山东名校联盟高三期中考试高三数学答案解析和评分标准(1)_2023年11月_0211月合集_2024届山东省名校考试联盟高三上学期11月期中检测（济南期中）

山东省名校联盟高三上学期期中考试数学试题参考答案
1.答案 D
解析 U＝{x∈N||x-3|≤3}={0,1,2,3,4,5,6}，∁ A＝{0,1,3,5,6}．故选D.
U
2.答案 A
11+10i (11+10i)(3+2i)
解析 因为 = =1+4i，所以复数z在复平面内对应的点是(1，4)，位于第一象限．
3-2i (3-2i)(3+2i)
3.答案 A
2
解析 函数 f(x) x 在(－∞，－ )，( ,+ ∞)单调递增，在(－ ，0)，(0， )单调递减，
x
若函数f(x)的定义域为[2,+∞)，则函数f2(x)的值2域为[3,+∞)， 2 2
反之不成立，例如若函数f(x)的定义域为(0,1)∪[2,+∞)，函数f(x)的值域也为[3,+∞)，故选A。
4.答案 B
 4        5
解析 cos2   cos2   cos2  2sin2( )1 . 故选B.
 3   3   3 6 9
5.答案 C
解析 由题意可得 ，又 为等比数列.设公比为q
3
2  2 =−  1+  3  
，即 ， .
3 2 2
2  1  =−  1+  1  2  −3  −2=0 2  +1  −2 =0
解得 舍 ， ， .故选C
4
1 1−2
q=−2 q=2 ∴  4 = 1−2 =15
6. 答案 D
1 3
函数f(x)为R上的增函数，{4a10且4a 2 1，解得 a 
解析 0a1 4 4 ，故选D.
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}7. 答案 B
→ 2→ 1→ →
解析 △ABC中AB＝2AC，∠BAC的平分线交边AB于点D，则 ，AD＝ AC＋ AB，即AB＝－
3 3

=   =2
→ →
2AC＋3AD＝－2a＋3b.故选B．
答案 C
8.
解析
由已知可得：x2f / x  2xf  x  lnx,
令g  x   x2f  x  ,则g/ x   x2f / x  2xf  x  lnx,
g

x
 xg/
x

2g

x

xlnx2g

x

且f  x   , f / x    ,
x2 x3 x3
再令h  x   xlnx2g  x  ,则h/ x  1lnx2g/ x  1lnx,
当x  0,e 时，h/ x  0,h  x 为增函数；当x  e, 时，h/ x  0,h  x 为减函数；
h  x  h  e  e2g  e  e2e2f  e  0
 f / x  0在 0， 上恒成立； f  x 在 0， 上为减函数；
1 lne 2ln2 ln 2 ln2
又因为  ,  ,ln 2 
e e 4 2 2
lnx 1lnx
故令  x   ,/ x   ,当x  0,e 时，/ x  0,  x 为增函数；
x x2
1 2ln2
 ln 2 
e 4
acb
9． 答案 AC
T    2
解析 由图可知A2，    ，所以T  ，所以2，则 f(x)2sin(2x)，
4 3 12 4 
     
将点 ,2代入得：2sin 2，所以  2k,kZ，
12   6  6 2
  
又|| ，所以 ，所以 f(x)2sin(2x )，
2 3 3

对于A，因为 f(0)2sin  3，故A正确；
3
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}  
对于B，因为 f( )2sin(  )0，，故B不正确；
6 3 3
 5   7
对于C，因为x  ,  ，所以2x   , ，
6 12 3  3 6 
 5
所以函数 f x 在 , 上单调递减，故C正确；
6 12

对于D，将函数 f x 图象向左平移 个单位，
6
    2
可得函数 y2sin2x+    2sin（2x+ ） ，不关于 y轴对称，故D错误.
  6 3 3
10.答案 ABD
解析 AB项.当d=0时不成立。C项当 ， 则 为单调递增数列。当 为单调递增数列时也
1 >0  >1    
可能 ，
1 <0 −1<  <0
D项当q=-1时不成立.
11.答案 ACD
解析 当m=1时，a2+b2-ab=9，a2+b2=9+ab ，a2+b2 ,当且仅当a=b时等号成立，a2+b2
2 2
+ 
≤9+ 2 ≤18
有最大值，最大值为18，选项A正确；
当m=3时，a2+b2-3ab=9，设ab=k(k>0),则a2+b2 3ab=9化为a2+ 3k=9, a4+(9+3k)a2+k2=0,
2

