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2024 年高考数学第一次模拟考试（七省新高考）
数学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A B A C D D C B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
AC BD BC ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．
14．
15． 或 （写出一个即可）
16．
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
17．解：(1)因为 ，由正弦定理得
，（1分）
因为 ，
所以 ，（2分）
所以 ，（3分）
可得 .（4分）(2) ，（5分）
∵ ，
可得 （6分）
在△ABC中，由余弦定理得 ，（7分）
∴ ，（8分）
， ，（9分）
∴a，c可看作一元二次方程 的两不等实根，
∵ ∴ .（10分）
18．解:（1）当 时， ， ．（1分）
当 时， ，（2分）
整理得 ，又 ，（4分）
所以 ，
即数列 是以 为首项、 为公比的等比数列，（5分）
；
（2）由（1）知， ， ，（6分）
所以 ， ， ，（7分）
由数列 是等比数列，则 ，故 ，解得 ，（8分）
再将 代入 式，得 ．（9分）
因为 ，所以数列 为等比数列，故 满足要求；（10分）
由于 ，满足条件①；（11分）
又由于 ，故存在 满足条件②．
故数列 为 数列．（12分）
19．解：（1）由题设，△ 为等边三角形，则 ，
又四边形 为梯形， ，则 ，（1分）
在△ 中， ，即 ，（2分）
面 面 ，面 面 ， 面 ，则 面 ，（4分）
又 面 ，故 .（5分）
（2）若 为 中点， ，则 ，
面 面 ，面 面 ， 面 ，则 面 ，
连接 ，则 ，且 面 ，故 ，
综上， ， 两两垂直，（6分）
构建以 为原点， 为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，所以 ， ， ， ，若 且 ，则 ，
（7分）
而面 的一个法向量为 ， ，
所以 ，可得 ，故 ，（9分）
所以 ， ， ，
若 是面 的一个法向量，则 ，
取 ，（10分）
若 是面 的一个法向量，则 ，取 ，（11分）
所以 ，（仅写到这里扣1分）
由图知：锐二面角 的余弦值 .（12分）20．解：(1)由题可得
．（1分）（只写对1个也给1分）
， （2分）
则 （4分）
（5分）
所以 （6分）
(2)由题可知 的所有可能取值为 ， ， ， ，（7分）
， ， （10分）
则X的分布列为
∴ ．（12分，分布列正确得1分）
21．解：（1）因为双曲线 的离心率为 ，所以 ，即 ，（1分）
所以双曲线 的方程为 ，
联立直线 与双曲线 的方程 ，消去 得 ，（2分）
即 ，
因为 与双曲线C仅有一个公共点，所以 ，（3分）
解得 ,（4分）
故双曲线 的方程为 .（5分）
（2）设 ， ， 则 满足
消去 得 ，
所以 ， ，（6分）
如图所示，过A引 的垂线交C于另一点H，
则AH的方程为 .（7分）
代入 得 ，即 （舍去）或 .（8分）
所以点H为 .
所以 （9分）
，（11分）
所以 ，
故 为 的垂心，得证.（12分）
22．解：（1） 的定义域是 ， ，（1分）
① 时， ， 在 单调递增，（2分）
② 时， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
故 在 递减，在 递增，（4分）
综上：
时， 在 单调递增， 时， 在 递减，在 递增.（5分）
（答题步骤中已经写有单调区间，则没写综上不扣分）
（2）要证 ，即证 ， ，
①当 时， ， ，该不等式恒成立；（6分）
②当 时， ，结合 ，得 ，
只需证明： ，即证 ，（7分）令 ， ，（8分）
令 ，则 ，
令 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
又 ， ，所以存在 ，使得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，（10分）
又 ， ， ， ，
所以当 时， ；当 时， ，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，（11分）
所以 ，问题得证，
即当 时， 恒成立．
综上所述，当 时， 恒成立．（12分）
