝑐𝑒𝑒 −𝑑𝑑𝑓𝑓)]i
(𝑧𝑧1𝑧𝑧2)𝑧𝑧3 = [(𝑎𝑎𝑐𝑐−𝑏𝑏𝑑𝑑)+(𝑎𝑎𝑑𝑑+𝑏𝑏𝑐𝑐)i](𝑒𝑒+𝑓𝑓i)
对比后容易发现， = [𝑒𝑒和(𝑎𝑎𝑐𝑐−𝑏𝑏𝑑𝑑)−实𝑓𝑓部(𝑎𝑎和𝑑𝑑+虚𝑏𝑏部𝑐𝑐)分]+别[对𝑓𝑓(应𝑎𝑎𝑐𝑐相−等𝑏𝑏，𝑑𝑑即)+𝑒𝑒(𝑎𝑎𝑑𝑑+𝑏𝑏𝑐𝑐)] ，结合律成立．
𝑧𝑧 1(𝑧𝑧2 𝑧𝑧3) (𝑧𝑧 1𝑧𝑧2)𝑧𝑧 3 （ 𝑧𝑧18(分𝑧𝑧2𝑧𝑧）3) = (𝑧𝑧1𝑧𝑧2)𝑧𝑧3
③恒等元：取 ，则对任意 ， ，符合恒等元要求． （9分）
④逆的存在性 ：𝑒𝑒对=任1意∈ 𝐵𝐵 𝑧𝑧，∈取𝐵𝐵 其共1·轭𝑧𝑧 =𝑧𝑧 ，则 ，满足逆的存
2 2
在性． 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎+ 𝑏𝑏i∈ 𝐵𝐵 𝑧𝑧̅ = 𝑎𝑎− 𝑏𝑏i （1 0𝑧𝑧·分𝑧𝑧̅）= 𝑎𝑎 +𝑏𝑏 = 1 = 𝑒𝑒
综上所述， 在复数的乘法运算下构成一个群 ．
×
（构造不唯𝐵𝐵一 ，证明方法也不唯一，本题较为 𝐵𝐵开放 ，不同的方法应据实际情况酌情赋分）
（3）所有阶数小于等于四的群 都是阿贝尔群，理由如下． （11分）
×
若群 的阶数为0，则 为空 集𝐺𝐺， 与定义矛盾．所以 的阶数为1,2,3,4．下逐一证明．
× ×
①若 群𝐺𝐺 的阶数为1， 则𝐺𝐺 其唯一的元素为其恒等元，明 𝐺𝐺显 符合交换律，故此时 是阿贝尔群．
× ×
𝐺𝐺 （12分） 𝐺𝐺
②若群 的阶数为2，设其元素为 ，其中 是恒等元，则 ，符合交换律，故此
×
时 是 𝐺𝐺阿 贝尔群． 𝑒𝑒,𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑒𝑒×（𝑎𝑎1=3分𝑎𝑎×）𝑒𝑒 = 𝑎𝑎
×
③若 𝐺𝐺群 的阶数为3，设其元素为 ，其中 是恒等元，由群的封闭性， ．
× ×
若 𝐺𝐺 ，又 ，推出 𝑒𝑒,𝑎𝑎,，𝑏𝑏 则集合 𝑒𝑒 有两个相同的元素，不满足集𝑎𝑎合×的𝑏𝑏 ∈唯𝐺𝐺一性 ，矛盾．所
以 𝑎𝑎×𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 ． 𝑎𝑎×𝑒𝑒 = 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑒𝑒 𝐺𝐺
现要 𝑎𝑎验×𝑏𝑏证=交𝑒𝑒换 律，即 ．事实上，若 ，有前知， 且 ，所
以 ，与群 𝑎𝑎的×封𝑏𝑏闭=性𝑏𝑏矛×盾𝑎𝑎．=所𝑒𝑒 以 𝑏𝑏×，𝑎𝑎交≠换𝑒𝑒 律成立，故𝑏𝑏此×时𝑎𝑎 ≠ 𝑎𝑎是 阿 𝑏𝑏贝×尔𝑎𝑎群≠．𝑏𝑏
× ×
𝑏𝑏 ×𝑎𝑎 ∉ 𝐺𝐺 𝑎𝑎 ×𝑏𝑏 = 𝑏𝑏×（𝑎𝑎1 5分） 𝐺𝐺
④若群 的阶数为4，设其元素为 ，其中 是恒等元，由群的封闭性， ．由③的分
× ×
析可知 ，𝐺𝐺 且 ，所 𝑒𝑒以,𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 或 𝑒𝑒 ． 𝑎𝑎×𝑏𝑏 ∈𝐺𝐺