2
−  −
因为 =(9+3k)2-4k2=81+54k+5k2>0,所以方程a4+(9+3k)a2+k2=0有解,所以ab没有最大值，选项B错
∆
误；
当m=1时，a2+b2-ab=9， (a+b)2=9+3ab 9+ , (a+b)2 36, 6, 当且仅当
3 2
≤ 4(a+b) ≤ −6≤ a+b ≤
a=b=3时a+b=6，a=b= 3时a+b= 6，a+b有最小值，最小值为 6，选项C正确；
− − −
当m=3时，a2+b2-3ab=9，a2+b2 =9+3ab 9 , a2+b2 ，当且仅当a= b时等号成立，
2 2
+  18
≥ +3(− 2 ) ≥ 5 −
a2+b2有最小值，最大值为 ，选项D正确.故选ACD.
18
5
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}12.答案 BD
解析
x12 x24x3 x1x3
对于函数gx ，g/x  ,当x,1和3，时，
ex ex ex
g/x0,gx为减函数；当x1,3时，g/ x0,g x为增函数；值域为 0，，选项A错；
1
由已知Fxexlnx2,F/xex ,显然在0， 上为增函数，且F/ 1 e10,
x
1 1 1  1
F/   e2 20,x   ,1 使F/ x e x0 0, 当x 0,x 时，F/ x 0,F x 单调递减；
2 0 2  0 x 0
0
1
当xx，时，F/x 0,F x单调递增，F x F x e x0 lnx  2 x  2 0,
0 0 0 x 0
0
选项B正确；
C:方程e2  G  x 2   e2 1  G  x  10的两根为G  x  1或G  x   1 ，而函数G  x 的图象如下
e2
由图象可知选项C项错误；
 x1 2 x1
不等式g  x axa  a  x1  0,当x1时，不等式可化为 a  0,
ex ex
x1 2x
令h  x  a,则h/ x  ,当x1时，h/  x 0,h  x 在，1 上为增函数，则h  x 0
ex ex
在，1 上的3个整数解为2，1,0，  h20即

e


3
2 a0 解得4e3 a3e2, 故选项D正确。
h30 4

e3
a0
13. 答案 3x+y+2=0
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}解析
1 1 1 1 1
对f  x 求导可得，f / x  2x2f /  ,则f / 12f / 2，解得f / 3
2 x 2 2 2
1
 f  x   x2 6xlnx f  1  5; f / x  2x6 , f / 1  3
x
切线方程为y53  x1  ,整理得3x y20
14.答 案 -2
解析  f  x1 是偶函数，f  x 是奇函数， f  x 以x1为对称轴，
以 2，0 为对称中心，T4，f  2023  f  3 f  1 2
15.答案 6.
解析 cos2Ccos2 Bsin2 Asin AsinB ，
1sin2C   1sin2 B  sin2 Asin AsinB，
即sin2 Bsin2 Asin2C sin AsinB ，
由正弦定理角化边得b2 a2 c2 ab，
a2 b2 c2 ab 1 
cosC    ,C  ，
2ab 2ab 2 3
a b c
由正弦定理   ，
sinA sinB sinC
ab c2
ab c2  3
  即 1 ，化简得c2  ab，
sin AsinB sin2C sin2 2
2 3
1
又ABC的面积为S  absinC  3ab4c2 6解得c 6.
ABC 2
16、答案
3/2
   1  1  
解析 设AB a，AC b，则AM  (a+b)，BN  b-a，∵AM  BN，∴AM BN 0,
2 2
1 1
∴ (a+b)( b-a)=0，
2 2
1 1 1
化简得 (a+b)( b-a)=0，b2 ab2a2 0，|b|2  |a||b|2|a|2 0,
2 2 6
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}|b|2 1|b| |b| 3 |b| 4 AC 3
 20,  或  (舍)，∴  .
|a|2 6|a| |a| 2 |a| 3 AB 2
17.
a2 c2 b2 b2 a2 c2 1
解：(1)（法一）由题意，结合余弦定理得，   ，………………2分
2abc 2abc a
所以bc a2 8……………………………………………4分
cosB cosC 1
（法二）由题意，结合正弦定理得   ,………………2分
sinB sinC sin A
sinCcosB+sinBcosC sin(B+C) sin A 1
即    ,
sinBsinC sinBsinC sinBsinC sin A
sin2 AsinBsinC,
∴bc a2 8……………………………………………4分
1 7
(2)由于S  bcsin A4sin A 7，sin A ……………………………5分
ABC 2 4
又Qc a bA为锐角，即 …………………………6分
3
cosA
4
b2 c2 a2  bc 2 3bc  bc 2 24 3
cosA    ，
2bc 2bc 16 4
∴bc6，…………………………8分
又bc8,ca b，∴b2,c4…………………………10分
18.
解：（1）方法1
+1 2  +1
∵   = 
当 ， ............2分
2  3    −1
∴ n≥2  1 =  1⋅  2⋯   −1 =2
..........3分
−1
∴   =  ∙2
又n=1也适合上式，.........4分
（nN*）............5分
−1
∴   =  ∙2
方法2： .........2分
+1 2  
∵  +1 = 
为公比为2首项为1的等比数列............3分

