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2024 年高考数学第一次模拟考试 5．在正方形 的每一个顶点处分别标上 中的某一个数字（可以重复），则顶点 处的数字都
高三数学（新高考Ⅱ卷）
大于顶点 处的数字的标注方法有（ ）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项： A．36种 B．48种 C．24种 D．26种
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
6．已知第一象限内的点 在双曲线 的渐近线上， 为坐标原点， 为 的右焦点，则 取
考证号填写在答题卡上．
得最小值时， 的面积为（ ）
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
A． B． C． D．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容 7．在 中， ， 是线段 上的动点（与端点不重合），设 ，则 的
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
最小值是（ ）
第 I 卷（选择题）
A．3 B．1 C．2 D．4
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。 8．已知 ， ， ，则（ ）
1．设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
A． B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
C． D．
9．已知圆 ，直线 ，则下列结论正确的是（ ）
2．已知 （ 为虚数单位），则 （ ）
A．存在实数k，使得直线l与圆C相切
A．4 B．3 C． D． B．若直线l与圆C交于A，B两点，则 的最大值为4
3．已知正三棱锥 的侧棱 ， ， 两两垂直，且 ，以 为球心的球与底面
C．当 时，圆C上存在4个点到直线l的距离为
相切，则该球的半径为（ ）
D．当 时，对任意 ，曲线 恒过直线 与圆C的交点
A． B． C． D．
10．设 ， 是一个随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则下列结论中正确
4．若 ，则 （ ） 的是（ ）
A． B．
A． B． C． D．
C． D．11．在正方体 中， ，点P满足 ，其中 ，则下列结 得 ，以 为一边在线段 的上方做一个正六边形，然后去掉线段 ，得到图2中的图
论正确的是（ ） 形；对图2中的最上方的线段 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列
图形：
A．当 平面 时， 与 所成夹角可能为
B．当 时， 的最小值为
C．若 与平面 所成角为 ，则点P的轨迹长度为
D．当 时，正方体经过点 的截面面积的取值范围为 记第 个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为 ，现给出有关数列 的四个命题：
①数列 是等比数列；
12．已知函数 ，且函数 有三个零点 ，则下列判断正
确的是（ ） ②数列 是递增数列；
A． 的单调递减区间为
③存在最小的正数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ；
B．实数 的取值范围为
④存在最大的正数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ．
C．曲线 在点 处的切线方程为 其中真命题的序号是 （请写出所有真命题的序号）.
D． 16．已知函数 ，若存在 ，使得方程 有两个不同的实数根且两
第 II 卷（非选择题）
根之和为6，则实数 的取值范围是 ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
13．若 的展开式的二项式系数之和为16，则 的展开式中 的系数为 .
17．（10分）记数列 的前n项和为 ，已知 ，且满足 .
14．抛物线 的焦点为 ，准线为 ， , 是抛物线上的两个动点，且满足 .设线
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，若 ， ， ，求 .
段 的中点 在 上的投影为 ，则 的最大值是 .
15．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是
18（12分）．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．
下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段 的长度为a，在线段 上取两个点 ， ，使每个这种精密配件至少获利50元，加工费与复修费相等，求一个这种精密配件的加工费最高为多少元？
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的最小值.
21．（12分）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程.
(2)已知过右焦点 的直线 与 交于 两点，在 轴上是否存在一个定点 ，使 ？若存在，
19．（12分）如图，在梯形 中， ， ， ， ， 与 交于
求出定点 的坐标；若不存在，请说明理由.
点 ，将 沿 翻折至 ，使点 到达点 的位置.
22．（12分）已知 ， ，直线 是 在 处的切线，直线 是 在
处的切线，若两直线 、 夹角的正切值为 ，且当 时，直线 恒在函数 图象的下方.
(1)证明： ；
(1)求 的值；
(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为 ，求三棱锥 的体积.
(2)设 ，若 是 在 上的一个极值点，求证： 是函数 在 上的唯一
20．（12分）已知某工厂加工 手机的某种精密配件的合格率为 ，若加工后的30件这种精密
极大值点，且 .
配件中恰有6件不合格的概率为 ，且 的极大值点为 ．
(1)求 ；
(2)设该工厂加工 手机的这种精密配件的合格率为 ，在合格品中，优等品的概率为 ．
①从加工后的这种精密配件中随机抽取若干件，设其中优等品有 件，若 最大，求抽取的这种精
密配件最多有多少件；
②已知某 手机生产商向该工厂提供这种精密配件的原料，经过该工厂加工后，每件优等品、合格品分别
以150元、100元被该 手机生产商回收，同时该工厂对不合格品进行复修，每件不合格品只能复修为合
格品或不合格品，且复修为合格品和不合格品的概率均为0.5，复修后的合格品按合格品的价格被回收，复
修后的不合格品按废品处理掉，且每件不合格品还需要向该 手机生产商赔偿原料费30元．若该工厂要求