若 𝑏𝑏×．𝑎𝑎由≠群𝑎𝑎 中逆 𝑏𝑏的×𝑎𝑎存≠在𝑏𝑏性 ，群 𝑎𝑎中×存𝑏𝑏 =在𝑒𝑒一 个 𝑎𝑎元×素𝑏𝑏 =使𝑐𝑐得 ，很明显 ，所以 或
×
𝑎𝑎×．𝑏𝑏假=设𝑒𝑒 ，即 ，又 𝐺𝐺 ，推出 𝑟𝑟 则 𝑟𝑟集𝑐𝑐合= 𝑒𝑒 有两个相 𝑟𝑟同≠的𝑒𝑒元 素，不 𝑟𝑟满=足𝑎𝑎 集
合 𝑟𝑟 =的唯𝑏𝑏 一性， 𝑟𝑟矛=盾𝑎𝑎． 故只 𝑎𝑎能×𝑐𝑐 = 𝑒𝑒 ． 𝑎𝑎 ×𝑏𝑏 = 𝑒𝑒 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 𝐺𝐺
先证交换律对 成立，即 𝑎𝑎×𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 ．事实上，若 ，则由 ， 只
×
能等于 ．又 𝑎𝑎,𝑏𝑏 𝑎𝑎，×𝑏𝑏 = 𝑏𝑏×𝑎𝑎 （ 和 𝑏𝑏同×理𝑎𝑎 ≠），𝑎𝑎不×满𝑏𝑏 =足𝑐𝑐群 中逆的 𝑎𝑎存×在𝑏𝑏性∈，𝐺𝐺矛 盾𝑎𝑎．×所𝑏𝑏 以
𝑒𝑒 𝑐𝑐×𝑒𝑒 = 𝑐𝑐 ≠ 𝑒𝑒 𝑐𝑐×𝑏𝑏 ≠ 𝑎𝑎×𝑏𝑏 = 𝑒𝑒 𝑐𝑐 𝑎𝑎
数学参考答案 第5页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司．交换律对 成立．
接 𝑎𝑎下×𝑏𝑏来=只𝑏𝑏需×证𝑎𝑎交=换𝑐𝑐 律对 和 𝑎𝑎,𝑏𝑏也 成立．事实上，由 和 的对称性，只需证 即可．由群中逆的
存在性，存在 𝑎𝑎使,𝑐𝑐得 𝑏𝑏,𝑐𝑐 ． 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑎𝑎,𝑐𝑐
（I）若 ，𝑞𝑞 ∈则{只𝑎𝑎,需𝑏𝑏}证 𝑞𝑞×𝑐𝑐 = 𝑒𝑒 ．事实上，若 ，由群的封闭性，
，所 以𝑞𝑞 = 𝑎𝑎 只能等于 𝑐𝑐×，𝑎𝑎又=由𝑎𝑎前×有𝑐𝑐 = 𝑒𝑒 ，得 𝑐𝑐×𝑎𝑎 ≠ 𝑎𝑎×𝑐𝑐 = 𝑒𝑒 ，即 ，𝑐𝑐但×𝑎𝑎是∈
×
𝐺𝐺任取 的，该 𝑐𝑐结×论𝑎𝑎具 有局限性 𝑏𝑏， 不对一般的 𝑎𝑎×成𝑏𝑏立=，𝑐𝑐 故矛盾 𝑐𝑐．×即𝑎𝑎 = 𝑎𝑎×𝑏𝑏×𝑎𝑎 =，𝑏𝑏 此时交 𝑎𝑎换×律𝑎𝑎对= 1 成 立𝑎𝑎 ．
（II）若 ．群中逆的存在性，存在 𝑎𝑎 使得 𝑐𝑐×，𝑎𝑎又= 𝑎𝑎×𝑐𝑐 ，所以 𝑎𝑎,只𝑐𝑐 能等于
，即 𝑞𝑞 = 𝑏𝑏 ，即证 𝑝𝑝 ∈，{接𝑏𝑏,下𝑐𝑐} 来的证 𝑝𝑝法×同𝑎𝑎 =（𝑒𝑒I） ，反 𝑎𝑎证×法𝑏𝑏推=出𝑐𝑐矛≠盾𝑒𝑒 即可． 即𝑝𝑝 此时交换
律 𝑐𝑐 对 𝑎𝑎成×𝑐𝑐立=．𝑒𝑒 𝑐𝑐×𝑎𝑎 = 𝑎𝑎×𝑐𝑐 = 𝑒𝑒
故群 𝑎𝑎,𝑐𝑐 的阶数为4时，交换律成立，故此时 是阿贝尔群． （17分）
× ×
综上 所𝐺𝐺述 ，所有阶数小于等于四的群 都是阿 𝐺𝐺贝 尔群．
×
𝐺𝐺
数学参考答案 第6页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司