∴ {  }
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}分
−1
∴ =2 ………4
..........5分
−1
∴   =  ∙2
（2）由（1）知，
= ①......6分
0 1 2  −1
1∙2 +2∙2 +3∙2 +⋯+  ∙2
②......7分
1 2 3 
2   = 1∙2 +2∙2 +3∙2 +⋯+  ∙2
①-②，- ......8分
1 2  −1 
=1+2 +2 +⋯+2 −  ∙2

1−2 
= −  ∙2
1−2 ......10分

=2 −1−  ∙2
......12分

【∴说   明=】(  1) −第1一∙问2方+法1 1不验证n=1扣1分
方法2有4分点，不看3分点；
(2)第二问错位相减法按步骤给分；
19. 【详解】（1） f(x)x32x2 ax2 ， f '(x)3x2 4xa，·················1分
因为函数 y  f(x)在x[1,)上单调递增，
所以 f '(x)3x2 4xa0在x[1,)恒成立，······································2分
即a   3x2 4x  ，·········································································3分
min
y3x2 4x在x[1,)上单调递增，
 
当x1时， 3x2 4x 7，····························································4分
min
所以a的取值范围(,7]．································································· 5分
（2） f(x)x32x2 ax2 与ya(1x)有且只有一个交点，
即x3 2x2 ax2a(1x) 只有一个根，················································6分
x3 2x2 2a只有一个根，
令h  x  x32x2 2，所以hx的图象与y  a的图象只有一个交点，·······7分
4
h x 3x2 4x，令hx0，解得x 或x0，
3
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}4
令hx0，解得  x0，
3
 4  4 
所以hx在 , ，  0, 上单调递增，  ,0上单调递减，········9分
 3  3 
 4 86
所以h  x  h    ,h  x  h  0 2，····························10分
极大值  3 27 极小值
又因为h  x  的图象与y  a的图象只有一个交点，
86
所以a(,2)( ,).····································································· 12分
27
【说明】（1）有3分点，不看2分点，有5分点，不看4分点，第一问不分参求解对应得分；
（2）第二问有7分点，不看6分点；
（3）a的取值范围求对一半扣1分.
20．
 
解：因为 ，故 ，
m n 3  AC
bcos A acos
 2  2
由正弦定理得，
AC
．………………………1分
sinBsin Asin Acos
2
又sinA0 ，则 AC B B ， …………………………2分
sinB cos cos sin
2 2 2
即 B B B ，而 B ，故 B 1 ，故 2 ．………………3分
2sin cos sin sin 0 cos  B
2 2 2 2 2 2 3
（Ⅰ）由余弦定理得， b2 a2 c2 2accosB ，即  1 ，整理得
7a2 a2 162a4



 2
3a2 2a80 ，…………………………4分
解得a 2或
4
（舍去），
b2 7
，故△ABC的周长为
62 7
．…………5分

3
  
（Ⅱ）设BCM  0,  ，BMC  ．
 3 3
2c
BM BC CM 3 a 6
由正弦定理得，   即    2 2 ，…………6分
sin sinBMC sinB sin   3
sin  
 3  2
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}故c 3 2sin，a  2sin 6cos，
所以 ac2 2sin 6cos 14sin  ，…………………………7分
其中 ， ，……………8分
21 2 7 3  
sin= ,cos= ,tan   , 
7 7 2  6 4
 
0 , ,
3 3
又     则当 时，ac取得最大值 14 ，…9分
  ,  , 
6 4 3 2 2
又 ………10分
   21 1 2 7 3 3 21
sin( )sincos cossin     
3 3 3 7 2 7 2 14
…………………………11分
 3 21 21
sin( ) sin
3 14 7
所以ac的取值范围为 …………………………12分

6, 14

21、
解：（1） 在函数 上.
1 1
∵   ,   +1   =2  + 
， ..............1分
1 1
∴   +1 =2   +   ...
又 ，   2+2   +1
+1   +1+1 2     +1 2
=   −1 ∴   +1 =   +1−1=   2−2   +1 =   −1
2  
， ..............3分
2
∴   +1 =   ...
两边取以3为底的对数，
............4分
log3   +1 =2log3   .
又 ， =1
1+1
1 =  1−1=3 log3  1
是首项为1，公比为2的等比数列...........5分
∴ log3  
...............6分
−1
−1 2
∴log3   =2 . ∴   =3 .
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}（2） , ...........7分
2  −1
+1   +1 3 +1
∵   =   −1 ∴   =   −1=3 2  −1 −1.
...............8分
2  −1 2  −1
3 +1−3 +1 2
∴ 则 Cn =   −1= 3 2  −1 −1 =3 2  −1 −1..
2  −1 2  −1
+1 3 −1 3 −1 1 1 1
= 3 2  −1 =
3
2  −1 2
−1
=3 2  −1 +1<3 2  −1 <3
， ...............10分 又
1
∴   +1 <3   ...  1 =1.
S
n
2 n−1
1 1 1
=C1+C2+⋯+Cn <C1+3C1+
3
C1+⋯+
3
C1
1 n ......12分
1− 3 3 1 n 3
1
= 1−3 =2 1− 3 <2..
【说明】（1）第一问不求 =1，不说明首项公比只下定义说 是等比数列不扣分
log3  1 log3  
（2）第二问8分点之后的证明 其他方法酌情给分
1
+1 <32   ax2 (12a)x2 (ax1)(x2)
22．【详解】（1） f '(x)ax(12a)   ，定义域为(0,) 1分
x x x
当a0时， f '(x)0， f(x)在(0,)上单调递增；·································2分
1 1
当a0时，x(0, )时， f '(x)0， f(x)在(0, )上单调递增，
a a
1 1
x( ,)时， f '(x)0， f(x)在( ,)上单调递减；························3分
a a
综上，当a0时， f(x)在(0,)上单调递增；
1 1
当a0时， f(x)在(0, )上单调递增，在( ,)上单调递减.···············4分
a a
1
（2）方程 f(x)eax  ax2即(12a)x2lnx eax，即x2lnx2axeax，
2
即elnx 2lnxeax 2(ax)，
令g(x)ex 2x，则g(lnx)g(ax)······················································5分
因为g'(x)ex 20，所以g(x)ex 2x在R上单调递增，
lnx 1 1
所以lnxax，即a ，所以a ln ·········································6分
x x x
1 1 1
因为x ,x 是方程 f(x)eax  ax2的两个实根，所以x ,x 是方程a ln 的两个实根，
1 2 2 1 2 x x
1 1 1 1 1 1
即a ln ,a ln ，所以 , 是方程axlnx的两个实根.············7分
x x x x x x
1 1 2 2 1 2
令h(x)xlnx，则h'(x)lnx1
1 1
当x(0, )时，h'(x)0，h(x)单调递减，当x( ,)时，h'(x)0，h(x)单调递增；
e e
1 1
h( ) ,h(1)0，当x0时， f(x)0··············································8分
e e
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}1 1 1
令m ,n ，不妨设mn，则0m n1，
x x e
1 2
1 1 2 2
要证2x x e(x x )，即证   ，即证mn ···························9分
1 2 1 2 x x e e
1 2
2 2 2 1 1
令(x)h(x)h( x)，则'(x)h'(x)h'( x)lnxln( x)2在(0, )上单调递增，且'( )0，
e e e e e
1 1 1
所以'(x)'( )0，所以(x)在(0, )上单调递减，又( )0
e e e
1 2
所以(m)( )0，即h(n)h(m)h( m)，······································11分
e e
1 2 2
因为h(x)在( ,)单调递增，所以n m，即mn
e e e
所以2x x e(x x )·········································································12分
1 2 1 2
【说明】（1）第二问有其他方法证明的对应得分。若直接用对数平均值不等式证明，但未证明对数平均值
不等式的，此处扣1分；
（2）第二问评分标准把握：同构1分，构造函数2分，单调性1分，证明的变形1分，证明3分。
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